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江西省信丰中学高中数学必修五:等差数列3


等差数列
定义及通项公式

一、举例
? 4,5,6,7,8,9,10; ⑴ ? 3,0,-3,-6,…; ⑵ ? 1/10,2/10,3/10,4/10,…;⑶

特点:
? 从第2项起,每一项与前一项的差都等于 同一常数。

二、等差数列的定义
? 一般地,如果一个数列从第二项起,每 一项与它的前一项的差都等于同一个常 数,这个数列就叫做等差数列; 这个常数 就叫做等差数列的公差; 公差通常用字母 d 表示。

? 在数列{an}中,若an+1 - an=d (n∈N*) , d 为常数,则{an}是等差数列。常数 d 叫做等差数列的公差。

特例:
? 0,0,0,0,… ? a,a,a,a,…

理解:
? ①第二项起; ? ②“同一个” ? ③求公差d时,可以用d =an – 用d = an+1 – an;

an-1 ,也可以

? ④公差d ∈ R,当d=0时, 数列为常数列, d>0时,数列为递增数列, d<0时,数列为递减 数列; ? ⑤ d =an – an-1或d = an+1 – 断等差数列的依据。

an是证明或判

三、等差数列的通项公式:
1、公式推导:

归纳法:
∵{an}是等差数列,则有 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d …… an=an-1+d=a1+(n – 1)d

∴an=a1+(n – 1)d 又,当n=1时,等式成立
∴ n∈N*时, an=a1+(n – 1)d

叠加法:
∵{an}是等差数列,则有 an-an-1=d an-1-an-2=d an-2-an-3=d …… a2-a1=d ∴an – a1=(n – 1)d

∴an=a1+(n – 1)d

2、通项公式:
an=a1+(n – 1)d, a1为首项,d为公差。 3、公式变形: 对任意的p、q ∈N*,在等差数列中,有 ap=a1+(p – 1)d

aq=a1+(q – 1)d
∴ ap – aq=(p – q)d ∴ ap=aq+(p – q)d (其中p、q的关系可以有p>q , p=q , p<q)

4、通项公式的应用: ①可以由首项和公差求出等差数列中的任 意一项; ②已知等差数列的任意两项,可以确定数 列的任意一项。

四、例题评讲:
例1、判断下列数列是否为等差数列。 ⑴ 1,2,4,6,8; ⑵ 2,4,6,8,10; ⑶ 0,0,0,0,0; ⑷ 1,2,4,7,11;

例2、 ⑴求等差数列8,5,2,…的第20项。
⑵-401是不是等差数列– 5, – 9, – 13,…的 项?如果是,是第几项? 分析: 对于⑴小题,是由公式求指定项,为此

将a1=8,d= – 3,n=20代入,就可求出相应的项。

对于⑵小题,是判断一个数是否为等差数列的 项,可用解方程的方法。

⑴求等差数列8,5,2,…的第20项。 解:由a1=8,d=5-8=-3,n=20 ,得 a20=8+(20-1) ×(-3)= - 49

⑵-401是不是等差数列– 5, – 9, – 13,…的项?如果是,是第几项? 解: 由a1= - 5,d= - 9 - ( - 5)= - 4,得 an= - 5 - 4(n - 1) 令 - 401= - 5 - 4(n - 1) 解得n=100,即 - 401是为个数列的第100项。 说明:判断一个数是否为等差数列的项, 要看关于通项公式构成的以n为末知数的 方程有没有正整数解。

例3、
在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d。 解:依题意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得:a1= - 2 , d = 3 ; 即这个等差数列的首项是-2,公差是3。

五、课堂练习:
1、求等差数列3,7,11,…的第4项与第 10项。 2、求等差数列10,8,6,…的第20项。 3、在等差数列{an}中,已知a4=10,a7=19求 首项a1与公差d。 4、在等差数列{an}中,已知a3=9,a9=3求首 项a1与公差d。

六、小结:
等差数列的定义、通项公式 及简单应用。

七、作业:
P118 习题3.2 1、2、3

课程结束 谢谢大家



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