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极坐标与参数方程复习经典讲义


极坐标与参数方程专题复习
一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ? : ?

? x? ? ? ?x ? y? ? ? ?y

(? ? 0) ( ? ? 0)

例 1、抛物线 y ? 4 x 经过伸缩变换 ? ?
2

? ? 1 x ? x 4 后得到 ? 1 ? y? ? y

? 3 ?
? ? 2x

x 2、在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ? ?

? 1 y? ? y ? ? 2

后,曲线 C

变为 x?2 ? 16 y?2 ? 4 x? ? 0 ,则曲线 C 的方程 二、极坐标系的概念
1、在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度 单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向) 2、极坐标:有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标。一般地,不作特殊说明时,我们认为 注:当 ?<0 时,点 M (?,?)位于极角终边的反向延长线上 例 1、已知 M ? ? 5,

? ?

??

? ,下列所给出的不能表示此点的坐标的是( ) 3? 4? ? ? 3 ?
C. ? 5,?

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

B. ? 5,

? ?

? ?

2? ? ? 3 ?

D. ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?

3、极坐标和直角坐标的互化:
点M 直角坐标 ( x, y ) 极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
tan ? ?
? ? 4? ? ? 3 ? ? ?

y ( x ? 0) x

例 1、 点 P 1,? 3 , 则它的极坐标是 (

?

?

) A ? 2,

? ?? ? ? 3?

B ? 2,

C ? 2,?

??
? 3?

D ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

例 2、 (1) 把点 M 的极坐标 (8,

2? ) 化成直角坐标 (2) 把点 P 的直角坐标 ( 6 ,? 2 ) 3

化成极坐标
例 3、在极坐标系中,已知 A(2,

?

), B(2,? ), 求 A,B 两点的距离 6 6

?

三、常见曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点,半径为 图形 极坐标方程

r 的圆
圆心为 (r , 0) , 半径 为 r 的圆 圆心为 (r , 为 r 的圆 过极点,倾斜角为

? ? r (0 ? ? ? 2? )

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

?
2

) ,半径

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

? 的直线
过点 (a, 0) , 与极轴 垂直的直线

? cos ? ? a(?

?
2

?? ?

?
2

)

过点 (a,

?
2

) ,与极轴

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

平行的直线

例 1、极坐标方程 ? ? cos? 2、圆 ? ?

?? ? ? ? ? 表示的曲线是 ?4 ?

2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是 直线 ? ? ? 与 ? cos( ? ? ? ) ? 1 的位置关系是

3、极点到直线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 3 的距离是 4、在极坐标系中,过圆 ? ? 4cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线方程是 5、在极坐标系中,过点 A(2,

3? ) 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 4

6、填空:   (1)直角坐标方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 0的  极坐标方程为_______ (2)直角坐标方程2 x-y+1? 0的极坐标方程为_______ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?9的极坐标方程为_____ (4)直角坐标方程x ?3的极坐标方程为_______

四、参数方程
1、参数方程的概念:联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数

2、圆的参数 ?

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) ? y ? b ? r sin ?

? x ? 2 cos ? ? 5 例 1、指出参数方程 ? (? 为参数)所表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。 ? y ? 3 ? 2sin ?

例 2、已知点 P(x,y)是圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 上动点,求(1) x 2 ? y 2 的 最值, (2)x+y 的最值, (3)P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。 例 3、若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为
3、椭圆的参数方程 ?



? x ? a cos ? (?为参数) ? y ? b sin ?

例 1、已知椭圆 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数) 求 (1) ? ?

?
6

时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角
? x ? 2 pt 2 (t为参数). 4、抛物线的参数方程 ? ? y ? 2 pt
例 1、在抛物线 y ? 4ax (a ? 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求顶点
2

O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。
5、直线的参数方程 ?

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? y ? y0 ? t sin ?

例 1、若直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, (t为参数) 与直线 l2 : ? ( s 为参数)垂直,则 ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2 s.

k?



6、参数方程与普通方程互化 例 1、化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。

? ?x ? 1 ? 2 t (1) ? ? ?y ? 3 ? 4 t
1 ? ?x ? t ? 2、方程 ? t ? ?y ? 2

(t 是参数)

(2)

x ? 2 cos? y ? cos 2?

( ? 是参数)

表示什么曲线?

极坐标与参数方程训练
1.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为_____________________。 ? y ? 2 ? 3t

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为_____________________。 2.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?

3.点 M 的直角坐标是 ( ?1, 3) ,则点 M 的极坐标为_____________________。 4.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为_____________________。 5.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 6.参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

7.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 8.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
9.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 10.已知点 P( x, y ) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围 11. 求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标, 及点 P y ? ? 5 ? 3 t ? ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

12.在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12


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