tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省荆门市2014届高三元月调考数学理试题(扫描版)


荆门市 2013-2014 学年度高三元月调考

数学(理)参考答案及评分说明
命题:荆门外校 审题:市教研室 龙泉中学

一.选择题 1~10 二.填空题 11.2 12. [0, DBDAC DBCDC

16 ] 5

13. (? ,1)

1 2

/>
14. (1 , ? ?)

15.(1) n2 ? 1 ;(2)8

三.解答题

π 16.(Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 2sin x cos( x ? ) 6 π π π ? cos x(cos x ? 3 sin x) ? 2sin x cos( x ? ) ? 2cos x sin( x ? ) ? 2sin x cos( x ? ) 6 6 6 π ? 2sin(2 x ? ) ………………………………………………………………………4 分 6 π π π 7π π 1 x ?[ 0 , 时 ] , 2 x ? ? [ , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 2 6 6 6 6 2 ∴函数 f ( x) 的值域是 [?1, 2] ……………………………………………………………6 分 π π 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ?1 ,则 sin(2 A ? ) ? , 6 6 2 π π π 7π 由题意可知: 0 ? A ≤ ,则 , ? 2A ? ≤ 6 6 6 2 π 5π π ∴ 2A ? ? ,故 A ? ……………………………………………………………9 分 6 6 3
由余弦定理,有 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

∴ 4 ? b2 ? c 2 ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ≥ (b ? c) 2 ? 3( 故 b ? c ≤ 4 ,所以 b ? c 最大值为 4.

b ? c 2 (b ? c)2 , ) ? 2 4

…………………………………………………12 分

17 .( 1 ) 易 知 半 圆 CMD 的 半 径 为 x , 故 半 圆 CMD 的 弧 长 为 πx , [ 来 源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] ∴ 2 x ? 2 y ? πx ? 4 ? y ?

4 ? (2 ? π) x 2 4 , 4?π

…………………………………………………4 分

依题意知:0 < x < y,∴ 0 ? x ? ∴y?

4 ? (2 ? π) x 4 (0 ? x ? ) 2 4?π

…………………………………………………6 分

(2)设凹槽的强度为 T,则有 T ? 3(2 xy ?

πx 2 ) 2

………………………………………8 分

??
因为 0 ?

3(4 ? 3π) 4 2 8 3 (x ? ) ? 2 4 ? 3π 4 ? 3π

…………………………………………10 分

4 4 4 ,∴当 x ? 时,凹槽的强度最大, ? 4 ? 3π 4 ? π 4 ? 3π 4 时,凹槽的强度最大. 4 ? 3π
………………………………………………12 分

答: 当 x ?

18.方法 1:(I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , ∴ AB ? 平面 PAD, ………………………………………………………………2 分 ∵E、F 为 PA、PB 的中点, ∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD; ……………………………………………………………4 分 (II)过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵ 平面PAD ? 平面ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD. 连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, ∵PA=PD ? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C (4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3 ) ,
……………………… 6 分

E (0,?1, 3 ), F (2,?1, 3 ), G(4,0,0) ,故 EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3 ) , ??? ? ? ? ?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ,即 ? 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? ???? , ? ?n ? EG ? 0, ?4 x ? y ? 3z ? 0 ? 取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) , ……………………………………………………………7 分 平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1),
平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是:

| cos ? n, n1 ??

n ? n1 1 ? ,锐二面角的大小是 60? ; ………………………………… 8 分 | n || n1 | 2

(III)设 AM ? x , M ( x, ?2,0) ,则 MF ? (2 ? x,1, 3 ) , 设 MF 与平面 EFG 所成角为 ? , ???? ? ???? ? n ? MF ???? ? ? 则 sin ? ?| cos ? n, MF ?? | n || MF |

3 (2 ? x) 2 ? 4

?

15 , 5

x ? 1 或 x ? 3 ,∵M 靠近 A,∴ x ? 1

…………………………………………………10 分

15 . ………………………12 分 5 方法 2:(I)证明:过 P 作 P O ? AD 于 O,∵ 平面PAD ? 平面ABCD ,
∴当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 则 PO ? 平面 ABCD,连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系,…2 分 ∵PA=PD ? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C (4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3 ) ,
z P

E (0,?1, 3 ), F (2,?1, 3 ), G(4,0,0) ,
故 EF ? (2,0,0), AD ? (0,4,0), PD ? (0,2,?2 3 ) , ∵ EF ? AD ? 0, EF ? PD ? 0 , ∴EF ? 平面 PAD;…………………………………4 分 (II) EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3 ) , 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),
B E F A G C D y

x

??? ? ? ? ?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ,即 ? 则 ? ???? , 取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) , ? ?n ? EG ? 0, ?4 x ? y ? 3z ? 0 ?
平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1), …【以下同方法 1】

………………… 7 分

P

E 方法 3:(I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , F ∴ AB ? 平面 PAD,……………………………………2 分 K ∵E、F 为 PA、PB 的中点, D A H ∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD;………………………4 分 M (II)∵ EF//HG,AB//HG,∴HG 是所二面角的棱, B G C ………………………………………………………………6 分 ∵HG // EF,∴ HG ? 平面 PAD, ∴DH ? HG,EH ? HG , ∴ ? EHA 是锐二面角的平面角,等于 60? ; …………………………………………8 分 (III)过 M 作 MK⊥平面 EFG 于 K,连结 KF, 则 ? KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, ……………………………………………10 分 因为 AB//EF, 故 AB∥平面 EFG, 故 AB 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的距离, ∵ HG ? 平面 PAD,∴平面 EFGH ? 平面 PBD 于 EH,

∴A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高,等于 3 ,即 MK ? 3 ,

15 3 , FM ? 5 ,在直角梯形 EFMA 中, AE ? EF ? 2 , ? 5 FM ∴ AM ? 1 或 AM ? 3 ∵M 靠近 A,∴ AM ? 1 …………………………………………11 分 15 ∴当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 . …………………12 分 5


1 ?1 3 ? 4 a 15 ? 10an 1 n 1 ? an ?1 ? b ?1 12 ? 4an 2 6an ? 3 5 2 ? ? ? ? . 19.(Ⅰ)? n ?1 1 1 3 ? 2 a bn ? 1 3 n ?1 1 ? an ? 1 2 2 a ? 1 n an ? 1 2 an ? 2 1 ?1

?数列 ?bn ? 1? 是等比数列,首项为 b1 ? 1 ?
1 1 an ? 2
,得 an bn ? 1 ?

1 a1 ? 1 2

- 1 ? 1 ,公比为 . …………………4 分

5 3

(Ⅱ)由 bn ?

5 5 1 bn . 由(Ⅰ)得 bn ? 1 ? ( ) n ?1 , ? bn ? 1 ? ( ) n ?1 ; 2 3 3

1 5 3 1 5 ? a n bn ? 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? ? ( ) n ?1 ; 2 3 2 2 3
1 5 n [( ) ? 1] 3 1 5 i ?1 3 3 3 5 3 Sn ? ? [ ? ( ) ] ? n ? 2 3 ? n ? ( )n ? 5 2 3 2 2 4 3 4 i ?1 2 ?1 3
n

……………………9 分

(Ⅲ)由 bn ?

1 1 an ? 2

,得 a n ?

1 1 1 1 1 1 ? ? bn ? ? bn ? ; ? ,? a n ? bn ? bn 2 bn 2 bn 2

由(Ⅱ)知 , bn ? 1 ? ( ) n ?1 ,则数列 {bn } 是单调递增数列,所以 { 数列,因此 {a n ? bn } 是单调递减数列. 故当 n ? 1 时, a1 ? b1 ? ?1 最大.

5 3

1 } 与 {?bn } 都是递减 bn

即数列 {an ? bn } 中存在最大项且为该数列中的首项,其值为 ?1 . ………………12 分 20(Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1, 0) .设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ? 所以 x1 ? 1 ?
2

5 3



5 3

,得 x1 ?

2 3

, y1 ?

2 6 3



………………………………………………2 分

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b 2 2 ?b ? a ? 1. ?
消去 b 2 并整理得

9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ?

1 3

不合题意,舍去).

故椭圆 C1 的方程为

x2 4

?

y2 3

? 1 .……………………………………………………………… 5 分

2 2 6 (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)可知 M ( , ) , F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 3 3 ???? ? ? 5 2 6 ????? 1 2 6 ???? 2 2 6 设 N ( x0 , y 0 ) ,则 MF1 ? (? , ? ), MF2 ? ( , ? ), MN ? ( x0 ? , y0 ? ) 3 3 3 3 3 3 2 2 6 求得 x0 ? ? , y0 ? ? ,则 kMN ? 6 3 3
设直线 l 为 y ? 6 x ? t ,代入

x2 4

?

y2 3

? 1 得: 27 x 2 ? 8 6tx ? 4t 2 ? 12 ? 0

? x1 ? x 2 ? ?

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 由 x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( 6 x1 ? t )( 6 x2 ? t )

???

??? ?

8 6 t 4 t2 ? 1 2 ………………………………………………………8 分 ,x x ? 1 2 27 27

? 7 x1 x 2 ? 6t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
求得 t ? ?2 3 ,符合 ? ? 0 .

28t 2 ? 84 48t 2 2 ? ?t ?0 27 27

故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 . ……………………… 13 分

方法二:由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同, 故 l 的斜率 k ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .
2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12, 由? 消去 y 并化简得 y ? 6( x ? m ) ? ?

???? ???? ?

????

9 x2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
8m 2 ? 4 9

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ?

16m 9

, x1 x2 ?



…………………8 分

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

???

??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
? 7? 8m 2 ? 4 9 ? 6m ? 16m 9
2

? 6m 2 ?
2

1 9

(14m2 ? 28) ? 0 .

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9(8m ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 .
………………… 13 分

21.(Ⅰ)当 a ? 0, b ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x 2 , f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0, 2 , 根据导数的符号可以得出函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,在 x ? 2 处取得极小值. 函数 f ( x) 在 (t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,则只要 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 即可,即只要 ?1 ? t ? 0 即可.所以 t 的取值范围是 (?1, 0) . ………4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,

f ( x) 1 ? ln x ? 1≥ 0 对任意的 x ? [ , ??) 恒成立, x 2 1 即 x2 ? bx ? ln x ? 1≥ 0 对任意的 x ? [ , ??) 恒成立, 2 ln x 1 1 也即 b ≤ x ? ? 在对任意的 x ? [ , ??) 恒成立. x x 2 1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ln x 1 令 g ( x) ? x ? . ………………… 6 分 ? 2? ? ,则 g ?( x) ? 1 ? x2 x x2 x x 1 2 x2 ? 1 记 m( x) ? x 2 ? ln x ,则 m?( x) ? 2 x ? ? , x x 2 则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点 x ? , 2 2 1 2 故也是最小值点,所以 m( x) ≥ m( ) ? ? ln ?0, 2 2 2 1 从而 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [ , ??) 单调递增. 2

1 5 5 函数 g ( x)min ? g ( ) ? ? 2ln 2 .故只要 b ≤ ? 2ln 2 即可. 2 2 2 5 所以 b 的取值范围是 (??, ? 2ln 2] ……………………………………………………9 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( Ⅲ ) 假设 OA ? OB ,即 OA? OB ? 0 ,即 (s, f (s))? (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 ,
2 2 故 (s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1 ,即 ? ? st ? ( s ? t )a ? a ? ?? ? st ? ( s ? t )b ? b ? ? ? ?1 .

由于 s, t 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根, 故s?t ?
2 ab (a ? b), st ? , 0 ? a ? b .代入上式得 ab(a ? b)2 ? 9 .………………12 分 3 3

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ≥ 2 36 ? 12 , ab

即 a ? b ≥ 2 3 ,与 a ? b ? 2 3 矛盾, 所以直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. ……………………………………………………14 分


推荐相关:

湖北省荆门市2016届高三元月调考理科数学试题(Word版含解析)

湖北省荆门市2016届高三元月调考理科数学试题(Word版含解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(理科)试卷 第 I ...


湖北省荆门市2014届高三元月调考英语试题(扫描版)

湖北省荆门市2014届高三元月调考英语试题(扫描版) 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 荆门市 2013-2014 学年度高三元月调考 高三英语参考答案及评分说明一、听...


湖北省荆门市2016届高三元月调考数学(理)试题

湖北省荆门市2016届高三元月调考数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(理科)试卷 第 I 卷(选择题 共 60 分)...


湖北省荆门市2016届高三元月调考数学(理)试题

湖北省荆门市2016届高三元月调考数学(理)试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(理科)试卷 第 I 卷(选择题 共...


荆门市2015届高三元月调研考试数学(理)试题及答案

荆门市2015届高三元月调研考试数学(理)试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考第一轮复习训练资料绝密★ 启用前 荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月...


湖北省荆门市2015届高三元月调研考试数学(理)试题(word含答案)

湖北省荆门市2015届高三元月调研考试数学(理)试题(word含答案)_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试 数学(理)本试卷共 4 ...


湖北省荆门市2015年高三元月调考(数学理)

湖北省荆门市2015年高三元月调考(数学理)_数学_高中教育_教育专区。1 绝密★ 启用前 荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试 数学(理) 本试卷共 4 页...


湖北省荆门市2016届高三元月调考文科数学试题(Word版含解析)

湖北省荆门市2016届高三元月调考文科数学试题(Word版含解析)_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(文科)试卷 第 I 卷(选择...


湖北省荆门市2016届高三元月调考理科数学试题

湖北省荆门市2016届高三元月调考理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。荆门市 2 0 1 6 年高三年级元月调考 数学(理科)试卷 第 I 卷(选择题 共 60 分) ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com