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江西省高安市石脑中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


石脑中学 2015—2016 学年度下学期高二期中考试 数学(理)试题
一、选择题 1. 若复数 z ? (a ? i) 2 是纯虚数,则实数 a 为( A.1 B. ? 1 C.0 ) D. ? 1 ( )

2.设函数 f(x)在 x0 处可导,则 lim A. f ' ( x0 ) B. f ' (? x0 ) 3. 函数 y=

x cosx 的导数为(
2

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x
D.- f ' (? x0 )

C.- f ' ( x0 ) )

A. y ′=2xcosx-x sinx
C . y ′=x cosx-2xsinx
2

2

B. y ′=2xcosx+x2sinx
D. y ′=xcosx-x sinx )
2

4.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x2 ? 2 x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于 ( A、 0 B、 ?4 C、 ?2 D、 2

5.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时命题也 成立. 现已知当 n ? 7 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=8 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=8 时该命题成立 ) ( )

6.从 6 位男学生和 3 位女学生中选出 4 名代表,代表中必须有女学生,则不同的选法有( A.168 B.45 C.60 D.111

7. i 是虚数单位。已知复数 Z ? A.第四象限

1 ? 3i ? (1 ? i ) 4 ,则复数 Z 对应点落在( 3?i
C.第二象限



B.第三象限

D.第一象限 )

8.若函数 f ( x) ? x 3 ? 12x在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围( A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2
3 2

B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k ( ).

9.函数 f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 C.2 B.0 D.4

10.已知 a、b、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程 ax +2bx+c=0,bx +2cx+a=0,

2

2

cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.反证假设应为:(

).

A.三个方程中至多有一个有两个相异实根;B. 三个方程都有两个相异实根; C. 三个方程都没有两个相异实根; D. 三个方程都没有实根。

1

11.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x) g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 A. (-3,0)∪(3,+∞) C. (-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) D. (-∞,-3)∪(0, 3) ( )

12.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数是 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y =xf ′ (x)的图像可能是( )

二、填空题 13.若 (2 x ? k )dx ? 2 ? k ,则实常数 k 为
0

?

1

3 4 5 5 14. C7 = ? C7 ? C8 ? C9
3 2



15 .已知函数 f(x) =x + mx + (m + 6)x + 1 既存在极大值又存在 极小值,则实数 m 的取值范围 是 。

16 .根据平面几何的勾股定理,试类比出三棱锥 P—AB C(PA 、 PB 、 PC 两两垂直 ) 中相应的结论 是: 三、解答题 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f(x)的导数为 f′(x)=4x -4x,且图象过定点(0 ,-5),求函数 f(x)的单调区间 和极值.
3



18. (12 分)7 名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法? (1)7 人站成一排,要求较高的 3 个学生站在一起; (2) 7 人站成一排,要求较 高的 3 个学生两两不相邻。 (3)7 人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;

2

19. (本小题满分为 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex ,其图像在点 P(2, f (2)) 处的切线为 l . (1)求 y ? f ( x) 、直线 x ? 2 及两坐标轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所得几何体的体积; (2)求 y ? f ( x) 、直线 l 及 y 轴围成图形的面积.

20. (本小题 12 分) (1)把 4 个不相同的球放入七个不相同的盒子,每个盒子至多有一个球的不同放法有多少种? (2)把 7 个相同的球放入四个不相同的盒子,每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种? (3)把 7 个不相同的球放入四个不相同的盒子,每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种?

21.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ?

1 (n ? N * ), 记f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? (1 ? a n ). 2 (1 ? n)

(1)试求 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)猜想 f ( n) 的值,并用数学归纳法证明你的猜想.

3

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax-1-ln x(a∈R). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,不等式 f(x)≥bx-2 对? x∈(0,+∞)恒成立,求实数 b 的取值范围;

4

石脑中学高二下学期期中考试数学(理)答案 DCABA DCBCC DC 13 14

1 2
0

15

16 S △ABC= S △PBC+ S △APC + S △ABP 17 增区间 (-1,0) , (1,+∞ ) 减区间 (-∞ ,-1),(0, 1) 极大值为 -5 18 (1)720 19 极小值为 -6 (3)20

2

2

2

2

(2)1440

20、解: (1)840
3 (2)有 C6 =20 种。
4 1 1 1 3 2 1 1 1 2 2 2 C7 C3 C2 C1 C7 C4 C2 C1 C7 C6 C 4 C 2 4 + ) · A4 =350×24=8400 ? 3 2 3 A3 A2 A3

(3)N= (

21 解: (1) f (1) ?

3 2 4 5 , f (2) ? ? , f (3) ? . 4 3 6 8

(2)猜想 f (n) ?

n?2 (n ? N * ). 2(n ? 1)

5

22、 (本题满分 12 分) 1 ax-1 (1)解 f′(x)=a- = (x>0).

x

x

当 a≤0 时,ax-1<0,从而 f′(x)<0, 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 当 a>0 时,若 0<x< ,则 ax-1<0,从而 f′(x)<0,

a

1 若 x> ,则 ax-1>0,从而 f′(x)>0,

a

? 1? ?1 ? 函数在?0, ?上单调递减,在? ,+∞?上单调递增. ?
a?

?a

?

1 1 (2)解 根据(1)函数的极值点是 x= ,若 =1,则 a=1.

a

a

所以 f(x)≥bx-2,即 x-1-ln x≥bx-2, 1 ln x 由于 x>0,即 b≤1+ - .

x

x

1 ln x 1 1-ln x ln x-2 令 g(x)= - ,则 g′(x)=- 2- = , 2 2

x
2

x

x

x

x

可知 x=e 为函数 g(x)在(0,+∞)内唯一的极小值点,也是最小值点,故 g(x)min=g(e )=- 1 2, e

2

6

1 ln x 1 所以 1+ - 的最小值是 1- 2, x x e 1 故只要 b≤1- 2即可, e

7


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