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2014届高考数学一轮复习名师首选:第9章53《曲线与方程》


学案 53

曲线与方程

导学目标: 了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则.

自主梳理 1.曲线的方程与方程的曲线 如果曲线 C 上点的坐标(x, y)都是方程 f(x, y)=0 的解, 且以方程 f(x, y)=0 的解(x, y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程.曲

线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线. 2.求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.求曲线方程的常用方法: (1)直接法;(2)定义法;(3)代入法;(4)参数法. 自我检测 2 1.已知动 点 P 在曲线 2x -y=0 上移动,则点 A(0,-1)与点 P 连线中点的轨迹方程 为______________. 2 2 2 2 2.一动圆与圆 O:x +y =1 外切,而与圆 C:x +y -6x+8=0 内切,那么动圆的圆心 P 的轨迹是__________________________________________________________________. 3.已知 A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆的另 一个焦点 F 的轨迹方程是______________________. → → 4. 若 M、 N 为两个定点且 MN=6, 动点 P 满足PM?PN=0, 则 P 点的轨迹方程为________. 2 2 5.若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同 的交点,则实数 m 的取值范围是__________________. 探究点一 直接法求轨迹方程 例 1 动点 P 与两定点 A(a,0), B(-a,0)连线的斜率的乘积为 k, 试求点 P 的轨迹方程, 并讨论轨迹是什么曲 线.

→ → 变式迁移 1 已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN||MP| → → +MN?NP=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为______________. 探究点二 定义法求轨迹方程 例 2 已知两个定圆 O1 和 O2, 它们的半径分别是 1 和 2, 且 O1O2=4.动圆 M 与圆 O1 内切, 又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.

? ? ? ? 变式迁移 2 在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?- ,0?,C? ,0?,且满足条件 ? 2 ? ?2 ? 1 sin C-sin B= sin A,则动点 A 的轨迹方程为___________ _________________________. 2 探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程 2 2 例 3 如图所示,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N. 求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.
a a

[来源:学科网]

变式迁移 3 已知长为 1+ 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,P 2→ → 是 AB 上一点,且AP= PB.求点 P 的轨迹 C 的方程. 2

分类讨论思想 例 (14 分) 过定点 A(a,b)任作互相垂直的两直线 l1 与 l2,且 l1 与 x 轴交于点 M,l2 与 y 轴交于点 N,如图所示,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

多角度审题 要求点 P 坐标,必须先求 M、N 两点,这样就要求直线 l1、l2,又 l1、l2 过定点且垂直,只要 l1 的斜率存在,设一参数 k1 即可求出 P 点坐标,再消去 k1 即得点 P 轨 迹方程. 【答题模板】 解 (1)当 l1 不平行于 y 轴时,设 l1 的斜率为 k1,则 k1≠0.因为 l1⊥l2, 1 所以 l2 的斜率为- , [2 分]

k1 l1 的方程为 y-b=k1(x-a),
1

①[4 分] ②[6 分] [8 分] [10 分]

l2 的方程为 y-b=- (x-a), k1

b k1 a 在②中令 x=0,得 N 点的纵坐标为 y1=b+ , k1
在①中令 y=0,得 M 点的横坐标为 x1=a- ,
1

a b x= - ,? ? ? 2 2k 设 MN 中点 P 的坐标为(x,y),则有? b a ? ?y=2+2k ,
1

消去 k1,得 2ax+2by-a -b =0 (x≠ ). 2

2

2

a

③[12 分]

? ? (2)当 l1 平行于 y 轴时,MN 中点为? , ?,其坐标满足方程③. ?2 2? 2 2 综合(1)(2)知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax+2by-a -b =0. [14 分] 【突破思维障碍】 引进 l1 的斜率 k1 作参数,写出 l1、l2 的直线方程,求出 M、N 的坐标,求出点 P 的坐标, 得参数方程,消参化为普通方程,本题还要注意直线 l1 的斜率是否存在. 【易错点剖析】
a b

? ? 当 AM⊥x 轴时,AM 的斜率不存在,此时 MN 中点为? , ?,易错点是把斜率不存在的情 2 2 ? ?
a b

? ? 况忽略,因而丢掉点? , ?. 2 2 ? ?
a b
[来源:学科网 ZXXK]

1.求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系,这些条件简单明确,易于表达成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直 接法.用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个步骤,但 最后的证明可以省略.(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义), 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程, 或从曲线定义出发建立关系式, 从而求出轨迹方程. (3) 代入法: 动点所满足的条件不易表达或求出, 但形成轨迹的动点 P(x, y)却随另一动点 Q(x′, y′)的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得,则可先将 x′,y′表示 为 x、 y 的式子, 再代入 Q 的轨迹方程, 然后整理得 P 的轨迹方程, 代入法也称相关点法. (4) 参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变 量(参数),使 x、y 之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程. 2.本节易错点:(1)容易忽略直线斜率不存在的情况;(2)利用定义求曲线方程时,应 考虑是否符合曲线的定义.

课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.已知椭圆的 焦点是 F1、F2,P 是椭圆的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点,则动点 M 的轨迹是______________________________ ___________________________________. 2. 已知 A、 B 是两个定点, 且 AB=3, CB-CA=2, 则点 C 的轨迹方程为______________. → → 3.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,AC=2CB,则点 C 的轨迹方 程为____________.

4.如图,圆 O:x +y =16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线 l 是圆 O 的一条切 线,若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是________. 5.P 是椭圆 + =1 上的动点,作 PD⊥y 轴,D 为垂足,则 PD 中点的轨迹方程为 16 9 ____________. 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足 PA=2PB,则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于______. 7.已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长 CD=3,则顶点 A 的轨迹 方程 为______________. → → ? y? 8.平面上有三点 A(-2,y),B?0, ?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 ? 2? __________. 二、解答题(共 42 分) 2 9.(14 分)已知抛物线 y =4px (p>0),O 为顶点,A,B 为抛物线上的两动点,且满足 OA⊥OB,如果 OM⊥AB 于点 M,求点 M 的轨迹方程.

2

2

x2

y2

10.(14 分)已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一 个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, =λ ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

OP OM

11.(14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1(0,- 3)和 F2(0, 3)为 焦点、离 3 心率为 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 2 → → → x 轴,y 轴的交点分别为 A,B,且OM=OA+OB.求: (1)点 M 的轨迹方程; → (2)|OM|的最小值.

[来源:学+科+网]

学案 53

曲线与方程 答案

自我检测 1.8x -2y-1=0 2.双曲线的右支 3.y - =1(y≤-1) 48 2 2 4.x +y =9 3 3 5.(- ,0)∪(0, ) 3 3
2 2

x2

解析 C1:(x-1) +y =1, C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+1). 当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点;

2

2

当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1) +y =1 与直线 y=m(x+1)有两交点,当圆与直 3 线相切时,m=± , 3 即直线处于两切线之间时满足题意, 3 3 则- <m<0 或 0<m< . 3 3 3 3 <m<0 或 0<m< . 3 3 课堂活动区 例 1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时, 不能仅仅根据方程的外 表草率地作出判断; ②由于已知条件中,直线 PA、PB 的斜率存在,因此轨迹曲线应除去 A、B 两点; 综上知- ③一般地,方程 + =1 所表示的曲线有以下几种情况:

2

2

x2 y2 A B

A>B>0,表示焦点在 x 轴上的椭圆; A=B>0,表示圆; 0<A<B,表示焦点在 y 轴上的椭圆; A>0>B,表示焦点在 x 轴上的双曲线; A<0<B,表示焦点在 y 轴上的双曲线; A,B<0,无轨迹. y y 解 设点 P(x,y),则 kAP= ,kBP= . x-a x+a y y 2 2 2 由题意得 ? =k,即 kx -y =ka . x-a x+a 2 2 2 ∴点 P 的轨迹方程为 kx -y =ka (x≠±a).(*) (1)当 k=0 时,(*)式即 y=0,点 P 的轨迹是直线 AB(除去 A、B 两点). x2 y2 (2)当 k≠0 时,(*)式即 2- 2=1, a ka ①若 k>0,点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(除去 A、B 两点). x2 y2 ②若 k<0,(*)式可化为 2+ =1. a ? -ka2? 1° 当-1<k<0 时,点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去 A、B 两点); 2 2 2 2° 当 k=-1 时, (*)式即 x +y =a , 点 P 的轨迹是以原点为圆心, |a|为半径的圆(除 去 A、B 两点); 3° 当 k<-1 时,点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去 A、B 两点). 2 变式迁移 1 y =-8x
1° 2° 3° 4° 5° 6° → → 解析 由题意:MN=(4,0),MP=(x+2,y), → NP=(x-2,y), → → → → ∵|MN||MP|+MN?NP=0, 2 2 2 2 ∴ 4 +0 ? ? x+2? +y +(x-2)?4+y?0=0, 2 移项两边平方,化简得 y =-8x. 例 2 解题导引 (1 )由于动点 M 到两定点 O1、O2 的距离的差为常数,故应考虑是否符 合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出其 方程,而不需再将几何等式借助坐标转化; (2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意:“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念, 前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围). 解

如图所示,以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 由 O1O2=4, 得 O1(-2,0)、O2(2,0). 设动圆 M 的半径为 r,则 由动圆 M 与圆 O1 内切,有 MO1=r-1; 由动圆 M 与圆 O2 外切,有 MO2=r+2. ∴MO2-MO1=3<4. ∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点,实轴长为 3 的双曲线的左支. 3 7 2 2 2 ∴a= ,c=2,∴b =c -a = . 2 4 2 2 4x 4y ∴点 M 的轨迹方程为 - =1 (x<0). 9 7 2 2 16x 16y a 变式迁移 2 - 2 =1 (x> ) a2 3a 4 1 解析 ∵sin C-sin B= sin A,由正弦定理得到 2 1 1 AB-AC= BC= a(定值). 2 2
[来源:学,科,网]

∴A 点轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线右支,其中实半轴长为 ,焦距为 BC=a. 4 ∴虚半轴长为
2 2 ?a?2-?a?2= 3a,由双曲线标准方程得为16x -16y =1(x>a). ?2? ?4? 4 2 a2 3a 4 ? ? ? ?

a

例 3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法,是求轨迹方程常用的方法.其题目 特征是:点 A 的运动与点 B 的运动相关,且点 B 的运动有规律(有方程),只需将 A 的坐标转 移到 B 的坐标中,整理即可得点 A 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(x, y), 点 Q 的坐标为(x1, y1), 则点 N 的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2. ① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2, y-y1 ∴ =1,即 x-y+y1-x1=0. ② x-x1 3 1 ? ?x =2x+2y-1, 联立①②解得? 1 3 ? ?y =2x+2y-1.
1 1 2 2



又点 Q 在双曲线 x -y =1 上, 2 2 ∴x1-y1=1.④ ③代入④,得动点 P 的轨迹方程是 2 2 2x -2y -2x+2y-1=0. 变式迁移 3 解 设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y), 2→ → AP= PB, 2 → → 又AP=(x-x0,y),PB=(-x,y0-y),

所以 x-x0=- 得 x0=?1+

2 2 x,y= (y0-y) 2 2

? ?

2? ?x,y0=(1+ 2)y. 2?
2 2 2

因为 AB=1+ 2,即 x0+y0=(1+ 2) , 2? ?2 ?? 2 2 所以??1+ ?x? +[(1+ 2)y] =(1+ 2) , 2? ? ?? 化简得 +y =1. 2 ∴点 P 的轨迹方程为 +y =1. 2 课后练习区 1.以 F1、O 为焦点的椭圆 2.双曲线的一支 解析 A、B 是两个定点,CB-CA=2<AB,所以点 C 轨迹为双曲线的一支. 3.x + =1 4 2 2 解析 设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a +b =9, ① → → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),
2

x2

2

x2

2

y2

a=3x, ? ? 即? 3 b= y, ? ? 2
代入①式整理可得 x + =1. 4 4.椭圆 解析
2



y2

设抛物线的焦点为 F,因为 A、B 在抛物线上, 所以由抛物线的定义知,A、B 到 F 的距离 AF、BF 分别等于 A、B 到准线 l 的距离 AM、 BN(如图所示), 于是 AF+BF=AM+BN. 过 O 作 OR⊥l,由于 l 是圆 O 的一条切线,所以四边形 AMNB 是直角梯形,OR 是中位线, 故有 AF+BF=AM+BN =2OR=8>4=AB. 根据椭圆的定义知,焦点 F 的轨迹是一个椭圆. 5. + =1 4 9 解析 设 PD 中点为 M(x,y),则 P 点坐标为(2x,y),代入方程 + =1, 16 9 即得 + =1. 4 9 6.4π 2 2 2 2 2 2 解析 设 P(x,y),由题知有:(x+2) +y =4[(x-1) +y ],整理得 x -4x+y =0,

x2 y2

x2

y2

x2 y2

配方得(x-2) +y =4,可知圆的面积为 4π . 2 2 7.(x-10) +y =36 (y≠0) 解析 方法一 直接法.

2

2

? ? 设 A(x,y),y≠0,则 D? , ?, ?2 2?
x y
∴CD=

?x-5?2+y =3. ?2 ? 4 ? ?
2 2

2

化简得(x-10) +y =36, ∵A、B、C 三点构成三角形, ∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0. 方法二

定义法.如图所示, 设 A(x,y),D 为 AB 的中点,过 A 作 AE∥CD 交 x 轴于 E, 则 E(10,0). ∵CD=3,∴AE=6, ∴A 到 E 的距离为常数 6. ∴A 的轨迹为以 E 为圆心,6 为半径的圆, 2 2 即(x-10) +y =36. 又 A、B、C 不共线,故 A 点纵坐标 y≠0. 2 2 故 A 点轨迹方程为(x-10) +y =36 (y≠0). 2 8.y =8x 9.解 设 M(x,y),直线 AB 斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+b. 由 OM⊥AB 得 k=- . 设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 2 由 y =4px 及 y=kx+b 消去 y,
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

x y

b2 得 k x +x(2kb-4p)+b =0,所以 x1x2= 2. k 2 消去 x,得 ky -4py+4pb=0, 4pb 所以 y1y2= . (6 分) k 由 OA⊥OB,得 y1y2=-x1x2, 4pb b2 所以 =- 2,b=-4kp. k k 故 y=kx+b=k(x-4p). (10 分) x 用 k=- 代入, y 2 2 得 x +y -4px=0 (x≠0). (12 分) AB 斜率不存在时,经验证也符合上式. 故 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0 (x≠0). (14 分)
2 2 2

10 .解

(1) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a 、 c ,由已知得 ?

? ?a-c=1, ?a+c=7, ?

解得

?a=4, ? ? ?c=3, ?

又∵b =a -c ,∴b= 7,

2

2

2

所以椭圆 C 的方程为 + =1. (4 分) 16 7 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4], 2 OP2 9x +112 2 2 由已知 2=λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 =λ , 2 2 OM 16? x +y ? 2 2 2 2 整理得(16λ -9)x +16λ y =112, 其中 x∈[-4,4]. (5 分) 3 2 ①当 λ = 时,化简得 9y =112, 4 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4). 3 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.(7 分) 3 x2 y2 ②当 λ ≠ 时,方程变形为 + =1, 4 112 112 2 2 16λ -9 16λ 其中 x∈[-4,4]. 3 当 0<λ < 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分. 4 3 当 <λ <1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分; 4 当 λ ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆. (14 分) 11.解 (1)椭圆的方程可写为 2+ 2=1,其中 a>b>0,

x2

y2

y2 x2 a b

a -b =3 ? ? 由? 3 3 = ? 2 ?a
分)

2

2

? ?a =4 得? 2 ?b =1 ?

2

,所以曲线 C 的方程为 x + =1(0<x<1,0<y<2). 4

2

y2

(3

y=2 1-x2(0<x<1),y′=-

. 2 1-x 设 P(x0,y0),因为 P 在 C 上,有 0<x0<1, 4x0 y0=2 1-x2 , 0,y′|x=x0=-

2x

y0

4x0 得切线 AB 的方程为 y=- (x-x0)+y0.

y0

(6 分) 1 4 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x= ,y= .

x0

y0

→ → → 由OM=OA+OB得点 M 的坐标为(x,y), 1 4 由 x0,y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方程为 2+ 2=1(x>1,y>2).

x

y

(10 分)

4 4 → 2 2 2 2 (2)|OM| =x +y ,y = =4+ 2 , 1 x -1 1- 2

x

4 → 2 2 所以|OM| =x -1+ 2 +5≥4+5=9, x -1 4 2 当且仅当 x -1= 2 ,即 x= 3时,上式取等号. x -1 → 故|OM|的最小值为 3.

(14 分)


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