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集合、函数与导数、三角函数综合检测题


集合、函数与导数、三角函数

一、选择题
1、若集合 A. 【答案】D B. , C. ,则 D 等于( )

2、 已知 A.

是第二象限角, B. C.



) D.

【答案】A

3、设四边形 ABCD 的两条对角线为

AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是 “AC⊥BD”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【解析】选A.“
4、下列函数中为偶函数的是( A. 【答案】B B. ) C. D.

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、函数 A.
【答案】C

的定义域为( B.

) C. D.

6、已知函数 A.2
【答案】D

为奇函数,且当 B.1

时, C.0

,则

( D.-2



7、若函数





A.

B.

C.

D.

【答案】B

8、 函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是( A.π,1 B.π,2 C.2π ,1 【答案】A 9、 函数 的图象大致为( )

) D.2π,2

【答案】D

10、将函数 y=f(x)·sinx 的图象向右平移 个单位长度后,再作关于 x 轴对称变换,得到函数 y=1-2sin2x 的图象,则 f(x)可以是 ( D ) A.sinx C.2sinx B.cosx D.2cosx

11、若函数f(x)=sin 取值范围是 ( A ) A. C.[1,2]
12、 已知

(ω >0)在区间 B. D.[0,2]

上单调递增,则ω 的

f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≤0 时,f(x)=(x+1)3ex+1,那么函

数 f(x)的极值点的个数是 ( C ) A.5 二、填空题 13、经过曲线 y=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程为
【答案】x-y-2=0,或

B.4

C.3

D.2

.

5x+4y-1=0.


14、





三个数的大小关系是

【答案】 15、 设 f(x)= _____._____
【答案】

sin3x+cos3x, 若 对 任 意 实 数 x 都 有 |f(x)|≤a, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

16.若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tanα ·tanβ = 答案: 三、解答题 17、(12 分)已知函数 y=cos (1)求函数的最小正周期. (2)求函数的对称轴及对称中心. (3)求函数的单调增区间. 【解析】(1)由题可知ω= ,T= 所以函数的最小正周期为 8π. (2)由 x+ =kπ(k∈Z), =8π, .

.

得 x=4kπ- (k∈Z), 所以函数的对称轴为 x=4kπ- (k∈Z); 又由 x+ =kπ+ (k∈Z), 得 x=4kπ+ (k∈Z); 所以函数的对称中心为 (k∈Z).

(3)由 2kπ+π≤ x+ ≤2kπ+2π(k∈Z), 得 8kπ+ ≤x≤ +8kπ(k∈Z); ,k∈Z.

所以函数的单调递增区间为
18、(10

分)(2016·深圳模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 ,cos2A-cos2B= sinAcosAsinBcosB.

a,b,c.已知 a≠b,c= (1)求角 C 的大小.

(2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 【解题提示】(1)先利用三角恒等变换公式化简已知的表达式,再利用三 角函数的性质得到方程,解方程求解.(2)先利用正弦定理求 a,再利用三 角恒等变换公式,求 sinB,最后求面积. 【解析】(1)由题意得 = sin2A- sin2B,

即 sin2A- cos2A= sin2B- cos2B, sin =sin .

由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π), 得 2A- +2B- =π, 即 A+B= ,所以 C= . (2)由 c= = ,sinA= ,

,得 a= .

由 a<c,得 A<C,从而 cosA= , 故 sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC= 所以,△ABC 的面积为 S= acsinB= . ,

19、设函数 (Ⅰ)求 的最小值,并求使

. 取得最小值的 的集合; 的图像可由 的图象经过怎样的变化得到.

(Ⅱ)不画图,说 明函数
【答案】解:(1)

当 所以, (2)

时, 的最小值为

,此时 ,此时x 的集合 倍,得 ; .

横坐标不变,纵坐标变为原来的

然后

向左平移

个单位,得

20、(12 分)设 a>0,且 a≠1,已知函数 f(x)=loga (1)求实数 b 的值. (2)求函数 f(x)的单调区间.

是奇函数.

(3)当 x∈(1,a-2)时,函数 f(x)的值域为(1,+∞),求实数 a 的值. 【解析】(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x). 从而 f(-x)+f(x)=0, 即 loga +loga =0,

于是,(b2-1)x2=0,由 x 的任意性知 b2-1=0, 解得 b=-1 或 b=1(舍),所以 b=-1. (2)由(1)得 f(x)=loga (x<-1 或 x>1), f′(x)= . ,

当 0<a<1 时,f′(x)>0,即 f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当 a>1 时,f′(x)<0, 即 f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞). (3)由 a-2>1 得 a>3,所以 f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而 f(a-2)=1,即 loga =1, .

又 a>3,得 a=2+

21、

已知函数 . (Ⅰ)求 (Ⅱ)讨论
【答案】

,曲线

在点

处切线方程为

的值; 的单调性,并求 的极 大值.

(II) 由(I)知,

令 从而当 故 当 22、(本小题满分 . . <0.

10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为

已知直线 l 的参数方程为 ρ 2cos 2θ =1. (1)求曲线 C 的直角坐标方程. (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

【解析】(1)由ρ2cos 2θ=1 得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1,即有 x2- y2=1, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2-y2=1. (2)把 ?
? ? x ? 2 ? t, 代入 x2-y2=1 中,得(2+t)2-( 3 t)2=1,即 2t2 ? ? y ? 3t

-4t-3=0, 所以 t1+t2=2,t1·t2=- ,
3 2

设直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 所以直线 l 被曲线 C 截得的弦长为


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