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高中数学选修1-2:2.1.2同步练习


高中数学人教 A 版选修 1-2 同步练习
1.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等.”以上推理的大前提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 解析:选 B.从小前提和结论来看其大前提是矩形都是对角线相等的四边形. 2.有一段演绎推理是这

样的:“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数”.结论 显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 解析:选 C.大前提“有些有理数是分数”中,M 为“有些有理数”,P 为“分数”,小前 提“整数是有理数”中,S 是“整数”,而“有理数”不是大前提中的“M”. 3.

如图所示,因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB=CD,BC=AD. 又因为△ABC 和△CDA 的三边对应相等,所以△ABC≌△CDA. 上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________. 答案:三段论 3 4.由“(a2+a+1)x>3,得 x> 2 ”的推理过程中,其大前提是________. a +a+1 1 2 3 3 a+ ? + >0.∴(a2+a+1)x>3?x> 2 解析:∵a2+a+1=? . ? 2? 4 a +a+1 其前提依据为不等式的乘法法则:a>0,b>c?ab>ac. 答案:a>0,b>c?ab>ac [A 级 基础达标] 1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推 理错误的原因是( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析:选 C.使用了“三段论”,大前提“有理数是无限循环小数”是错误的. 2.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a、b、c 应满足的条 件是( ) A.a2<b2+c2 B.a2=b2+c2 2 2 2 C.a >b +c D.a2≤b2+c2 b2+c2-a2 解析:选 C.由于 cosA= <0, 2bc 2 2 2 2 2 2 ∴b +c -a <0,∴a >b +c . 3.(2012· 菏泽一中高二检测)下列推理过程属于演绎推理的是( ) A.老鼠、猴子与人在身体结构上大有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再 用于人体试验 B.由 1=12,1+3=22,1+3+5=32,?得出 1+3+5+?+(2n-1)=n2
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C. 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每个顶点与对面重心的连线) 交于一点 D.通项公式如 an=cqn(c,q≠0)的数列{an}为等比数列,则数列{-2n}为等比数列 解析:选 D.A、C 是类比推理,B 是归纳推理,D 是演绎推理. 4.补充下列推理的三段论: (1)因为互为相反数的两个数的和为 0,又因为 a 与 b 互为相反数且________,所以 b=8. (2)因为________,又因为 e=2.71828?是无限不循环小数,所以 e 是无理数. 答案:(1)a=-8 (2)无限不循环小数是无理数 5-1 5.已知 a= , 函数 f(x)=ax, 若实数 m, n 满足 f(m)>f(n), 则 m, n 的大小关系为________. 2 解析:当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax 为减函数,?大前提 5-1 a= ∈(0,1),小前提 2 x ? 5-1? 为减函数.结论 所以函数 f(x)=? ? ? 2 ? 故由 f(m)>f(n)得 m<n. 答案:m<n 2x-1 6.已知函数 f(x)= x (x∈R). 2 +1 (1)判定函数 f(x)的奇偶性; (2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明. 解:(1)对?x∈R 有-x∈R, - 2 x-1 1-2x 2x-1 并且 f(-x)= -x = =-f(x), x=- x 2 +1 1+2 2 +1 所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)在 R 上单调递增,证明如下: 任取 x1,x2∈R,并且 x1>x2, 2x1-1 2x2-1 则 f(x1)-f(x2)= - 2x1+1 2x2+1 (2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) = (2x1+1)(2x2+1) 2(2x1-2x2) = . (2x1+1)(2x2+1) ∵x1>x2,∴2x1>2x2>0, ∴2x1-2x2>0,2x1+1>0,2x2+1>0. 2(2x1-2x2) ∴ >0. (2x1+1)(2x2+1) ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在 R 上为单调递增函数. [B 级 能力提升] 7.某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先 生是鹅”.结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 解析:选 C.推理形式不符合三段论推理的形式.三段论的形式是:M 是 P,S 是 M,则 S 是 P,而上面的推理形式则是:M 是 P,S 是 P,则 S 是 M. 8.设⊕是 R 的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 a⊕b∈A,则称 A 对 运算⊕封闭. 下列数集对加法、 减法、 乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集
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解析:选 C.A 错:因为自然数集对减法不封闭;B 错:因为整数集对除法不封闭;C 对:因 为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对加、减、乘、除法(除数不 等于零)四则运算都封闭;D 错:因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. m-3 4-2m 9.已知 sinα = ,cosα = ,其中 α 是第二象限角,则 m 的值为________. m+5 m+5 2 2 ?m-3? +?4-2m? =1, 解析:由? ? ? ? ?m+5? ? m+5 ? 2 整理得 m -8m=0,∴m=0 或 8. ∵α 是第二象限角,则 sinα >0,cosα <0. 经验证知 m=8. 答案:8

10.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点.求证: (1)MN∥平面 PAD; (2)MN⊥CD. 证明:(1)取 PD 的中点 E,连结 AE,NE.∵N,E 分别为 PC,PD 的中点.

∴EN 为△PCD 的中位线, 1 ∴EN∥CD,且 EN= CD. 2 1 ∵M 为 AB 的中点,∴AM= AB, 2 又∵ABCD 为矩形,∴CD∥AB,且 CD=AB, ∴EN∥AM,且 EN=AM.∴四边形 AENM 为平行四边形,∴MN∥AE,而 MN?平面 PAD, AE?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥矩形 ABCD 所在平面, ∴CD⊥PA,而 CD⊥AD,PA 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,∴CD⊥平面 PAD,而 AE?平面 PAD, ∴AE⊥CD.又∵MN∥AE,∴MN⊥CD. 11.(创新题)设事件 A 发生的概率为 P,若在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为 P′, 则由 A 产生 B 的概率为 P· P′.根据这一事实解答下题. 一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第 0,1,2,?,100,共 101 站,一枚棋子开始在第 0 站(即 P0=1),由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币出现正面,则棋子向前跳 动一站;若硬币出现反面,则向前跳动两站.直到棋子跳到第 99 站(获胜)或第 100 站(失败) 时,游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第 n 站时的概率为 Pn. (1)求 P1,P2,P3; (2)设 an=Pn-Pn-1(1≤n≤100),求证数列{an}是等比数列. 1 1 1 1 3 1 1 3 1 5 解:(1)P0=1,∴P1= ,P2= × + = ,P3= × + × = . 2 2 2 2 4 2 2 4 2 8 1 (2)证明:棋子跳到第 n 站,必是从第 n-1 站或第 n-2 站跳来的(2≤n≤100),所以 Pn= Pn 2
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1 1 1 1 1 + Pn - 2 , ∴ Pn - Pn - 1 = - Pn - 1 + Pn - 1 + Pn - 2 = - (Pn - 1 - Pn - 2) , ∴ an = - an - 2 2 2 2 2 1 1 1 1(2≤n≤100),且 a1=P1-P0=- .故{an}是公比为- ,首项为- 的等比数列(1≤n≤100). 2 2 2
-1

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