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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第九章 9.1


§ 9.1

直线的方程

1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x 轴(正方向)按逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫作直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行 或重合时,规定它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为[0° ,180° ). (2)直线的斜率 ①定义: 一条直线的倾斜角 α 的正切值叫作这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示, 即 k=tan_α,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式 y2-y1 为 k= . x2-x1 2. 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用

3. 过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1; (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为 x=0; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0. 4. 线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 x ?x=x + 2 ? y +y ?y= 2
1 1 2

,此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

2

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大. (4)直线的斜率为 tan α,则其倾斜角为 α. (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. (6)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示. x y (7)不经过原点的直线都可以用 + =1 表示. a b ( √ ( × ( × ( × ( × ( × ( × ) ) ) ) ) ) )

(8)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x -x1)(y2-y1)表示. 2. 如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过 A.第一象限 C.第三象限 答案 C C C 解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距- >0,在 y 轴上的截距- >0,故 A B 直线经过一、二、四象限,不经过第三象限. 3. 若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 答案 4 a-3 5-3 解析 由 = =1,得 a=4. 5-4 6-4 B.第二象限 D.第四象限 ( √ ( ) )

4. 直线 l 经过 A(2,1), B(1,m2)(m∈R)两点. 则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________. π? ?π ? 答案 ? ?0,4?∪?2,π? m2-1 解析 直线 l 的斜率 k= =1-m2≤1. 1-2 若 l 的倾斜角为 α,则 tan α≤1. π? ?π ? 又∵α∈[0,π),∴α∈? ?0,4?∪?2,π?. 5. 过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案 x+y+1=0 或 4x+3y=0 4 解析 ①若直线过原点,则 k=- , 3 4 ∴y=- x,即 4x+3y=0. 3 ②若直线不过原点. x y 设 + =1,即 x+y=a. a a ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.

题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直 线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. 思维启迪 本题考查斜率求解公式以及 k 与 α 的函数关系,解题关键是在求倾斜角时要 对其分锐角、钝角的讨论. 答案 [-1,1] π 3π [0, ]∪[ ,π) 4 4

解析 如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时, α=0,k>0 时,α 为锐角. 又 kPA= kPB= -2-?-1? =-1, 1-0

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4

3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4 π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根

π? ?π ? 据斜率求倾斜角的范围时,要分? ?0,2?与?2,π?两种情况讨论.由正切函数图像可以看 π? π ?π ? 出当 α∈? ?0,2?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α=2时,斜率不存在;当 α∈?2,π?时,斜率 k∈(-∞,0). (1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为 (1,-1),则直线 l 的斜率为 1 A. 3 1 B.- 3 3 C.- 2 2 D. 3 ( ) ( )

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是 π π? ?π 5π? A.? ?6,2?∪?2, 6 ? 5π 0, ? C.? 6? ? 答案 解析 (1)B (2)B (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b), π 5π 0, ?∪? ,π? B.? 6 ? ? ?6 ? π 5π? D.? ?6, 6 ?

? ?a+7=2 则有? ,解得 a=-5,b=-3, ?b+1=-2 ?

-3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =- . 3 7+5 (2)由 xcos α+ 3y+2=0 得直线斜率 k=- ∵-1≤cos α≤1,∴- 3 3 ≤k≤ . 3 3 3 3 ≤tan θ≤ . 3 3 3 cos α. 3

设直线的倾斜角为 θ,则-

π? ?π ? 结合正切函数在? ?0,2?∪?2,π?上的图像可知, π 5π 0≤θ≤ 或 ≤θ<π. 6 6 题型二 求直线的方程 例2 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 思维启迪 本题考查直线方程的三种形式,解题关键在于设出正确的方程形式. 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 10 (0<α<π), 10

设倾斜角为 α,则 sin α=

3 10 1 从而 cos α=± ,则 k=tan α=± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a 又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k= . 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用 条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的 直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式, 应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍. 解 (1)设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a,

若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3

x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾斜角为 2α. 2tan α 3 ∵tan α=3,∴tan 2α= =- . 4 1-tan2α 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. 题型三 直线方程的综合应用 例3 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. 思维启迪 先求出 AB 所在的直线方程,再求出 A,B 两点的坐标, 表示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值. 解 x y 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), a b 6 ,得 ab≥24, ab

3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 a b

1 3 2 b 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号成立,这时 k=- =- , 2 a b a 3 从而所求直线方程为 2x+3y-12=0. 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0), 2 ? 且有 A? ?3-k ,0?,B(0,2-3k), 2? 1 ∴S△ABO= (2-3k)? ? 3- k ? 2 4 1 = ?12+?-9k?+?-k?? 2? ? 1? ≥ ?12+2 2? 4 ? ?-9k?· ? ?-k??

1 = ×(12+12)=12. 2 当且仅当-9k= 4 2 ,即 k=- 时,等号成立. 3 -k

即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0. 思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的 x,y 的关系,将问 题转化为关于 x(或 y)的函数,借助函数的性质解决. (2)与方程、 不等式相结合的问题: 一般是利用方程、 不等式的有关知识(如方程解的个数、 根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决. 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点), 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. (1)证明 直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,
? ? ?x+2=0 ?x=-2 令? ,解得? , ?1-y=0 ?y=1 ? ?

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解 1+2k 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k, k

要使直线不经过第四象限, 1+2k ? ?- ≤-2 k 则必须有? ,解之得 k>0; ?1+2k≥1 ? 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0. 1+2k ? (3)解 由 l 的方程,得 A?- ,0 ,B(0,1+2k). k ? ? 1+2k ? ?- <0, k 依题意得? 解得 k>0. ? ?1+2k>0, 1 1 ?1+2k? ∵S= · |OA|· |OB|= · · |1+2k| 2 2? k ?
2 1 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+k+4? ? 2 k 2

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为___________. 思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等,分类设出直线的方程求解. x y 解析 当截距不为 0 时,设所求直线方程为 + =1, a a 即 x+y-a=0, |4+3-a| ∵点 M(4,3)与所求直线的距离为 5,∴ =5, 2 ∴a=7± 5 2. ∴所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0. 当截距为 0 时,设所求直线方程为 y=kx,即 kx-y=0. 同理可得 |4k-3| 1+k
2=5,∴k=-3.

4

4 ∴所求直线方程为 y=- x,即 4x+3y=0. 3 综上所述,所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0. 答案 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0 温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有 (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况; (2)选用截距式时,忽视截距为零的情况; (3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.

方法与技巧 y2-y1 1. 要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k= ,该公式 x2-x1 与两点顺序无关, 已知两点坐标(x1≠x2)时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. 当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° . 2. 求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫

待定系数法. 失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都 存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为(-B,A)不可记错,但同时注意方向向 量是不唯一的.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 答案 D 解析 直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角,且 α2>α3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D. 2. 已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A.1 C.-2 或-1 答案 D a+2 解析 由题意得 a+2= ,∴a=-2 或 a=1. a 3. 已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率为( A. 3 答案 A 解析 直线 PQ 的斜率为- 3,则直线 PQ 的倾斜角为 120° ,所求直线的倾斜角为 60° , tan 60° = 3. x y x y 4. 两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图像可以是 a b b a ( ) B.- 3 C .0 D.1+ 3 ) B.-1 D.-2 或 1 ( ) ( )

答案 A x y x y 解析 化为截距式 + =1, + =1. a -b b -a 假定 l1,判断 a,b,确定 l2 的位置,知 A 项符合. 5. 设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是 A.[0,π) π 3π? C.? ?4, 4 ? 答案 C π 解析 当 cos θ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ; 2 1 当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=- . cos θ ∵cos θ∈[-1,1]且 cos θ≠0, ∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 α∈[0,π), π π? ?π 3π? ∴α∈? ?4,2?∪?2, 4 ?. π 3π? 综上知,倾斜角的范围是? ?4, 4 ?,故选 C. 二、填空题 6. 直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________. 2 答案 - 3 解析 设 P(m,1),则 Q(2-m,-3), ∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1), 1+1 2 ∴k= =- . 3 -2-1 π π? B.? ?4,2? π π? ?π 3π? D.? ?4,2?∪?2, 4 ? ( )

7. 直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ,则 a 的取值范围是________________. 答案 1 (-∞,- )∪(0,+∞) 2

解析 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90° ,符合要求; a a a 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率为- ,只要- >1 或者- <0 即可, a+1 a+1 a+1 1 解得-1<a<- 或者 a<-1 或者 a>0. 2 1 综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(0,+∞). 2 8. 若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 答案 16 x y 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b -2 -2 + =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0. a b 根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且 仅当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 三、解答题 9. 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 解 4 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4, k

4 ? 由已知,得(3k+4)? 6, ?-k-3?=± 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 1 y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b, 6 由已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0) 作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好 1 落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2



由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- 3 x. 3

3 , 3

所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n?, ? ? 2 , 2 ?

1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2

3+ 3 3 = , 2 3-1

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来位置, 那么 l 的斜率为 1 A.- 3 答案 A 解析 结合图形可知选 A. 2. 直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点 1 ? A.? ?-2,3? 1 ? C.? ?2,-3? 答案 D 1 解析 ∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立,∴2x+1=0,y+3=0,∴x=- ,y=-3,定点 2 1 为(- ,-3). 2 3. 经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 ( ) 1 ? B.? ?2,3? 1 ? D.? ?-2,-3? ( ) B.-3 1 C. 3 D.3 ( )

A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案 B

B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

解析 方法一 直线过点 P(1,4),代入选项,排除 A、D, 又在两坐标轴上的截距均为正,排除 C. x y 方法二 设所求直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 1 4 将(1,4)代入得 + =1, a b 1 4 b 4a a+b=(a+b)( + )=5+( + )≥9, a b a b 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小, x y ∴直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0. 3 6 4. 已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. 答案 3 x y 解析 直线 AB 的方程为 + =1, 3 4 3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4 3 ? 3 3 3 ∴xy=3y- y2= (-y2+4y)= [-(y-2)2+4]≤3.即当 P 点坐标为? xy 取最大值 ?2,2?时, 4 4 4 3. 5. 设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是________. 答案 [-2,2] 解析 b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距, 如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时 b 分别取得最小值和最大值.

∴b 的取值范围是[-2,2]. 6. 直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点. (1)当|PA|· |PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程. 解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负.

设 l:y-4=k(x-1)(k<0).

4 令 y=0,可得 A(1- ,0); k 令 x=0,可得 B(0,4-k). (1)|PA|· |PB|= 4 ? ?2+16· 1+k2 k

4 1 =- (1+k2)=-4( +k)≥8.(注意 k<0) k k 1 ∴当且仅当 =k 且 k<0 即 k=-1 时, k |PA|· |PB|取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0. 4 4 (2)|OA|+|OB|=(1- )+(4-k)=5-(k+ )≥9. k k 4 ∴当且仅当 k= 且 k<0,即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值.这时 l 的方程为 2x+y-6 k =0.


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