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江西省高安市第二中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


高安二中 2017 届高二下学期第一次段考(理科) 数
一、单项选择(12×5=60 分) 1. 已知平面向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2 , a与b 的夹角为 60 ? ,则“m= ”是“ (a ? mb) ? a ”的(






? ? ?

? ?

?

?? ?

? ?



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.袋中装有完全相同的 5 个小球,其中有红色小球 3 个,黄色小球 2 个,如果不放回地依次摸出 2 个小球, 则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是( ) A. B. C. D. )

3. 随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于( A.

1 2 B. C. 1 D. 0 3 3 4. 若 i 为虚数单位,图 1 中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,
则复数

z 的共轭复数是( 1 ? 2i 3 3 i A. ? i B. 5 5

) C. ?i D. i 第 2 题图

( ? 1,e) 5. 设命题 p :曲线 y ? e ? x 在点 处的切线方程是: y ? ?ex ;命题 q : f ' ( x ) 是函数 f ( x) 的导函
数, f ' ( x0 ) =0 的充要条件是 x 0 为函数 f ( x) 的极值点. 则( A. “ p 或 q ”为真 B. “ p 且 q ”为真 C. p 假 q 真 ) D. p , q 均为假命题 且 p≠q,不等式

6. 已 知 函 数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 2 在 区 间 ( 0 , 1 ) 内 任 取 两 个 实 数 p , q ,

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为( p?q
A. ?15, ??) B. (??,15? C. (12,30?

) D. (?12,15?

7. 假设乒乓球团体比赛的规则如下:进行 5 场比赛,除第 3 场为双打外,其余各场为单打,参赛的每个 队 选出 3 名运动员参加比赛,每个队员打两场,且第 1、2 场与第 4、5 场不能是某个运动员连续比赛。某 队有 4 名乒乓球运动员,其中 A 不适合双打,则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有( A、48 8. 已知 a ? A.45 B、56 C、60 D、72
2

)种

?

?

2 0

(sin x ? cos x) dx ,在 (1 ? ax)6 (1 ? y)4 的展开式中, xy 项的系数为(
B.120 C.60 D.72
2



9. 若 a 和 b 是计算机在区间 (0, 2) 上产生的随机数,那么函数 f ( x) ? lg(ax ? 4 x ? 4b) 的值域为 R(实数 集)的概率为( A. ) B.

1 ? 2 ln 2 4

3 ? 2 ln 2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

1 ? ln 2 2
1

10. 一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从点 P 处进,Q 点处出,沿图中线路游览 A、B、C 三个景点 及沿途风景,则不重复(除交汇点 O 外)的不同游览线路有( )种 A.6 B. 8 C. 12 D. 48

1? ? 11. 已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式 ? x k ? ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 x? ?
n 的最小值为 ( A. 4 D. 7 ) B. 5 C. 6

n

第 10 题图 第 第 11 题图 12. 如图所示,F1, 12 题 图

x2 y 2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径 a b


的圆与该双曲线左支的两个交点分别为 A,B,且Δ F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.

2 ?1

B.

3 ?1

C.

2 ?1 2

D.

3 ?1 2

二、填空题(4×5=20 分)

i 2016 ? 2i 2014 13. 在复平面上,复数 对应的点到原点的距离为 (2 ? i) 2
2



) ? 0.4 ,则 P ?? ? 1? 等于 14. 如果随机变量 ? ~ N(- 1 ,且 P(-3 ? ? ? -1 ,? )
15. 设 an (n ? 2, 3, 4, ...) 是 (3 ? x )n 的展开式中 x 的一次项的系数,则 ( _________.



a2015 a2 a3 3 ? 3 ? ??? ? 2015 ) / A2016 的值是 2 3 3 3

16. 设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线的准线相

2

2

交于 C, BF = 三、解答题(10+12×5=70 分)

,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

0 1 2 3 n 17.(10 分) 已知命题 p :实数 x 满足 x2 ? 2x ? 8 ? Cn ;命题 q:实数 x 满 ? Cn ? Cn ? Cn ???? ? (?1)n Cn

足 | x ? 2 |? m(m ? 0) . (1)当 m ? 3 时,若“ p 且 q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若“非 p ”是“非 q ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的 6 次培训成绩(百分制)制成如图所 示的茎叶图: (Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪位? 请运 用统计学的知识说明理由; (Ⅱ)若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个, 记选到的分数超过 8 的个数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望.

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? b)e ,其中 e 为自然对数的底数, b 是复数
x

3i ? 2 的实部。 i

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间 (2) 设函数 g ( x ) ?

1 x ? ln x ? t ,当 a ? ?1 时,存在 x ? (0, ??) 使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求 t 的取值范围。 2

20. (12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图 所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能 地停在任一位置 . 若指 针停在 A 区域 返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区 域不返券 . 例如:消费 A C 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之 和. 60? (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概 率; (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他 获得返券的金额记为 X B (元) .求随机变量 X 的分布列和数学期望.

3

21. ( 12 分 )

如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD , 底 面 对 角 线 AC , BD 交 于 点 O ,

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? DC且AC ? (DC ? BC) ? 0 ,又知 OA ? 4 , OB ? 3 , OP ? 4 , OP ? 底面 ABCD ,设点 M 满足 ???? ? ???? ? PM ? ? MC(? ? 0) .
(1)当 ? ?

1 时,求直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值; 2

( 2) 问线段 PC 上是否存在这样的点 M, 使二面角 M ? AB ? C 的大小为 若存在求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。

? , 4

22. ( 12 分) 已知中心在原点的椭圆 Γ

1

和抛物线 Γ

2

有相同的焦点( 1 , 0 ) ,椭圆 Γ

1

的离心率为

2 97 C32 (C100 ? C100 ) ,抛物线Γ 2 的顶点为原点. 3 A101

(Ⅰ) 求椭圆Γ 1 和抛物线Γ 2 的方程; (Ⅱ) 设点 P 为抛物线Γ 2 准线上的任意一点,过点 P 作抛物线Γ 2 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (ⅰ)设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (ⅱ)若直线 AB 交椭圆Γ 1 于 C,D 两点,S△PAB,S△PCD 分别是△PAB,△PCD 的面积,试问: 明理由. 是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说

4

高安二中 2017 届高二下学期第一次段考(理科)数学试卷 (含答 案) 一、单项选择(12×5=60 分) 1. 1. 已知平面向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2 , a与b 的夹角为 60 ? ,则“m=”是“ (a ? mb) ? a ”的(

? ?

?

?? ?

? ?

?

?

?



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.袋中装有完全相同的 5 个小球,其中有红色小球 3 个,黄色小球 2 个,如果不放回地依次摸出 2 个小球, 则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是( ) A. B. C. D. )

3. 随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于( A.

1 2 B. C. 1 D. 0 3 3 4. 若 i 为虚数单位,图 1 中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,
则复数

z 的共轭复数是( 1 ? 2i 3 3 i A. ? i B. 5 5

) C. ?i D. i 第 2 题图

( ? 1,e) 5. 设命题 p :曲线 y ? e ? x 在点 处的切线方程是: y ? ?ex ;命题 q : f ' ( x ) 是函数 f ( x) 的导函
数, f ' ( x0 ) =0 的充要条件是 x 0 为函数 f ( x) 的极值点 . 则( A. “ p 或 q ”为真 B. “ p 且 q ”为真 C. p 假 q 真 ) D. p , q 均为假命题 且 p≠q,不等式

6. 已 知 函 数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 2 在 区 间 ( 0 , 1 ) 内 任 取 两 个 实 数 p , q ,

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为( p?q
A. ?15, ??) B. (??,15? C. (12,30?

) D. (?12,15?

7. 假设乒乓球团体比赛的规则如下:进行 5 场比赛,除第 3 场为双打外,其余各场为单打,参赛的每个队 选出 3 名运动员参加比赛,每个队员打两场,且第 1、2 场与第 4、5 场不能是某个运动员连续比赛。某 队有 4 名乒乓球运动员,其中 A 不适合双打,则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有( A、48 8. 已知 a ? A.45 B、56 C、 60 D、72
2

)种

?

?

2 0

(sin x ? cos x) dx ,在 (1 ? ax)6 (1 ? y)4 的展开式中, xy 项的系数为(
B.120 C.60 D.72
2



9. 若 a 和 b 是计算机在区间 (0, 2) 上产生的随机数,那么函数 f ( x) ? lg(ax ? 4 x ? 4b) 的值域为 R(实数 集)的概率为( A. ) B.

1 ? 2 ln 2 4

3 ? 2 ln 2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

1 ? ln 2 2
5

10. 一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从点 P 处进,Q 点处出,沿图中线路游览 A、B、C 三个景点

及沿途风景,则不重复(除交汇点 O 外)的不同游览线路有( )种 A.6 B. 8 C. 12 D. 48

1? ? 11. 已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式 ? x k ? ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 x? ?
n 的最小值为 ( A. 4 D. 7 ) B. 5 C. 6

n

第 10 题图 第 第 11 题图 12. 如图所示,F1, 12 题 图

x2 y 2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径 a b


的圆与该双曲线左支的两个交点分别为 A,B,且Δ F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.

2 ?1

B.

3 ?1

C.

2 ?1 2

D.

3 ?1 2

二、填空题(4×5=20 分)

i 2016 ? 2i 2014 13. 在复平面上,复数 对应的点到原点的距离为 (2 ? i) 2
2



14. 如果随机变量 ? ~ N(- 1 ,且 P(-3 ? ? ? -1 ) ? 0.4 ,则 P ?? ? 1? 等于_________. ,? ) 15. 设 an (n ? 2, 3, 4, ...) 是 (3 ? x )n 的展开式中 x 的一次项的系数,则 ( _________. 16. 设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线的准线相
2

a2015 a2 a3 3 ? 3 ? ??? ? 2015 ) / A2016 的值是 2 3 3 3

6

交于 C, BF = 三、解答题(10+12×5=70 分)

,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

0 1 2 3 n 17.(10 分) 已知命题 p :实数 x 满足 x2 ? 2x ? 8 ? Cn ;命题 q:实数 x 满 ? Cn ? Cn ? Cn ???? ? (?1)n Cn

足 | x ? 2 |? m(m ? 0) . (1)当 m ? 3 时,若“ p 且 q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若“非 p ”是“非 q ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的 6 次培训成绩(百分制)制成如图所 示的茎叶图: (Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪位? 请运 用统计学的知识说明理由; (Ⅱ)若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个, 记选到的分数超过 8 的个数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望.

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? b)e ,其中 e 为自然对数的底数, b 是复数
x

3i ? 2 的实部。 i

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间 (2) 设函数 g ( x ) ?

1 x ? ln x ? t ,当 a ? ?1 时,存在 x ? (0, ??) 使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求 t 的取值范围。 2

20. (12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图 所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能 地停在任一位置 . 若指 针停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区 域不返券 . 例如:消费 A C 218 元, 可转动转盘 2 次, 所获得的返券金额是两次金额之和. 60? (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概 率; (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他 获得返券的金额记为 B .求随机变量 X 的分布列和数学期望. X (元)

7

21. ( 12 分 )

如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD , 底 面 对 角 线 AC , BD 交 于 点 O ,

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? DC且AC ? (DC ? BC) ? 0 ,又知 OA ? 4 , OB ? 3 , OP ? 4 , OP ? 底面 ABCD ,设点 M 满足 ???? ? ???? ? PM ? ? MC(? ? 0) .
(1)当 ? ?

1 时,求直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值; 2

( 2) 问线段 PC 上是否存在这样的点 M, 使二面角 M ? AB ? C 的大小为 若存在求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。

? , 4

22. ( 12 分) 已知中心在原点的椭圆 Γ

1

和抛物线 Γ

2

有相同的焦点( 1 , 0 ) ,椭圆 Γ

1

的离心率为

2 97 C32 (C100 ? C100 ) ,抛物线Γ 2 的顶点为原点. 3 A101

(Ⅰ) 求椭圆Γ 1 和抛物线Γ 2 的方程; (Ⅱ) 设点 P 为抛物线Γ 2 准线上的任意一点,过点 P 作抛物线Γ 2 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (ⅰ)设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (ⅱ)若直线 AB 交椭圆Γ 1 于 C,D 两点,S△PAB,S△PCD 分别是△PAB,△PCD 的面积,试问: 明理由. 是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说

8

高安二中 2017 届高二下学期第一次段考(理科)数学试卷 参 考 一、 单项选择 题号 答案 二、填空题 13. 1 C 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 A 8 D 9 A 10 D 11 B 12 B 答 案

3 5

14. 0.1

15.

1 54

16.

4 5

三、解答题 17.【答案】 (1) [?1, 4] (2) m ? 4 思路点拨: (1)先转化 p , q ,由 p 且 q 为真,得 p 真 q 真,解出 x (2)由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件 得 p 是 q 的充分不必要条件,根据数轴列出不等式解出 m 试
0 ?C n ?


1 Cn ?( n


2 Cn 1? n









3 n ------------------------------------------1 ) Cn ? ?( Cn ?1分

? 1

(1)若 p 真: ?2 ? x ? 4 ;当 m ? 3 时,若 q 真: ?1 ? x ? 5

??2 ? x ? 4 ? ?1 ? x ? 5 ∴实数 x 的取值范围为: [?1, 4] -------------------------5 分 ∵ p 且 q 为真∴ ?
(2)∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件∴ p 是 q 的充分不必要条件---------------------6 分 ∵若 q 真: 2 ? m ? x ? 2 ? m

?2 ? m ? ?2 ? ∴ ? 4 ? 2 ? m 且等号不同时取得(不写“且等号不同时取得” ,写检验也可)
∴ m ? 4 .------------------------------------------------------------------10 分 考点:赋值、复合命题,充要条件,解不等式 18.【答案】 (1)应选择学生乙参加知识竞赛., (2)

E (? ) ?

2 3

根据茎叶图中的数据甲 、乙的平均成绩,如果相等则要再计算二者的方差,比较方差大小,方差较小者成 绩稳定, 就选取谁去参加比赛;第二步从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个, 选到的分数超过 8 的个数
2 为 ? ,则 ? 可取值有 0,1,2,求出对应的概率值, P (? ? 0) ? C4 ? 6 ? 2 ,同理求出: 2

C6

15

5

P(? ? 1) ?

1 1 2 C4 C2 8 , C2 1 ? P ( ? ? 2 ) ? ? ,列出概率分布列,求出数学期望即可. 2 2 C6 15 C6 15

试题解析:(Ⅰ)学生甲的平均成绩 x甲 ? 学生乙的平均成绩 x乙 ?

68 ? 76 ? 79 ? 86 ? 88 ? 95 ? 82 , 6

71 ? 75 ? 82 ? 84 ? 86 ? 94 ? 82 ,--------------------------2 分 6

1 又 s2甲 ? [(68 ? 82)2 ? (76 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ? (95 ? 82)2 ] ? 77 , 6 1 167 , s2乙 ? [(71 ? 82)2 ? (75 ? 82)2 ? (82 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (94 ? 82) 2 ] ? 6 3

则 x甲 ? x乙 , s 2甲 ? s 2乙 , 说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知识竞赛 . -------------------------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,则
P(? ? 0) ?
2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 2 1 ? , , P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

? 的分布列为 ?
P 0
2 5

1
8 15

2
1 15

----------------------------10 分
2 8 1 2 所以数学期望 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .-------------------------------------12 分 5 15 15 3

考点:1.茎叶图;2.离散型随机变量的数学期望和方差 19. 【 答





3i ? 2 ? ? 3 ? 2i, ? b ? 3, 即f ( x) ? (ax ? 3)e x --------------------------------------------1 分 i
(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 3e ,则 f ( x ) 在 R 上单增,无单减区间
x

x 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? (ax ? 3)e 得

3 f / ( x ) ? a ( x ? 1 ? )e x a 3 3 ?1? / a , f ( x) <0 可得 x > a

如 a <0,由 f ( x) >0 可得 x <

/

?1?

3 3 ( ?? ,?1 ? ) ( ?1 ? ,?? ) ? f ( x) 的单增区间为 a ,单减区间为 a
/ 如 a >0,由 f ( x) >0 可得 x >

?1?

3 3 ?1? / f ( x ) a, a <0 可得 x <

? f ( x) 的单增区间为

( ?1 ?

3 3 ,?? ) ( ?? ,?1 ? ) a a -----------------6 分 ,单减区间为

(2)当 a ? ?1 时,由(1)可知 f ( x ) 在区间 (0,2) 上单增,在区间 (2,??) 上单减 则

f ( x)max ? f (2) ? e2
g ( x) ? 1 1 1 x?2 x ? ln x ? t g / ( x) ? ? ? 2 2 x 2x 知



易知 g ( x) 在区间 (0,2) 上单减,错误!超链接引用无效。间 (2,??) 上单增。 则 g ( x)min ? 1 - ln1 ? t

f ( x)max ? g ( x)min 则存在 x ? (0,??) 使得 f ( x) ? g ( x) 成立等价于
2 (? ?, e ? ln 2 ? 1] -------------------------------12 分 即 e ? 1 ? ln 2 ? t ,即 t ?

2

1 20.【答案】 (1) 2 ; (2)随机变量 X 的分布列为:

P X

0

30

60

90

120

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

其数学期望 EX ? 40 . (1)首先由几何率型求得指针落在 A,B,C 区域所对应事件 A,B,C 的概率,而且事件 A,B,C 彼此互斥,再注 意到某位顾客消费 128 元,只能转盘一次,返券金额不低于 30 元等价于指针落在 A 或 B 区域,即事件A或 B发生,由互斥事件的概率和公式知,所求概率为事件A与事件B的概率之和; (2)先由题意得知该顾客 可转动转盘 2 次,所以他获得返券的金额记为 X (元)的所有可能值为 0,30,60,90,120;当X=0时, 相当于两次试验都是事件C发生,且第一次C发生与否,与第二次事件C发生否相互独立,所以P (X= 0 )=P(C)P(C), 同 理 可 求 其 他 概 率 , 从 而 求 得 X 其 分 布 列 , 最 后 再 利 用 数 学 期 望 公 式 :

E( X ) ? x1 ? p1 ? x2 ? p2 ? ?求出其数学期望.
1 1 1 P ( A) ? , P ( B ) ? , P (C ) ? 6 3 2 .---------2 分 设指针落 在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C.则 ? P ? P( A) ? P( B) ?
(1)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

1 1 1 ? ? 6 3 2 即消费 128 元的

1 顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 2 .------------------------------6 分

(2)由题意得该顾客可转动转盘 2 次.随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 P( X ? 0) ? ? ? ; P ( X ? 30) ? ? ? 2 ? ; P ( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? ; 2 2 4 2 3 3 2 6 3 3 18 1 1 1 1 1 1 P( X ? 90) ? ? ? 2 ? ; P( X ? 120) ? ? ? . 3 6 9 6 6 36
所以,随机变量 X 的分布列为:

P X

0

30

60

90

120

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36
------ --------------------------10 分

1 1 5 1 1 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36 其数学期望 .--------------------12 分
21.【答案】 (1)

1 10 ; (2) . 3 10

试题分析: (1)以 O 为坐标原点,建立坐标系 O ? ABP ,求出相关点的坐标,平面 BDM 的法向量,利用 空间数量积求解直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值; (2) 求出平面 ABC 的一个法向量,设 M (a, 0, b) ,代入 PM ? ? MC ,求得 MB ? ( 出平面 ABM 的法向量,通过向量的数量积得到方程即可求出 ? 的值. 试 题 解 析 :

???? ?

???? ?

????

4? ?4 ,3, ) ,求 1? ? 1? ?
为 菱 形 。

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? AB ? DC且AC ? (DC ? BC) ? 0,









ABCD

--------------------------------1 分 ( 1 )以 O 为坐标原点,建立坐标系 O ? ABP ,则 A(4, 0, 0), B(0,3, 0) , C (?4, 0, 0) , D(0, ?3, 0) ,

??? ? ??? ? ??? ? 1 4 8 P(0, 0, 4) ,所以 PA ? (4,0, ?4) , DB ? (0,6,0) , AB ? (?4,3,0) .当 ? ? 时,得 M ( ? , 0, ) ,所以 2 3 3

?6 y ? 0 ???? ? 4 8 ? MB ? ( ,3, ? ) ,设平面 BDM 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? 4 ,得 y ? 0 , 8 3 3 x ? 3y ? z ? 0 ? 3 ?3
令 x ? 2 ,则 z ? 1 ,所以平面 BDM 的一个法向量 n ? (2,0,1) ,

?

4 10 10 ,即直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值 .-----6 分 ? 10 4 2 ? 5 10 ?? (2)易知平面 ABC 的一个法向量 n1 ? (0,0,1) .
所以 cos PA , n ? 设 M (a, 0, b) ,代入 PM ? ? MC ,得 (a, 0, b ? 4) ? ? (?4 ? a, 0, ?b) ,

??? ? ?

???? ?

???? ?

?4? ? a? ? ???? ?4 ? 4 4? ?4 ? 1? ? , 0, ) ,所以 MB ? ( ,3, ), 解得 ? ,即 M ( 4 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?b ? ? 1? ? ?
??4 x ? 3 y ? 0 ?? ? ? 设平面 ABM 的法向量 n2 ? ( x, y, z) ,则 ? 4? , 4 x ? 3y ? z?0 ? 1? ? ?1 ? ?
消去 y ,得 (2? ? 1) x ? z ,令 x ? 1 ,则 z ? 2? ? 1 , y ? 所以平面 ABM 的一个法向量 n2 ? (1, , 2? ? 1) ,

?? ?

4 , 3

4 3

所以

2 ? 2

2? ? 1 4 1 1 ,解得 ? ? 或 ? ,因为 ? ? 0 ,所以 ? ? .-------12 分 3 3 3 16 1 ? ? (2? ? 1) 2 9

考点:1.二面角的平面角的求法;2.直线与平面所成的角;3.利用空间向量求空间角.
2 97 C32 (C100 ? C100 ) 1 22. 【答案】 (I) 解: ?e ? ? ----------------------------------------------------1 3 A101 2

分 设椭圆Γ 1 和抛物线Γ 2 的方程分别为 (p>0)

由题意得,

,即

,p=2,

∴椭圆Γ 1 的方程为

,抛物线Γ 2 的方程为 y =4x.-------------------4 分
2

2

(II) (ⅰ)证明:设 P(﹣1,t) ,过点 P 与抛物线 y =4x 相切的直线方程为 y﹣t=k(x+1) , 由 由△=0 得 消去 x 得
2



,即 k +tk﹣1=0,则 k1k2=﹣1.------------------------7 分

(ⅱ)法一:设 A(x1,y1)B(x1,y2) , 由(ⅰ)得 , ,则 , ,直线 AB 的方程为 ,即

,即直线 AB 过定点(1,0) .

法二:以 A 为切点的切线方程为 同理以 B 为切点的切线方程为 y2y=2(x+x2) , ∵两条切线均过点 P(﹣1,t) , ∴ ,

,即

,即 y1y=2(x+x1) ,

则切点弦 AB 的方程为 ty=2(x﹣1) ,即直线 AB 过定点(1,0)

设 P 到直线 AB 的距离为 d,

=

.--------------------8 分

①当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 由 消去 y 得 k x ﹣(2k +4)x+k =0,k≠0 时△>0 恒成立.
2 2 2 2





消去 y 得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,△>0 恒成立.

2

2

2

2





=

.------------------------------11 分

②当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x=1, 此时,|AB| =4,|CD|=3, = ,∴ 的最小值为 .-----------------12 分


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