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辽宁省五校2013-2014学年高一数学上学期期末联考试题新人教A版


2013~2014 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)下列四个选项中,只有一个是正确 的,请把正确的选项选出,涂在答题卡上. 1.已知集合 A ? {1, 2}, B ? {1, 2,3} ,集合 C ? {t | t ? x ? y, x ? A, y ? B} ,则

集合 C 中的元 素个数是( (A)4 ) (B) 5

(C) 6

(D)7 )

2.已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 ? , ? ,则下列命题正确的是( (A)若 m / /? , n ? ? , 则 m / / n (C) 若m / /? , n / /? , 则m / / n (B) 若 ? ? ? ? m, m ? n, 则 n ? ? (D) 若 m / /? , m ? ? , ? ? ? ? n, 则 m / / n

3.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9), B(10, ?1,6), C( x, 4,3) 为顶点的 ?ABC 是以 BC 为 底边的等腰三角形,则实数 x 的值为( (A)-2 (B) 2 (C) 6 4.设 f ( x) ? ? ) (D)2 或 6 )

? x ? 2,( x ? 10) ,则 f (5) ? ( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)

(A)10 (B) 11 (C) 12 (D)13 5.已知一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积是( ) (A)

23 3

(B)

23 6
x

(C)

11 3

(D)

10 3

6.已知函数 f ( x) ? 2 ?1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 的任意 x1 , x2 ,下列结论: (1) ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ; (2) x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) (3) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; 其中正确结论的序号是( ) (A) (1) (2) (B)(1) (3) (4)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2) 2 2
(D) (3)(4)

(C)(2) (4)

7. 设 A, B 是 x 轴上的不同两点,点 P 的横坐标为 2 , |PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为

x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是(
(A) x ? y ? 5 ? 0 (B) 2 x ? y ? 1 ? 0

) (C) 2 y ? x ? 4 ? 0 (D) 2 x ? y ? 7 ? 0

8. 下列结论:①函数 y ?

x 2 和 y ? ( x )2 是同一函数;②函数 f ( x ? 1) 的定义域为

1

[1, 2] ,则函数 f (3x 2 ) 的定义域为 [0,

3 ] ;③函数 y ? log2 (x2 ? 2x ? 3) 的递增区间为 3

(?1, ??) ;④若函数 f (2 x ?1) 的最大值为 3,那么 f (1 ? 2 x) 的最小值就是 ?3 .
其中正确的个数为( ) (A)0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个

9.曲线 y ? 4 ? x2 ? 1(?2 ? x ? 2) 与直线 y ? kx ? 2k ? 4 有两个不同的交点时,实数 k 的 取值范围是( ) (C) ( , )

5 3 5 (A) ( , ] (B) ( , ?? ) 12 4 12

1 3 3 4

(D) (??,

5 3 ) ? ( , ??) 12 4 1 的实数 a 的 2

2 10.已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?( x ?1) ? 1 ,满足 f [ f ( a )] ?

个数为 ( ) (A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 11.在正三棱锥 S-ABC 中, 外接球的表面积为 36? , M, N 分别是 SC,BC 的中点, 且 MN ? AM , 则此三棱锥侧棱 SA=( ) (A)1 (B) 2 (C)

3

(D) 2 3

12.定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C,对于任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C , 则 称 函 数 f ( x) 在 D 上 的 “ 均 值 ” 为 C , 已 知 2


f ( x) ? lg x, x ?[10,100] ,则函数 f ( x) ? lg x, 在x ?[10,100] 上的均值为(
(A)

3 2

(B)

3 4

(C)

1 10

(D) 10

第Ⅱ卷 选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) =________
14.若圆心在直线 y ? x 上,半径为 2 的圆 M 与直线 x ? y ? 4 相切,则圆 M 的标准方程是 _____________ 15.函数 f ( x) ? x(

1 1 m ? ) 定义域为 (??,1) ? (1, ??) , 则满足不等式 a ? f (a) 的实数 2 ?a 2
x

m 的集合____________ 16.如图,三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球面的碗中, 小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面,则这个碗的半径 R 是________________cm

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?

4x 4x ? 2

(1)若 0 ? a ? 1 ,求 f (a) ? f (1 ? a) 的值; (2)求 f (

1 2 )? f( )? 2013 2013

? f(

2012 ) 的值. 2013

? 1) ,过点 B 的内角平分线所在直线方程 18. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A(3,
是 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,过点 C 的中线所在直线的方程是 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 (1)求顶点 B 的坐标; (2)求直线 BC 的方程;

19. (本小题满分 12 分)如图 C,D 是以 AB 为直径的圆上的两点,

AB ? 2 AD ? 2 3, AC ? BC ,F 是 AB 上的一点,且 AF ?
在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,已知 CE ? 2 (1)求证:AD ? 平面 BCE (2)求证 AD//平面 CEF; (3)求三棱锥 A-CFD 的体积

1 AB ,将圆沿 AB 折起,使点 C 3

3

20. (本小题满分 12 分)某跨国饮料公司对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.5—8 千美元的地区销售, 该公司 M 饮料的销售情况的调查中发现: 人均 GDP 处在中等的地区对该 饮料的销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中(x 表示人均 GDP,单位:千美元;y 表示年人均 M 饮料的销量,单 位:升) ,用哪个来描述人均,饮料销量与地区的人均 GDP 的关系更合适?说明理由. (A) f ( x) ? ax2 ? bx (B) f ( x) ? loga x ? b (C) f ( x) ? a x ? b (D) f ( x) ? x? ? b (2)若人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 M 饮料的销量为 2 升;人均 GDP 为 4 千美元时,年 人均 M 饮料的销量为 5 升;把你所选的模拟函数求出来.; (3)因为 M 饮料在 N 国被检测出杀虫剂的含量超标,受此事件影响,M 饮料在人均 GDP 不 高于 3 千美元的地区销量下降 5%,不低于 6 千美元的地区销量下降 5%,其他地区的销量下 降 10%,根据(2)所求出的模拟函数,求在各个地区中,年人均 M 饮料的销量最多为多少?

21. (本小题满分 12 分)已知圆 M : 2 x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ?1 ? 0 ,直线 l : x ? y ? 9 ? 0 , 过 l 上一点 A 作 ?ABC ,使得 ?BAC ? 45 ,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上,求点 A 纵坐 标的取值范围。

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数 (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? (2)设 h( x) ? log9 (a ? 3 ?
x

1 x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; 2

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3

数 a 的取值范围

4

2013-2014 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷 参考答案及评分标准 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本题解答不同,可根据 ... 试题的主要 ..... 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 。 ................... 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的给分;如果后继部分的解答有较重的错误,就不再给 分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ADDBD CAAAD DA 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)把答案直接写在横线上. 13. 0 15. {m | m ? 1} 14. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 2
2 2 2 2

16. 10(1 ?

21 ) 3

三、17. (本小题满分 10 分)

4a 41?a ? 4a ? 2 41?a ? 2 4a 4 4a 2 ? a ? ? a ? a ? 1 . ??????5 分 a 4 ? 2 4 ? 2?4 4 ?2 4 ?2 1 2 2012 )? f ( )? ? f ( ) ? 1?1006 ? 1006 .??????10 分 (2) f ( 2013 2013 2013
解: f (a) ? f (1 ? a ) ? 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)设 B( x, y) ,则 AB 中点 (

x ? 3 y ?1 , ), 2 2

y ?1 ? x?3 ? 10 ? ? 59 ? 0 ? x ? 10 ?6 ? 由? ,解得 ? ,故 B(10,5) . ??????6 分 2 2 y ?5 ? ? ? x ? 4 y ? 10 ? 0

5

(2)设点 A 关于直线 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A?( x, y) ,

y ?1 ?x?3 ? 4? ? 10 ? 0 ? ?x ? 1 ? 2 2 则? ,得 ? ,即 A?(1, 7) , ?y ? 7 ? y ? 1 ? ?4 ?x?3 ? 直线 BC 经过点 A? 和点 B ,故直线 BC 的方程 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 . ??????12 分
19. (本小题满分 12 分) (1)证明:依题意: AD ? BD

? CE ? 平面 ABD

∴ CE ? AD ∴ AD ? 平面 BCE . ??????4 分

? BD ? CE ? E

(2)证明: Rt ?BCE 中, CE ?

2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2

Rt ?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 .


BF BE 2 ? ? . ∴ AD // EF BA BD 3

? AD 在平面 CEF 外, EF 在平面 CEF 内,
∴ AD // 平面 CEF . ??????8 分

(3)解:由(2)知 AD // EF , AD ? ED ,且 ED ? BD ? BE ? 1 ∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离为 1.

S ?FAD ?

1 3 ? 3 ?1 ? . 2 2

? CE ? 平面 ABD
∴ V A?CFD ? VC ? AFD ? 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 B, C, D 表示的函数在区间 [0.5,8]上是单调的,所以用 A 来模拟比较合适. ??????2 分

1 1 3 6 . ??????12 分 ? S ?FAD ? CE ? ? ? 2? 3 3 2 6

(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 M 饮料的销售量为 2 升;若人均 GDP 为 4 千美 元 时,年人 均 M 饮料的 销售 量为 5 升, 把 x = 1, y = 2 ; x = 4, y = 5 代入( A ) 函 数

6

1 ? a?? 2 ? a ? b ? ? 4 ,解得 ? f ( x) = ax2 + bx ,得 ? 9 5 ? 16 a ? 4 b ? ?b? 4 ? 1 2 9 x + x ( x ? [0.5,8] ) 所以所求函数的解析式为 f ( x) = 4 4
(3)根据题意可得: 当 x ? [0.5,3] 时, y = 则当 x = 3 时, ymax = 当 x ? (3,6) 时, y = 当 x ? [6,8] 时, y = 则当 x = 6 时, ymax = 显然

??????7 分

19 9 81 [( x - ) 2 ] ,在 x ? [0.5,3] 上递增, 80 2 4 171 ; 40 9 9 81 9 9 729 [( x - ) 2 ] , ? (3,6) ,则当 x = 时, ymax = ; 40 2 4 2 160 2 19 9 81 [( x - ) 2 ] ,在 x ? [6,8] 上递减, 80 2 4 171 ; 40

729 171 > , 160 40 729 升. 160

所以当人均 GDP 在 4.5 千美元的地区,人均 M 饮料的销量最多为

??????12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:由题意圆心 M (2, 2) ,半径 r ?

34 ,设 A(9 ? a, a) , 2

因为直线 AC 和圆 M 相交或相切,所以 M 到 AC 的距离 d ? r , 而d ?

2 2 | AM | ,因此 | AM |? r , 2 2

??????6 分



2 34 ? (7 ? a) 2 ? (a ? 2) 2 ? ? a 2 ? 9a ? 18 ? 0 2 2
??????12 分

解得 3 ? a ? 6 ,故点 A 的纵坐标的取值范围是 [3, 6] . 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 y ? f ( x) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) , 即 log9 (9
?x

? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于任意 x 恒成立.

7

于是 2kx ? log9 (9

?x

? 1) ? log9 (9 x ? 1) ? log 9
1 . 2
x

9x ? 1 ? log 9 (9 x ? 1) ? ? x 恒成立, x 9
??????4 分

而 x 不恒为零,所以 k ? ?

(2)由题意知方程 log 9 (9 ? 1) ?

1 1 x ? x ? b 即方程 log9 (9x ?1) ? x ? b 无解. 2 2

令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.

1 1 9x ? 1 1 ? log9 (1 ? x ) ,由1 ? x ? 1 ,则 g ( x) ? log 9 (1 ? x ) ? 0 , 因为 g ( x) ? log 9 x 9 9 9 9
所以 b 的取值范围是 (??, 0] . (3)由题意知方程 3 ?
x

??????8 分

1 4 ? a ? 3x ? a 有且只有一个实数根. x 3 3 4 2 x 令 3 ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 3 若 a ? 1 ,则 t ? ? ,不合题意, 舍去; 4
若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由? ? 0? a ?

3 3 1 1 或 ?3 ;但 a ? ? t ? ? ,不合题意,舍去;而 a ? ?3 ? t ? ; 4 4 2 2

若方程(*)的两根异号 ? (a ? 1) ? (?1) ? 0 ? a ? 1 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} (1, ??) . ??????12 分

8


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