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2.10指、对数函数与反函数


y

x

2.10指、对数函数与反函数 指

溶液酸碱度的测量: 例1 溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH刻画的 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH= 的计算公式为pH pH的计算公式为pH=lg0.1[H+],
其中[H 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/ 其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.

(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说 根据对数函数性质及上述pH的计算公式, pH的计算公式 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变 化关系; 化关系; 已知纯净水中氢离子的浓度为[H (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩 计算纯净水的pH. 尔/升,计算纯净水的pH.

指数函数与对数函数对照表
名 称 解析式 y 图 象 o 定义域 值 域 单 a>1 调 性 0<a<1 定 点 图像关系 R ( 0 , +∞ ) 在R上是增函数 在R上是减函数 (0,1) 指数函数 y=ax y=ax(a>1) y=logax(a>1) x o ( 0 , +∞ ) R 在( 0 , +∞ )上是增函数 在( 0 , +∞ )上是减函数 (0,1) x y=logax(0<a<1) 对数函数 y=logax y=ax(0<a<1) y

函数y=ax与y=logax图象关于直线y=x对称

问题:那么这两个函数有什么关系呢?

反函数
1、反函数定义 2、反函数求法

1、反函数定义:
一般地,函数y=f(x) (x∈A)中,值域为C, 由y=f(x)解出x=f-1(y) 且表达式唯一,然后把x与y互换。 则函数y=f-1(x) (x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。 反函数与原来函数的联系: 名 称 解析式 定义域 原来函数 y= f(x ) A C 反函数 y=f-1(x) C A

值域 图象

它们的图象关于直线y=x对称 对称 它们的图象关于直线

所有的函数都存在反函数吗? 所有的函数都存在反函数吗
2具有反函数吗? 函数y=x

2、反函数求法 例1.求下列函数的反函数: (1)y = 3 x ? 1( x ∈ R ); (3)y = x + 1( x ≥ 0); (5)y = 3
x?1

y = x 3 + 1( x ∈ R); (2)

(4)y =

+ 2;

2x + 3 ( x ≠ 1); x ?1

x?5 例2.已知函数 y = 的图象关于直线 y = x 对称, 2x + m
求m的值。 例3.若点P(1,2)同时在函数y= ax + b 及其反函数的图象上,求a、b的值.

(6) = log2 (x + 4) . y

例4 已知函数 f (x) = log2 (1? 2 ) . (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x

小结:求反函数的步骤: 1、写出原函数的定义域和值域 2、由y=f(x)反解得x=f--1(y) 3、把x、y互换 4、写出反函数的定义域 作业



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