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正弦定理与余弦定理练习题


正弦定理与余弦定理
1.已知△ABC 中,a=4, b ? 4 3, A ? 30? ,则 B 等于() A.30°B.30°或 150°C.60°D.60°或 120° 2.已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为() A.75°B.60°C.45°D.30° 3.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,若 (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0 ,则角 B 的大小为() A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 5? D. 3 6
sin C =2, b 2 ? a 2 ? 3ac ,则 ? B =() sin A

4.在?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若 A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 a=5 A.105°B.60°C.15°D.105°或 15° 6.已知 ?ABC 中, BC ? 6, AC ? 8, cos C ? A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形

,c=10,A=30°,则 B 等于()

75 ,则 ?ABC 的形状是() 96

7.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 B ? 2C , 2b cos C ? 2c cos B ? a ,则角 A 的大小为() A.

? 2

B.

? 3
2

C.
2

? 4
2

D.

? 6

8.在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 9.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,那么 cos C ? () A.

1 2 2 1 B. C. ? D. ? 4 3 3 4

b, c 分别为角 A, B, C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是() 10.在 ?ABC 中, a ,

A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 11.在△ABC 中,cos
2

=

,则△ABC 为()三角形.

A.正 B.直角 C.等腰直角 D.等腰 12.在△ABC 中,A=60°,a=4 ,b=4 ,则 B 等于() A.B=45°或 135° B.B=135° C.B=45° D.以上答案都不对 13.在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

1 b, 且 a ? b ,则 ?B ? () 2

1

2? 5? A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
14.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,则△ABC 的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15.已知在 ?ABC 中, cos
2

?

?

A b?c ? ,则 ?ABC 的形状是() 2 2c 1 , b ? 2,sin C ? 2sin A ,则 ?ABC 的面积为() 4

A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角 16.已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 cos B ?

A.

15 15 15 B. C. D. 15 6 4 2

17.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= A. 3 -1B. 3 C.2D.1

? ,a= 3 ,b=1,则 c=() 3

评卷人

得分 一、解答题(题型注释)

18.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c .已知 A ? (1)求 tan C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 3,求 b 的值. 19.在△ABC 的内角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 (1)求 B; (2)若 b=2,△ABC 的周长为 2

?
4

2 2 ,b ? a ?

1 2 c . 2



+2,求△ABC 的面积.

ABC A, B, C a, b, c a ? b cos C ? c sin B
B

b ? 2 ABC
2 2 2 21.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 3 b ? c ? 3a ? 2bc

?

?

(1)求 sinA; (2)若 a ?

3 2 ,△ABC 的面积 S= ,且 b>c,求 b,c. 2 2
sin(2 A ? B) ? 2 ? 2cos( A ? B) . sin A

b, c ,且满足 22.已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,

(Ⅰ)求

b 的值; a

(Ⅱ)若 a ? 1, c ? 7 ,求 △ABC 的面积.

2

23.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 5 , cos B ? (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值. 二、填空题 24.已知在

3 . 5

中,





,则

___.

25.△ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,则 A=.

26.在

中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若

,则 b=___________.

27.在 ??? C 中,已知 ?? ? 4 3 , ?C ? 4 , ?? ? 30? ,则 ??? C 的面积是. 28.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,设 S 为△ ABC 的面积, S ? 大小为___________. 29.在 ? ABC 中,已知

3 2 (a ? b2 ? c2 ) ,则 C 的 4

a b c ? ? ,则这个三角形的形状是 cos A cos B cos C

3

参考答案 1.D 【解析】

试题分析:

a b b sin A 4 3 ? sin 30 ? , sin B ? ? ? sin A sin B a 4
0

4 3?

1 2 ? 3 ;? a ? b ,? B ? A ? 300 , 4 2

? B ? 600 或 B ? 1200 ,选 D.
考点:正弦定理、解三角形 2.B 【解析】 试题分析: S ?ABC ?

1 1 3 AC ? BC ? sin C ? ? 3 ? 4 sin C ? 3 3 ,则 sin C ? ,所以 C ? 600 ,选 B. 2 2 2

考点:三角形面积公式 3.C 【解析】 试题分析:由已知和正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ? 0, 展开化简得 2sin A cos B ? sin A ? 0 ,由 于 A 为三角形内角,所以 A ? 0,sin A ? 0 ,所以 cos B ? ?

1 2? ,B ? ,选 C. 2 3

考点:1.正弦定理;2.两角和的正弦公式;3.已知三角函数值求角. 4.C 【解析】 试题分析:由正弦定理可得,
sin C c 2 2 2 2 ? ? 2 ? c ? 2a , 又 b ? a ? 3ac ? b ? 7a , 由 余 弦 定 理 可 得 , sin A a

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 ?2a 2 1 ? ? ? ,又 B ? ? 0, ? ? ,所以 ?B ? 120? . 2 2ac 4a 2

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 5.D 【解析】解: ∴sinC= ?sinA= = , × = ,

∵0<C<π , ∴∠C=45°或 135°, ∴B=105°或 15°, 故选 D. 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.解题的过程中一定注意有两个解,不要漏解. 6.D 【解析】

AB 2 ? 62 ? 82 ? 2 ? 6 ? 8 ?
试题分析:由余弦定理得 所以 B 角为钝角,选 D. 考点:余弦定理

62 ? 25 ? 82 75 ? 25 cos B ? ?0 96 2? 6?5 ,所以最大角为 B 角,因为 ,

4

【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之 间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件 即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 7.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 得 2sin B cos C ? 2sin C cos ? sin A ? sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ,

sin B cos C ? 3sin C cos B,sin 2C cos C ? 3sin C cos 2C 2



2 cos C 2 ? 3 ? cos C 2 ? sin C 2 ?



? ? ? 1 3 ,? B ? 2C ,? C 为锐角,所以 C ? , B ? , A ? ,故选 A. tan C 2 ? , tan C ? 6 3 2 3 3
考点:1、正弦定理两角和的正弦公式;2、三角形内角和定理. 8.C 【解析】 试题分析:由题可根据正弦定理,得 a +b <c ,∴cosC= 考点:运用正弦和余弦定理解三角形. 9.D 【解析】 试题分析: sin A : sin B : sin C ? 3: 2 : 4,? a : b : c ? 3: 2 : 4 ? cos C ? 考点:正余弦定理解三角形 10.C 【解析】 试题分析:在给定的边与角的关系式中,可以用余弦定理,得 a ? 2b?
2 2 2

a 2 ? b2 ? c2 <0,则角 C 为钝角 2ab

a 2 ? b2 ? c 2 1 ?? 2ab 4

a 2 ? b2 ? c 2 ,那么化简可知 2ab

2 2 2 2 2 2 所以 a =a ? b ? c ,即 b =c , b=c ,所以三角形 ABC 是等腰三角形.故选 C.

考点:余弦定理判断三角形的形状. 11.B 【解析】 试题分析:根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式,化简后即可判断出△ABC 的形状. 解:∵cos
2

=

,∴ (1+cosB)=



在△ABC 中,由余弦定理得, 化简得,2ac+a +c ﹣b =2a(a+c) , 2 2 2 则 c =a +b ,
2 2 2

=



5

∴△ABC 为直角三角形, 故选:B. 12.C 【解析】 试题分析:由 A 的度数求出 sinA 的值,再由 a 与 b 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,由 b 小于 a,得到 B 小于 A,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数. 解:∵A=60°,a=4 ,b=4 , ∴由正弦定理 ∵b<a,∴B<A, 则 B=45°. 故选 C 13.A 【解析】 试题分析:利用正弦定理化简得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= ∵sinB≠0,∴sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB= ∵a>b,∴∠A>∠B,∴∠B= 考点: 14.B 【解析】 试题分析: b cos C ? c cos B ? a sin A?sin B cos C ? cos B sin C ? sin A?sin ? B ? C ? ? sin A
2 2

=

得:sinB=

=

=



1 sinB, 2

? 6

1 , 2

? sin A ? 1? A ?

?
2

,三角形为直角三角形

考点:三角函数基本公式 15.A 【解析】试题分析: cos
2

A b?c A b?c b b b ? ? 2 cos 2 ? ? ? 1 ? 1 ? cos A ? ? 1 ? cos A ? 2 2c 2 c c c c

cos A ?

sin B sin ? A ? C ? ? ? ? sin A cos C ? 0 ? cos C ? 0, C ? ,选 A sin C sin C 2

考点:正弦定理,二倍角的余弦,两角和的正弦 16.B 【解析】试题分析:? sin C ? 2sin A ? c ? 2a ? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 a 2 ? c 2 ? 4 ? ? ? a ? 1, c ? 2 2ac 4 2ac

?S ?

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4

考点:正余弦定理解三角形 17.C 【解析】
6

试题分析:由余弦定理可得 cos A ? 考点:余弦定理解三角形 18.(1) 2 ;(2) 3 .

b2 ? c 2 ? a 2 1 1 ? c 2 ? 3 ? ? ?c ? 2 2bc 2 2c

【解析】试题分析:(1)先运用余弦定理求得 c ?

5 2 2 b ,再运用正弦定理求 sin C 的值即可 b ,进而求得 a ? 3 3

获解; (2)利用三角形的面积公式建立关于 b 方程求解. 试题解析: (1)由余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

2 , 2

即 b2 ? a2 ? c2 ?

2bc ,将 b 2 ? a 2 ?

5 2 2 1 2 1 b, b ,再代入 b 2 ? a 2 ? c 2 可得 a ? c 代入可得 c ? 2 2 3 3

所以

2 1 sin C c 2 2 ,即 sin C ? ,则 cosC ? ,所以 tan C ? 2 ; ? ? sin A a 5 5 5

(2)因

1 2 2 2 2 1 b ? ? 3 ,即 b ? 3 . bc sin A ? 3 ,故 ? 2 2 3 2

考点:正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用. 19. (1)B= (2) = ,

【解析】解: (1)由正弦定理可得: ∴tanB= , ∵0<B<π , ∴B= ;
2 2 2

(2)由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB, 2 2 即 a +c ﹣ac=4, 又 b=2,△ABC 的周长为 2 +2, ∴a+c+b=2 +2, 即 a+c=2 , ∴ac= , ∴S△ABC= acsinB= × × = .

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 20. (1)B=

? . (2) 2 ? 1 4

【解析】试题分析: (1)由题为求角,可利用题中的条件 a ? b cos C ? c sin B ,可运用正弦定理化边为角, 再联系两角和差公式,可求出角 B 。

7

(2) 由 (1) 已知角 B , 可借助三角形面积公式求, 先运用正弦定理表示出所需的边, 再利用正弦三角函数的性质, 化为已知三角函数的定义域,求函数值得最值问题,可解。 (1)∵a=bcosC+csinB,∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC+sinCsinB, 试题解析: ∴sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,∵sinC≠0, ∴ cos B ? sin B ,∴ tan B ?

sin B ? ? 1 , B ? ? 0, ? ? ,∴B= . 。 cos B 4

(2)由(1)可得 A ? C ? ? ? B ? ? ?

?
4

?

3? 3? ? 3? ,∴ C ? ? A, A ? ? 0, 4 4 ? 4

? ?, ?

由正弦定理可得:

a c b 2 ? ? ? ?2 2, sin A sin C sin B sin ? 4

∴ a ? 2 2 sin A, c ? 2 2 sin C ,

S?ABC ?

1 1 ? ac sin B ? ? 2 2 sin A ? 2 2 sin C ? sin 2 2 4

=

? 3? ? 2 2 sin A sin C ? 2 2 sin A sin ? ? A? ? 4 ?

=

? 2 ? ? 2 2 = 2sin A cos A ? 2sin A = sin 2 A ? 1 ? cos 2 A = 2 sin(2 A ? ) ? 1 , 2 2 sin A ? cos A ? sin A ? ? 2 ? 4 2 ? ?
∵ A ? ? 0, 即A?

? ?

3? 4

? ? ? ? 5? ? ? ? ,∴ ? 2 A ? ? ? ? ? , 4? ? 4 4 ? ?

? ? ? ? ,∴当 2 A ? 4 ? 2 , ?

3? 时, S?ABC 取得最大值为 2 ? 1 8 3 2 2 (2) b ? , c ? 1 2 3

考点: (1)利用正弦定理进行边角互化解三角形。 (2)利用正弦定理进行边角互化及正弦函数的性质。 21. (1)

【解析】试题分析: (1)将已知条件变形结合余弦定理可得到 cosA,进而可求得 sinA; (2)由余弦定理可得到关于 b,c 的关系式,由三角形面积得到关于 b,c 的又一关系式,解方程组可求得其值
2 2 2 试题解析: (1)∵ 3 b ? c ? 3a ? 2bc ,

?

?



b2 ? c2 ? a 2 1 ? 2bc 3
1 又∴∠A 是三角形内角 3

∴cosA=

∴sinA=

2 2 . 3
1 3 2 2 ,∴ bcsinA= ,∴bc= ① 2 2 2 2
8

(2)∵S=

∵a ?

3 1 ?3? ,∴由余弦定理可得 ? ? ? b2 ? c 2 ? 2bc ? 2 3 ?2?

2

∴ b2 ? c 2 ? ?

?3? ? ? 1② ?2?
3 ,c ?1. 2

2

∵b>c>0,∴联立①②可得 b ?

考点:余弦定理解三角形及三角形面积求解 22. (I) 【解析】 试题分析: (I)利用两角和的正弦、余弦公式,化简 定理得到
sin(2 A ? B) ? 2 ? 2cos( A ? B) ,得到 sin B ? 2 sin A ,利用正弦 sin A
3 b (II) . ? 2; 2 a

b (II)由(I)可求得 b ? 2 ,先求出一个角的余弦值,再求其正弦值,最后利用三角形面积公式求 ? 2; a

面积. 试题解析:
sin(2 A ? B) ? 2 ? 2cos( A ? B) ,∴ sin(2 A ? B) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? B) , sin A ∴ sin[ A ? ( A ? B)] ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? B) ,∴ sin( A ? B) cos A ? sin A cos( A ? B) ? 2sin A ,

解析: (Ⅰ)∵

∴ sin B ? 2 sin A ,∴ b ? 2a ,∴ (Ⅱ)∵ a ? 1, c? 7, ∴ S△ABC ?

b ? 2. a

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 4 ? 7 1 b 2? . ? ? ? ,∴ C ? ? 2 ,∴ b ? 2 ,∴ cos C ? a 3 2ab 4 2

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 1 ? 2 ? ? ,即 △ABC 的面积的 . 2 2 2 2 2 考点:三角函数与解三角形.

23. (1) 17 (2)

4 17 17

2 2 2 【解析】试题分析:由三角形余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,将已知条件代入可得到 b 的值; (2)由正弦定理

b c ? ,将已知数据代入可得到 sin C 的值. sin B sin C
2 2 2 2 试题解析: (1)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 ,∴ b ? 17 5

(2)∵ cos B ?

17 5 3 4 b c ? ? ∴ sin B ? ,由正弦定理 , , sin C ? 4 17 4 5 5 sin B sin C sin C 17 5

考点:正余弦定理解三角形

24.

9

【解析】 试题分析: 由正弦定理可得,

,代入数值可求出

,可求

, 又因为 BC>AC,

所以由大角对大边的原则,

<B<A=

,综合得

考点:1.正弦定理的运用;2.三角形三边关系; 25.

? 3
b2 ? c2 ? a 2 bc 1 ? ? ? ,又 0 ? A ? ? ,所以 A= 3 2bc 2bc 2

【解析】 试题分析:由余弦定理可得, cos A ? 考点:余弦定理的应用; 26. 【解析】

试题分析:因 考点:正弦定理及运用. 27. 4 3 或 8 3

,故

,由正弦定理可得

,即

,应填 .

2 【解析】试题分析:设 BC ? x ,则由余弦定理可得 16 ? x2 ? 48 ? 2 ? 4 3 ? x cos300 ,即 x ? 12x ? 32 ? 0 ,所以

x ? 4 或 x ? 8 , 所以 S ?ABC ?

1 1 ? 4 ? 4 3 sin 30 0 ? 4 3 或 S ?ABC ? ? 4 ? 8 3 sin 30 0 ? 8 3 , 故答案 为 4 3 或 2 2

8 3.
考点:正弦定理和余弦定理的妙用. 28.

【解析】试题分析:∵根据余弦定理得 ∴由 4S= ,得 ,



的面积 S=



,∴C=

考点:余弦定理与面积公式. 29.等边三角形 【解析】

a b c sin A sin B sin C ? ? ? ? 得 sin A sin B sin C cos A cos B cos C ? tan A ? tan B ? tan C ? A ? B ? C ,三角形为等边三角形
试题分析:由正弦定理 考点:正弦定理解三角形

10



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