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06-函数单调性与最值-2课时


函数的单调性与最值 知识引入
画出函数 y=2x+1

y ? x2

f ( x) ?

1 的图像,观察图象从左到右 y 随 x 的变化规律,并 x

取特殊点,得出当 x1<x2,有 f(x1)<f(x2),从而引入概念。

知识梳理
一、函数单调性的定义 1、定义:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,区间 I ? A ,若对于区间 I 内的任意两个自变量 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,则称函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增(减)
函数,I 为单调增(减)区间。 如果函数 f(x)在某个区间 I 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,区间 I 叫 f(x)的单调区间。 注意: (1)单调区间的局部性; (2)自变量 x1、x2 取值的任意性。 例 1、 (1)如图,已知函数 y=f(x),y=g(x)的图象(包括端点) ,根据图象说出函数的单调 区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数。

(2)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的单调递增区间
2

;单调递减区间



变式:作出函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象,并写出函数的单调区间。
2

例 2、求证 f(x)=x+

1 的(0,1)上是减函数,在[1,+∞]上是增函数。 x

变式 1:判断函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的单调性并证明 x ?1
ax 在区间( ? ? ,1)上是增函数,试求 a 的取值范围 x ?1

变式 2:若函数 f ( x ) ?

例 3、讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性(推广到二次函数的单调性)
2 变式 1: f ( x) ? 4x ? mx ? 5 在 [?2,??) 上是增函数,在 (??,?2] 上是减函数,求函数 f ( x )

的解析表达式 变式 2:函数 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在 (4,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围
2

例 4、已知 y ? f ( x) 在 (??,??) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (3a ? 1), 则 a 的取值范围是

变式 1:函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较 f(a2-a+1)与 f(

3 )的大小关系 4

变式 2: y ? f ( x) 在定义域 ( ?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (3a ? 1), 则 a 的取值范围是

二、复合函数单调性
判断方法:同增异减——即内函数与外函数单调性相同时,复合函数为增函数;内函数与外 函数单调性相异时,复合函数为减函数。 注意:单调区间为定义域的子集,所以求解单调区间时因先求复合函数定义域。
2 例 5、函数 f ( x) 是 R 上的减函数, g ( x) ? ? x ? 4 x ,求函数 H ( x) ? f [ g ( x)] 的单调递区间

变式:求下列函数的单调区间: (1) f ( x) ? 8 ? 2x ? x 2 ; (2) f ( x) ?

1 x 2 ? 2x ? 3



(3) y ?

x ?3 x?4

三、函数的最值
定义:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (f(x)≥M) ;存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大(小)值。 例 6、求下列函数的最小值: ( 1 ) y ? x ? 2x ;
2

(2) y ?

1 , x ? [1,3] ; (3)y=kx-2 ( k ? 0), x ? [?1,3] x

例 7、求函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 分别在下列区间上的最值:
2

(1) x ? [1,3] ;

(2) x ? (?2,1] ;

(3) x ? [?2, a] ;

(4) x ? [t , t ? 2]

变式 1:函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 在区间 [t , t ? 2] 上有最大值 3,求 t 的取值集合
2

例 8、已知函数 f ( x ) 的定义域是 [a, b], a ? c ? b ,当 x ? [a, c] 时, f ( x ) 是单调增函数,当

x ? [c, b] 时, f ( x) 是单调减函数,试证明 f ( x) 在 x ? c 时取得最大值。

课后作业
一、填空题 1.在区间 (0,??) 上是减函数的是 ________________. 1 (1) y ? x 2 (2) y ? 2 x ? 3 (3) y ? x
2.下列函数中在 (??,1) 上是减函数的是 ____________. (1) f (x) ? x 2 ? 2 (2) f (x) ? x 2 ? 6x (3) f ( x ) ?

(4) y ?

x

1 x ?1

(4) f ( x ) ? 1 ?

1 x

3.若函数 f ( x ) 是实数集 R 上的增函数,a 是实数,则下面不等式中正确的是_________. (1) f (a 2 ) ? f (a ? 1) (2) f (a) ? f (3a) (3) f (a 2 ? a) ? f (a 2 ) (4) f (a 2 ? 1) ? f (a 2 )

4.已知函数 f (x)= x2-2x+2,那么 f (1),f (-1),f ( 3 )之间的大小关系为
2 2

.

5.函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在区间 (??,2] 上是增函数,在区间 [2,??) 上是减函数,则

f (2) ? ______
6.已知函数 f(x)=x2-2ax+a2+1 在区间(-∞,1)上是减函数,则 a 的取值范围是
2 7.函数 y ? x ? x ? 6 的单调递增区间为



8.函数 f ( x) ? 9. y ?

3x ? 1 的单调增区间为 x?2
.

?2 x ? 3 在区间 (??, a ) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 x ?1

10.函数 y ? f ( x) 的递增区间是 ? ?2,3? ,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 11.函数 y ?

x 2 ? 2x ? 3 的单调递减区间是__________________.

12.设 f ( x ) 的递增区间是(-2,3) ,则 y=f(x+5)的递增区间是___________________. 13.函数 f ( x) ?

1 1 ? 2x
2

的单调递增区间是

.

14.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a 在区间[-3,2]上的最大值是 4,则 a ? 15.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 在 [?2, a ? 2] 上有最小值 3,则 a 的取值范围是
2
2

。 。 。

16.已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 ? 0, m? 上有最大值 3,最小值 2,最 m 的取值范围是 17.对 a,b ? R,记 max{a,b}= ?

?a , a ? b 函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小值是 b , a < b ?

.

二、解答题
18.求证: (1)函数 f(x)=1-

1 在 (??,0) 上是增函数. x

(2)函数 f ( x) ? ? x 3 ? x ? 1 在 (??,??) 是减函数.

19.函数 f ( x) ? ax2 ? (5a ? 2) x ? a 2 ? 4 在 [2,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

20.判断函数 f ( x ) ?

ax (a ? R, 且a ? 0)在(?1,1) 内的单调性. x ?1
2

21.已知函数 f ( x ) ? x ?

a ( a ? 0) x (1)当 a ? 1 时,试判断函数 f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上的单调性;

(2)若函数 f ( x) 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数,试求 a 的取值范围。

22.用定义证明函数 f (x) ? 1 ? x 2 在[-1,0]上是增函数。

23.函数 f ( x) ? a2 x2 ? (3a ?1) x ? a 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2 24.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, x ? R ,函数 g (t ) 表示 f ( x) 在 ?t , t ? 2? 上的最大值,求 g (t ) 的

表达式。



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