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2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷


2016 届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1) 若集合 A ? x 1 ? 2 ? 16 , B ? x log 3

( x ? 2 x) ? 1 ,则 A ? B 等于
x 2

?

?

?

?

(A) ? 3, 4?

(B) ?3,4?

(C) (??,0) ? ? 0,4?

(D) (??, ?1) ? ? 0,4?

(2) 计算 sin 46? ? cos16? ? cos314? ? sin16? ?

(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 2

(3) 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (3,? 2 ) ,若 P(? ? 6) ? 0.16 ,则 P(0 ? ? ? 3) ? (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.34 (D) 0.16

3 (4)设命题 p : ?x0 ? (0, ??), 3x0 ? x0 ,则 ? p 为

(A) ?x ? (0, ??),3x ? x3 (C) ?x ? (0, ??),3 ? x
x 3

(B) ?x ? (0, ??),3x ? x3 (D) ?x ? (0, ??),3 ? x
x 3

(5)二项式 (2 x ? (A) ?40

1 5 ) 的展开式中 x 的系数等于 3 x
(B) 40 (C) ?20 (D) 20

(6)设向量 OA ? e1, OB ? e2 , 若 e1 与 e2 不共线,且 AP ? 6 PB ,则 OP ?

??? ? ? ? ??? ? ??
(B)

??

??

??? ?

??? ?

??? ?

6 ?? 1 ?? e1 ? e2 7 7 1 ? 8? (7)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ( x ? R) ,把函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位得函 4 6 3
(A) (C) (D) 数 g ( x) 的图象,则下面结论正确的是 (A) 函数 g ( x) 是奇函数 (C) 函数 g ( x) 的最小正周期是 4? (B) 函数 g ( x) 在区间 ?? ,2? ? 上是增函数 (D) 函数 g ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称

1 ?? 6 ?? e1 ? e2 7 7

6 ?? 1 ?? e1 ? e2 7 7

1 ?? 6 ?? e1 ? e2 7 7

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(8)在一球面上有 A, B, C 三点,如果 AB ? 4 3, ?ACB ? 60? ,球心 O 到平面 ABC 的距 离为 3 ,则球 O 的表面积为 (A) 36? (B) 64? (C) 100? (9)右边程序框图的算法思路,源于我国南 宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书 九章》中提出的秦九韶算法,执行该程序 框图,若输入的 n, an , x 分别为 5,1, ?2 , 且 a4 ? 5, a3 ? 10, a2 ? 10, a1 ? 5, a0 ? 1 , 则输出的 v = (A) 1 (C) ?1 (B) 2 (D) ?2 (D) 144? 开 始

输入 n, an , x 的值

v ? an

i ? i ?1

v ? vx ? ai
输入 ai

5

i ? 0?
5 否 输出 v 3 4 结 束



(10)某三棱锥的三视图如上图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥最长的棱 长等于 (A) 4 2 (B)

34

(C)

41

(D) 5 2

x2 y 2 (11) 已知 O, F 分别为双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的中心和右焦点,点 G , M 分别 a b
在 E 的渐近线和右支, FG ? OG , GM / / x 轴,且 OM ? OF ,则 E 的离心率为

(A)

5 2

(B)

6 2

(C)

7 2
4

(D)

2
3 x

(12) 设 定 义 在 (0, ??) 的 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 是 f ?( x ) , 且 x f ?( x) ? 3x f ( x) ? e



e3 f (3) ? ,则 x ? 0 时, f ( x) 81
(A) 有极大值,无极小值 (C) 既无极大值,又无极小值 (B) 有极小值,无极大值 (D) 既有极大值,又有极小值

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知复数 z 的共轭复数 z ?

1? i ,则复数 z 的虚部是_______. 1 ? 2i

?y ? x ? (14)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 且 z ? 3x ? y 的最小值是最大值的 ?3 倍,则 a 的值 ?x ? a ?
是_____. (15)若椭圆的中心在原点,一个焦点为 (1,0) ,直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 与椭圆相交,所得弦 的中点的横坐标为 1 ,则这个椭圆的方程为_________. (16)若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2sin C ?

2 sin B ,则角 C 的最大值是_______.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S6 ? 5S2 ? 18, a3n ? 3an ,数列 ?bn? 满足

b1 ? b2 ? ?? bn ? 4Sn .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? log 2 bn ,且数列 ? (18) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,侧面 ADD1 A1 ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 T2016 . c ? c ? n n?1 ?

AB ? BC ? 4 . 直角梯形,其中 BC / / AD, AB ? AD, AD ? 12, AD1 ? 3AA 1 ? 6 3,
(Ⅰ)在线段 AD 上求一点 N ,使得 CN / / 平面 ABB1 A 1 ,并加以证明; (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的点 N ,求锐二面角 D ? ND1 ? C1 的余弦值. A1 B1 A B C
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D1 C1 D

(19) (本小题满分 12 分) 某商场每天以每件 100 元的价格购入 A 商品若干件,并以每件 200 元的价格出售,若所 购进的 A 商品前 8 小时没有售完, 则商场对没卖出的 A 商品以每件 60 元的低价当天处理 完毕(假定 A 商品当天能够处理完).该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 8 小时的销 售量,制成如下表格. 前 8 小时的销售量 t(单位:件) 6 频 数 40 7 8

35

25

(Ⅰ)某天该商场共购入 8 件 A 商品,在前 8 个小时售出 6 件. 若这些产品被 8 名不同的 顾客购买, 现从这 8 名顾客中随机选 4 人进行回访, 求恰有三人是以每件 200 元的价格购 买的概率; (Ⅱ)将频率视为概率,要使商场每天购进 A 商品时所获得的平均利润最大,则每天应购 进几件 A 商品,并说明理由. (20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , 过 F 且垂直于 x 轴的直线与抛物线 E 交于 以点 D (3,0) 为圆心的圆 D 过 A, B 两点,E 的准线与 x 轴交于点 C ,?CAB 的面积为 4 , 点 A, B . (Ⅰ)求抛物线 E 和圆 D 的方程; (Ⅱ)若斜率为 k ( k ? 1) 的直线 m 与圆 D 相切,且与抛物线 E 交于 M , N 两点,求

???? ? ??? ? FM ? FN 的取值范围.
(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2ln x (a ? 0, b ? R) ,若对任意 x ? 0, f ( x) ? f (2) . (Ⅰ)写出 b ? g (a) 的表达式; (Ⅱ)已知 c, d 为不相等的两个整数,且 c ? k ? d 时 ln a ? kb ? 0 恒成立,求 c 的最小值 与 d 的最大值.

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O , AD 与 BC 的延长线交于圆 O 外一点 E ,自 E 引一直线平行于 AC ,交 BD 的延长线于 M ,自 M 引 MT 切圆 O 于 T . (Ⅰ)求证: MT ? ME ; (Ⅱ)若 AE ? BM , MT ? 3, MD ? 1 ,求 BE 的长.

A T D M

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 x ? y ? 1 ,在以原点为极点, x 轴的
2 2

正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

8 . cos? ? 2sin ?

(Ⅰ)将 C1 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的 2 倍和 3 倍后得到曲线

C2 ,求曲线 C2 的直角坐标方程;
(Ⅱ)若 P, Q 分别为曲线 C2 与直线 l 上的两个动点,求 PQ 的最小值以及此时点 P 的 坐标.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如果关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 6 ? a 的解集为空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若实数 b 与实数 a 取值范围相同,求证: ab ? 25 ? 5 a ? b .

2016 届福州一中高中毕业班模拟考试
理科数学试题答案及评分参考
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评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分. (1)A (2)D (3)C (4)A (5)A (6)C (7)B (8)C (9)C (10)C (11)D (12)C (12)简解: f ?( x) ?

e x ? 3x3 f ( x) ,设 h( x) ? e x ? 3 f ( x) x3 , 4 x 3 x 4 3 x 3 2 则 h?( x ) ? e ? 3 ? ? f ?( x ) x ? 3 f ( x ) x ? ? ?e ? x? ? f ?( x) x ? 3 f ( x) x ? ? 3 x ?3 ? ex ? ? ex ? ex ? ,所以 h( x) ? h(3) ? e3 ? 81 f (3) ? 0 , x x 即 f ?( x) ? 0 ,因此 f ( x ) 在 (0, ??) 既无极大值,又无极小值.
(16)

二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分. 3 x2 (13) ? (14) ?1 (15) ? y 2 ? 1 5 2

?
12

2b ? a 2 a 2 ? b2 ? ( ) 2b ? a 2 (16)简解: a ? 2c ? 2b, c ? , cos C ? 2ab 2 2 2 ? 3a ? 2b ? 2 2ab 6? 2 ,即 cos C ? cos , ? ? 12 8ab 4 ? 6 3 ?1 所以角 Cmax ? ,当 b ? a, c ? a, a ? 0 时取得. 12 2 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)本小题满分 12 分 解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , 则?

(1) ? ?6a1 ? 15d ? 5(2a1 ? d ) ? 18 ? ?a1 ? (3n ? 1)d ? 3? a1 ? (n ? 1)d ? (2)

由(1)得 2a1 ? 5d ? 9 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 由(2)得 a1 ? d ,联立得 a1 ? d ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 所以 an ? 3n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 易知 b1 ? 64 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 当 n ? 2 时 b1 ? b2 ? ?? bn?1 ? 4
Sn?1

,又 b1 ? b2 ? ?? bn ? 4 n ,
S

两式相除得 bn ? 64n (n ? 2) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 b1 ? 64 满足上式,所以 bn ? 64n . · 1 1 1 1 1 (Ⅱ) cn ? log2 64n ? 6n , · · · · · · · · · · 10 分 ? ? ( ? ), · cn ? cn?1 36n(n ? 1) 36 n n ? 1
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1 1 (1 ? ),· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 36 n ?1 56 因此 T2016 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2017 Tn ?
(18)本小题满分 12 分 解: (Ⅰ)在线段 AD 上截取 AN ? 4 ,连接 NC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 因为 AN / / BC, AN ? BC , 所以四边形 ABCN 为平行四边形,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 所以 CN / / AB ,又 CN ? 平面 ABB1 A 1, 因此 CN / / 平面 ABB1 A · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 1 .· A1 B1C1 A B (Ⅱ) A1 B1C1 A B
2 1 2 1 2 1 2 1 2

D1

N C z D1

D

N C
2

D

y

x

2 因为 AA ? AD ? 6 ? (6 3) ? 144 , A 1D 1 ? 144 ,

2 所以 AA ? AD ? A 1D 1 ? 2 AA 1, 1D 1 ,且 A
? 所以 AD1 ? AA1 ,且 ?A 1D 1 A ? 30 ,

因为 BC / / AD, BB1 / / AA · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 1 ,所以平面 BCC1B 1 / / 平面 ADD 1A 1 .·

K ,则 NC , ND, NK 两两垂直, 作 NK ? A 1D 1 于点 ???? ???? ???? 以点 N 为原点 O ,分别以 NC, ND, NK 的方向为 x, y, z 轴的正方向,建立空间直角坐 标系 O ? xyz ,如图所示. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
可得 D1 (0,5,3 3) , C1 (4, ?3,3 3) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 易知平面 DND1 的法向量 m ? (1,0,0) ,设平面 C1ND1 的法向量 n ? ( x, y, z ) , ???? ? ?n ? ND1 ? 0, ?5 y ? 3 3z ? 0, ? ? 则 ? ???? 即? 取 y ? 3 3 ,得 n ? (6 3,3 3, ?5) , · · · · · · 10 分 ? ? ? ?4 x ? 3 y ? 3 3z ? 0, ?n ? NC1 ? 0, n?m 6 3 3 30 ? ? 则 | cos ? n, m ?|? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 n m 1? 4 10 20 所以锐二面角 D ? ND1 ? C1 的余弦值为
3 30 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20

(19)本小题满分 12 分 解: (1)记“恰有三人是以每件 200 元的价格购买”为事件 B ,
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则 P( B) ?

3 1 C6 ? C2 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ? .· 4 C8 7

(2)设商场销售 A 商品获得的平均利润为 ? (单位:元) 依题意,将频率视为概率,为使每天购进 A 商品时所获得的平均利润最大,则每天应 购进的件数可能为 6 件或 7 件或 8 件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 当购进 A 商品 6 件时, E (? ) ? 100 ? 6 ? 600 (元) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 当购进 A 商品 7 件时, E (? ) ? (100 ? 6 ? 40) ? 当购进 A 商品 8 件时,

4 6 ? 100 ? 7 ? ? 644 (元) ·9 分 10 10

E (? ) ? (100 ? 6 ? 2 ? 40) ?

40 35 25 ? (100 ? 7 ? 40) ? ? 100 ? 8 ? 100 100 100

即 E (? ) ? 639 (元) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 所以商场每天购进 7 件 A 商品时所获得的平均利润最大. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 (20)本小题满分 12 分

p p p p ,0), A( , p), B( , ? p), C ( ? ,0), S? ABC ? p 2 , · · · · · · · · · · 1分 2 2 2 2 由 p 2 ? 4 得 p ? 2 ,圆 D 半径 R ? 2 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
解法一: (Ⅰ)如图, F ( 所以抛物线 E : y 2 ? 4 x ,圆 D : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ) y A C F B M m 解法一:设直线 m : y ? kx ? b ( k ? 1) ,则 D x N

3k ? b k ?1
2

? 2 2 ,即 k 2 ? 6kb ? b2 ? 8 ,①

y ?b ? ?x ? 联立 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 k 得 ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0 , (?) ? ? 16 ? 16kb , · ? y2 ? 4x ? 由①知 kb ? 1 ,即 ? ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 4 4b 所以方程 (?) 有两个实数根 y1 , y2 ,且 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 k k y2 y2 点 M ( 1 , y1 ), N ( 2 , y2 ) , 4 4 ???? ? ???? ( y 2 ? 4)( y 2 ? 4) 2 FM ? FN ? 1 ? y1 y2 16 1 ? ? ( y1 y2 ) 2 ? 4( y1 ? y2 ) 2 ? 24 y1 y2 ? 16 ? ? 16 ?
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b 2 ? 6kb ? k 2 ? 4 k2 4 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 k ???? ? ??? ? 因为 k ? 1 ,所以 FM ? FN 的取值范围是 ? 0,4? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ?
解法二:设直线 m : y ? kx ? b ( k ? 1) ,则 联立 ?

3k ? b k ?1
2

? 2 2 ,即 k 2 ? 6kb ? b2 ? 8 ,①

? y ? kx ? b
2

? y ? 4x 由①知 kb ? 1 ,即 ? ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2 ?2(kb ? 2) b , x1 x2 ? 2 · 所以方程 (?) 有两个实数根 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 k k 点 M ( x1, kx1 ? b), N ( x2 , kx2 ? b) , ???? ? ??? ? FM ? FN ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (kx1 ? b)(kx2 ? b)
? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (kb ?1)( x1 ? x2 ) ? b2 ?1
b 2 ? 6kb ? k 2 ? 4 k2 4 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 k ???? ? ??? ? 因为 k ? 1 ,所以 FM ? FN 的取值范围是 ? 0,4? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ?
(21)本小题满分 12 分

得 k 2 x2 ? 2(kb ? 2) x ? b2 ? 0 , (?) ? ? 16 ? 16kb , · · · · · · · · · · ·5 分

2 2ax2 ? bx ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 = ( x ? 0, a ? 0) , · x x 依题意,2 是关于 x 的方程 2ax2 ? bx ? 2 ? 0 的正数根, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 (2ax ? 1)( x ? 2) 可得 b ? 1 ? 4a ,此时 f ? ? x ? = ( x ? 0, a ? 0) , x 所以 f ( x ) 在 (0, 2) 单调递减,在 (2, ??) 单调递增,满足 f ( x) ? f (2) , · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 所以 g (a) ? 1 ? 4a (a ? 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (Ⅱ) ln a ? kb ? ln a ? 4ka ? k ,记 h(a) ? ln a ? 4ka ? k (a ? 0) ,
解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? 2ax ? b ? (ⅰ)当 k ? 0 时, h(a) ? ln a(a ? 0) , h(2) ? ln 2 ? 0 , 所以 k ? 0 不合题意; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 1 4k ( a ? ) 4 k · (ⅱ)当 k ? 0 时, h?(a) ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 a 若 k ? 0 ,则 h?(a) ? 0 ,故 h(a) 在 (0, ??) 单调递增,
h(1) ? ?3k ? 0 ,所以 k ? 0 不合题意;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

若 k ? 0 ,则 h(a) 在 (0, 故 h(a)max ? h(

1 1 ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减, 4k 4k

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ) ? ? ln(4k ) ? k ? 1 .· 4k

记 P(k ) ? ? ln(4k ) ? k ? 1 (k ? 0) , P?(k ) ?

k ?1 (k ? 0) k

故 P(k ) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
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P(

1 1 )? ? 0 , P(1) ? ? ln 4 ? 0 , P(2) ? 1 ? ln8 ? 0 , 4e 4e

P(3) ? 2 ? ln12 ? 0 , P(4) ? 3 ? ln16 ? 0 ,

所以 P(k ) 在 (0,1) 和 (3,4) 分别存在一个零点 k1 , k2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 即 k1 ? (0,1), k2 ? (3,4) ,因此 1 ? x ? 3 时 P(k ) ? 0 ,即 ln a ? kb ? 0 , 综上, cmin ? 1 , d max ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号. (22)选修 4 ?1 :几何证明选讲 本小题满分 10 分

解: (Ⅰ)因为 MT 切圆 O 于 T ,所以 MT ? MD ? MB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 又因为 ME / / AC ,所以 ?MED ? ?DAC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 因为 ?DAC ? ?MBE ,所以 ?MED ? ?MBE · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 又因为 ?DME ? ?EMB ,所以 ?DME ∽ ?EMB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分
2

MD ME 2 ? ,即 ME ? MD ? MB , ME MB 所以 MT ? ME . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)因为 MT ? ME ,所以 ME ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
所以 因为 MD ? 1, MD ? DE ,所以 DE ? ME 2 ? MD2 ? 2 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分
2 因为 ME ? MD ? MB , ME ? 3 , MD ? 1 ,所以 DB ? 8 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

又因为 DB ? DE ,所以 BE ?

DB2 ? DE 2 ,

即 BE ? 6 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (23)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 解: (Ⅰ)在曲线 C2 上任取一点 M ,设点 M 的坐标为 M ( x, y ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分

1 1 1 y ) 在曲线 C1 上,满足 ( x) 2 ? ( y ) 2 ? 1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 3 3 x2 y 2 ? ?1. · 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 4 3 (Ⅱ)解法一:直线 l 的直角坐标方程为 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
则点 M ?( x, 设点 P 的坐标为 P(2cos? , 3sin ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

1 2

4sin(? ? ) ? 8 6 ? 点 P 到直线 l 的距离为 h ? ,· · · · · · · · · · · · · ·8 分 5 5 3 4 ? 5,· 当 ? ? ,即点 P 坐标为 (1, ) 时, h 取得最小值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 5 3 2cos? ? 2 3 sin ? ? 8

?

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4 3 5 ,这时点 P 坐标为 (1, ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 5 2 解法二:直线 l 的直角坐标方程为 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 1 设与直线 l 平行的直线 l1 : y ? ? x ? m , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2 l1 与 C2 联立得: x2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0 ( ? ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分
所以 | PQ | 的最小值为 由判别式 ? ? m2 ? 4(m2 ? 3) ? 0 得 m ? ?2 , 依题意取 m ? 2 ,此时方程( ? )的根为 x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 即点 P 坐标为 (1, ) 时,点 P 到直线 l 的距离取得最小值 所以 | PQ | 的最小值为

3 2

4 5, 5

4 3 5 ,这时点 P 坐标为 (1, ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 5 2

(24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题满分 10 分 解: (Ⅰ)解法一:由 | x ? 1| ? x ? 6 ? ( x ? 1) ? ( x ? 6) ? 5 , 当且仅当 1 ? x ? 6 时取等号, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 依题意, a ? 5 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 所以实数 a 的取值范围是 (?5,5) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 解法二:记 f ( x) ?| x ? 1| ? x ? 6 ,
?2 x ? 7 ( x ? 6) ? (1 ? x ? 6) 则 f ( x) ? ?5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 , ??2 x ? 7 ( x ? 1) ?

当且仅当 1 ? x ? 6 时 f ( x)min ? 5 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 依题意, a ? 5 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 所以实数 a 的取值范围是 (?5,5) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)解法一:依题意,实数 b 的取值范围是 (?5,5) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 因为 (ab ? 25) ? 25(a ? b) ? a b ? 625 ? 25a ? 25b
2 2 2 2 2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? (a2 ? 25)(b2 ? 25) ? 0 , · 所以 ab ? 25 ? 5 a ? b . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 解法二:依题意,实数 b 的取值范围是 (?5,5) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 要证 ab ? 25 ? 5 a ? b ,只需证 (ab ? 25)2 ? 25(a ? b)2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分
2 2 2 2 2 2 即证 a b ? 625 ? 25a ? 25b ? 0 ,即证 (a ? 25)(b ? 25) ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

因为 a ? 25, b ? 25 ,所以 (a ? 25)(b ? 25) ? 0 成立,
2 2 2 2

所以 ab ? 25 ? 5 a ? b 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

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