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第3讲等比数列及其前n项和(教师用)


第3讲
【2013 年高考会这样考】

等比数列及其前 n 项和

1.以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定. 2.考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用. 【复习指导】 本讲复习时,紧扣等比数列的定义,掌握其通项公式和前 n 项和公式,求和时要 注意验证公比 q 是否为 1;对等比数列的性质应用要灵活,运算

中要注意方程思 想的应用.

基础梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· qn-1. 3.等比中项 若 G2=a· b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn-m,(n,m∈N+). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak· al=am· an.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ? n},{an· ? n? ? n?

仍是等比数列. (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成 等比数列,其公比为 qn. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q

一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和: Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1, 同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1q ,∴Sn= (q≠1). 1-q
n

两个防范 (1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防 止因忽略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: an+1 an (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*), a n n-1 则{an}是等比数列.
2 (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an an+2(n∈N*),则数列{an}是等 +1=an·

比数列. (3)通项公式法: 若数列通项公式可写成 an=c· qn(c, q 均是不为 0 的常数, n∈N*), 则{an}是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列 {an}是( ).

A.递增数列 C.常数列

B.递减数列 D.无法确定数列的增减性

解析 当 a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列, 当 q<0,数列{an}为摆动数列. 答案 D 1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则公比 q 等于( 1 A.-2 B.-2 C.2 1 D.2 ).

a5 1 1 解析 由题意知:q3=a =8,∴q=2.
2

答案 D 3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32 ).

解析 由等比数列的性质得:a2a6=a2 4=16. 答案 C S5 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则S =(
2

).

A.-11

B.-8

C .5

D.11

解析 设等比数列的首项为 a1,公比为 q.因为 8a2+a5=0,所以 8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2,
5 S5 a1?1-q ? 1-q ∴S = · 1-q a1?1-q2? 2

1-q5 1-?-2?5 = = =-11. 1-q2 1-4 答案 A

5.(2011· 广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0, 则 k=________. 9×8 4×3 解析 设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1,得 9×1+ 2 d=4×1+ 2 d, 1 ? ? 1?? ? ? 1? 所以 d=-6.又 ak+a4=0,所以?1+?k-1?×?-6??+?1+?4-1?×?-6? ]=0, ? ? ?? ? ? ?

即 k=10. 答案 10

考向一

等比数列基本量的计算

【例 1】?(2011· 全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30. 求 an 和 Sn. [审题视点] 列方程组求首项 a1 和公差 d. ?a1q=6, 解 设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ?6a1+a1q =30, ?a1=3, ?a1=2, 解得? 或? ?q=2 ?q=3. 当 a1=3,q=2 时,an=3· 2n-1,Sn=3· (2n-1); 当 a1=2,q=3 时,an=2· 3n-1,Sn=3n-1. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个 量 a1,n,q,an,Sn 一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. 32 【训练 1】 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3· a4= 9 ,且公比 q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值. 32 解 (1)∵a3· a4=a1· a6= 9 , 又 a1+a6=11, 故 a1,a6 看作方程 x2-11x+ 32 =0 的两根, 9

32 1 又 q∈(0,1)∴a1= 3 ,a6=3, a6 1 1 ∴q5=a =32,∴q=2,
1

32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ?2? = · ? ? ∴an= 3 · 3 ?2? . ? ?

1? 64? (2)由(1)知 Sn= 3 ?1-2n?=21,解得 n=6. ? ? 考向二 等比数列的判定或证明

an+an+1 【例 2】?(2012· 长沙模拟)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= 2 ,n∈ N*. (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. an-1+an [审题视点] 第(1)问把 bn=an+1-an 中 an+1 换为 2 整理可证; 第(2)问可用叠 加法求 an. (1)证明 b1=a2-a1=1.

an-1+an 1 1 当 n≥2 时,bn=an+1-an= 2 -an=-2(an-an-1)=-2bn-1, 1 ∴{bn}是以 1 为首项,-2为公比的等比数列. (2)解 ? 1? 由(1)知 bn=an+1-an=?-2?n-1, ? ?

? 1? 当 n≥2 时, an =a1+(a2 - a1)+ (a3 - a2)+?+(an - an -1)=1 + 1 +?-2? +?+ ? ? ? 1?n-1 ?-2? 1 - ? ? 2? ? 1?n-2 ? 1? ? ?-2? =1+ ?1-?-2?n-1? = 1 + 3? ? ? ? ? ? ? 1? 1-?-2? ? ? 5 2? 1? =3-3?-2?n-1. ? ? 5 2? 1? 当 n=1 时,3-3?-2?1-1=1=a1, ? ? 5 2? 1? - ∴an=3-3?-2?n 1(n∈N*). ? ? 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于 选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项 不成等比数列即可. 1 1 -1 n-1 2 2 【训练 2】 (2011· 四川)设 d 为非零实数,an=n[Cn d+2Cn d +?+(n-1)Cn n d
n * +nCn nd ](n∈N ).

(1)写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明 理由; (2)设 bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知可得 a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2. k k-1 当 n≥2,k≥1 时,nCk n=Cn-1,因此
n k n n-1 k k k-1 k k k n-1 an=∑ C d =∑ C . -1d =d ∑ Cn-1d =d(d+1) n n k=1n k=1 k=0

由此可见,当 d≠-1 时,{an}是以 d 为首项,d+1 为公比的等比数列; 当 d=-1 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列. (2)由(1)可知,an=d(d+1)n-1,从而 bn=nd2(d+1)n-1 Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+?+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1].① 当 d=-1 时,Sn=d2=1. 当 d≠-1 时,①式两边同乘 d+1 得 (d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+1)2+?+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n].② ①,②式相减可得 -dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+?+(d+1)n-1-n(d+1)n] =d ? ?
n 2??d+1? -1

d

? -n?d+1?n?. ?

化简即得 Sn=(d+1)n(nd-1)+1. 综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1. 考向三 等比数列的性质及应用

【例 3】?已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项 的和. [审题视点] 利用等比数列的性质:依次 n 项的和成等比数列. 解 ∵Sn=2,其后 2n 项为 S3n-Sn=S3n-2=12, ∴S3n=14. 由等比数列的性质知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 即(S2n-2)2=2· (14-S2n)解得 S2n=-4,或 S2n=6. 当 S2n=-4 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?是首项为 2,公比为-3 的等比数列, 则 S6n=Sn+(S2n-Sn)+?+(S6n-S5n)=-364,

∴再后 3n 项的和为 S6n-S3n=-364-14=-378. 当 S2n=6 时,同理可得再后 3n 项的和为 S6n-S3n=126-14=112. 故所求的和为-378 或 112. 本题利用了等比数列的性质中的第 4 条,其和 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 等比数列,若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数列. 1 【训练 3 】 (2011· 北京 ) 在等比数列 {an} 中,若 a1 =2 , a4 =- 4 ,则公比 q = ________;|a1|+|a2|+?+|an|=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q 1 =-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=2×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+? 1 1 1 +|an|=2(1+2+22+?+2n-1)=2(2n-1)=2n-1-2. 答案 -2 1 2n-1-2

规范解答 11——怎样求解等差与等比数列的综合性问题

【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系,高考作为考查学 生综合能力的选拔性考试,将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多 属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化. 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量:首项和公差及公比,再灵活利用 性质转化条件,以及利用等差、等比数列的相关知识解决. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且 这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

正确设等差数列的三个正数, 利用等比数列的性质解出公差 d, 从而求 出数列{bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第(2)问. [解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d.

依题意,得 a-d+a+a+d=15, 解得 a=5.(2 分) 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去).(4 分) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2, 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22 , 5 解得 b1=4. 5 所以{bn}是以4为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 5 n-1 bn=4· 2 =5· 2n-3.(6 分) 5 n 4?1-2 ? 5 5 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n-2-4,即 Sn+4=5· 2n-2.(8 分) 1-2 5 5 所以 S1+4=2, 5 Sn+1+4 5· 2n-1 =2.(10 分) 5 =5· 2n-2 Sn+ 4

? 5? 5 因此?Sn+4?是以2为首项,公比为 2 的等比数列.(12 分) ? ?

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真 计算, 灵活处理已知条件. 容易出现的问题主要有两个方面: 一是计算出现失误, 特别是利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵 活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复 杂,增大运算量. 【试一试】 (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2 -a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公 差不为 0 的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. [尝试解答] (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,

由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),

即 aq2-4aq+3a-1=0. 由 a>0 得,Δ=4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根. 1 再由{an}唯一,知方程必有一根为 0,将 q=0 代入方程得 a=3. (2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不 为 0 的等差数列. 设{an}的公比为 q1,{bn}的公比为 q2, 则 b2-a2=b1q2-a1q1,
2 b3-a3=b1q2 2-a1q1, 3 b4-a4=b1q3 2-a1q1.

由 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成等差数列得
2 2 ?2?b1q2-a1q1?=b1-a1+?b1q2-a1q1?, ? 2 2 3 3 ?2?b1q2-a1q1?=b1q2-a1q1+?b1q2-a1q1?, 2 2 ?b1?q2-1? -a1?q1-1? =0, 即? 2 2 ?b1q2?q2-1? -a1q1?q1-1? =0.

① ②

①×q2-②得 a1(q1-q2)(q1-1)2=0, 由 a1≠0 得 q1=q2 或 q1=1. ⅰ)当 q1=q2 时,由①②得 b1=a1 或 q1=q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为 0 矛盾. ⅱ)当 q1=1 时,由①②得 b1=0 或 q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为 0 矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成 公差不为 0 的等差数列.


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