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高中数学选修2-1测试卷(含答案)


2014—2015 学年高二年级下学期期中数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一.选择题.(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 a ? (? ?1,0, 2), b ? (6, 2? ?1, 2?) ,若 a∥b ,则 ? 与 ? 的值可以分别是( A. 2,
1 2 1 1 B. ? , 3 2

/>x2 y 2 ? 1 上一点 M 到椭圆一个焦点 F 的距离为 2 , N 是 MF 的中点,则 8. 椭圆 ? 25 9

ON =(
) A. 2

) B. 4 C. 8 D.
3 2

C. ?3, 2

D. 2, 2

2.空间直角坐标系中,已知 A(2,3, 4), B(?2,1, 0), C (1,1,1) ,那么点 C 到线段 AB 中点的 距离是( A. 1 ) B. 2 C. 3 D.

9.已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长均为 1 , ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?DAB ? 60 ,则

AC1 的长为( 6
A. 2

) B.
4 3 3

C.

1 3.设 p : log 2 x ? 0, q : ( ) x ?1 ? 1 ,则 p 是 q 的( ) 2 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6 2

D. 6

10.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在 4

4.已知命题 p :函数 f ( x) ? log0.5 (3 ? x ) 的定义域为 (??,3) ;命题 q :若 k ? 0 ,则函 数 h( x) ?
k 在 (0, ??) 上是减函数.对以上两个命题,下列结论正确的是( x

第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(





A.命题“ p ? q ”为真 C.命题“ p ? q ”为假

B.命题“ p ? (?q) ”为假 D.命题“ (?p) ? (?q) ”为假 ) D. x ? y ? 0 ) A. 2 B. 3 C.

5.到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( A. x ? y ? 0 6.与曲线 B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 0

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 共焦点,且与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为( 24 49 36 64

3 2

D.

y 2 x2 A. ? ? 1 16 9

x2 y 2 ?1 B. ? 16 9

y 2 x2 C. ? ? 1 9 16

x2 y 2 ?1 D. ? 9 16

6 2

11.已知椭圆 )

7.已知向量 AB ? (1, 2,3), AC ? (4,5,6) ,则平面 ABC 的一个单位法向量是( A. (
6 6 6 ,? , ) 6 3 6

x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P(4, 2) 的直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 与椭圆交于 A, B 两点,且 m 9

AP ? PB ,则该椭圆的长轴长为(
A. 3 B. 6

) C. 12 D. 36

B. (

6 6 6 , , ) 6 3 6

C. (?

6 6 6 , , ) 6 3 6

D. (?

6 6 6 ,? ,? ) 6 3 6

12.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为
3 , M , N 分别是 AC , BC 的中点,则 EM , AN 所成角的余弦值为( 3

19.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , G 分别是 BB1 , DD1 , CD 的中点,求证: (Ⅰ) FC1∥平面ADE ; (Ⅱ)平面 ADE⊥平面A1D1G .



A.

1 6

B.

3 6

C.

1 2

D.

3 2

二.填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“ ?x0 ? R, 使 log2 x0 ? 0成立 ”的否定为 14.抛物线 x ? ?
1 2 y 的准线方程为 2

.

.

15.在四面体 OABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c, D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 则 OE ? .(用 a, b, c 表示) 第 19 题图 第 20 题图 20.如图,矩形 ABCD 所在的平面和正方形 ADD1 A1 所在的平面互相垂直, AD ? AA1 ? 1,
AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. (Ⅰ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离;

16. 在所有棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A 1 B 1C 1 中,异面直线 AB1 与 C1B 间的距离 为 .

三.解答题.(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,其余 5 个小题每题 12 分,共 70 分) 17.写出命题“负数的平方是正数”的否命题、逆命题、逆否命题并判断它们的真假. 18.如图, 已知 A(?3 p,0)( p ? 0), B, C 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动, 并且满足 AB ? BQ ? 0, 1 BC ? CQ ,求动点 Q 的轨迹方程. 2

(Ⅱ) AE 等于何值时,二面角 D ? EC ? D1 的大小为

? ? 4

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且 a2 ? 2b . 2 b a 2 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l : x ? y ? m ? 0 与椭圆交于 A, B 两点,且线段 AB 的中点在圆 x2 ? y 2 ? 5 上, 求 m 的值.

21.已知椭圆

22.抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点. (Ⅰ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C ,求四边形 OACB 面积 的最小值.

2014—2015 学年高二年级下学期期中数学答案
一.选择题.(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

ACBDD

AADDD

CA
1 2 1 1 1 a? b? c 2 4 4

Ⅰ ) 建立如图所示空间直角坐标系.设棱长为 2 a ,则 19.证明: (

二.填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. ?x0 ? R, 均有 log 2

x0 ? 0

14. x

?

15.

16.

5 5

三.解答题.(本大题共 6 小题, 其中 17 题 10 分, 其余 5 个小题每题 12 分, 共 70 分)

17.解:否命题:如果一个数不是负数,则这个数的平方不是正数(假命题) 逆命题:如果一个数的平方是正数,则这个数是负数(假命题) 逆否命题:如果一个数的平方不是正数,则这个数不是负数(真命题)

18.解:设Q( x, y ) uuu r 1 uuu r Q BC ? CQ 2 y ? B(0, ? ) 2 又 Q A(?3 p, 0) uu u r r y uuu 3y ? AB ? (3 p, ? ), BQ ? ( x, ) 2 2 uu u r uuu r Q AB ? BQ ? 0, 3y ? 0,即y 2 ? 4 px( p ? 0) 4 ? 动点Q的轨迹方程为y 2 ? 4 px( p ? 0) ? 3 px ?
2

A(2a, 0, 0), D(0, 0, 0), E (2a, 2a, a), C1 (0, 2a, 2a), F (0, 0, a), A1 (2a, 0, 2a), D1 (0, 0, 2a), G (0, a, 0) ? DA ? (2a, 0, 0), DE ? (2a, 2a, a), FC1 ? (0, 2a, a) ?易得平面ADE的一个法向量为m ? (0,1, ?2) m ? FC1 ? 0, 且FC1 ? 平面ADE ? FC1∥平面ADE (Ⅱ) D1 A1 ? (2a, 0, 0), D1G ? (0, a, ?2a) ?易得平面A1 D1G的一个法向量为n ? (0, 2,1) m?n ? 0 ? 平面ADE⊥平面A1 D1G

E (1,1, 0), A(1, 0, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0,1), ? AC ? (?1, 2, 0), AD1 ? (?1, 0,1), AE ? (0,1, 0) ?易得平面ACD1的一个法向量为m ? (2,1, 2) ?点E到平面ACD的距离为d ? m ? AE m ? 1 3

(Ⅱ)易知平面DEC的一个法向量为n ? (0, 0,1)
Ⅰ ) 建立如图所示空间直角坐标系.则 20.解: (

设E (1, x, 0), 则 D1 E ? (1, x, ?1), D1C ? (0, 2, ?1) ?易得平面ECD1的一个法向量为l ? (2 ? x,1, 2) 二面角D ? EC ? D1的大小为 ? cos

?
4

?
4

?

n ?l n?l

?

2 (2 ? x) 2 ? 12 ? 22

? x1 ? 2 ? 3, x2 ? 2 ? 3(舍) ? AE ? 2 ? 3时,二面角D ? EC ? D1的大小为

?
4

?c 2 ? ? ? ?a ? 2 21.解 : ( Ⅰ由题意知 ) ? 2 ?a ? ? ?c ? 1 ?a 2 ? 2b ? ?b ? a ? c ? 1
2 2 2

22.解:( Ⅰ由题意得 ) F (1, 0). 易知直线AB的斜率存在,设其为k , 则直线为y ? k ( x ? 1) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ? y2 ? 4x ? k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ? ? y ? k ( x ? 1) 2(k 2 ? 2) ? x1 ? x2 ? ①, x1 x2 ? 1② k2 又 AF ? 2 FB ? x1 ? 1 ? 2( x2 ? 1) ? x1 ? 2 x2 ? 1③ 由①②③得k ? ?2 2 (Ⅱ由题意知 ) O, C到直线AB的距离相等 1 ? S四边形OACB ? 2 S△AOB ? 2 ? ? OF ? y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 ⑴当k 存在时 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? ? S四边形OACB ? 4 4 , y1 y2 ? ?4 k

y2 ? 椭圆的方程为x ? ?1 2 (Ⅱ)设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 )
2

? 2 y2 ?1 ?x ? ? 3 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 2 ? 0 2 ? ?x ? y ? m ? 0 ? 2m ? x1 ? x2 ? ? 3 x ?x m 2m ? x0 ? 1 2 ? ? , y0 ? x0 ? m ? 2 3 3 点M 在圆x 2 ? y 2 ? 5上 m 2 2m 2 ) ?( ) ?5 3 3 ? m ? ?3 ? (?

1 ?1 k2 此时S四边形OACB没有最小值,但k ? ?时,S四边形OACB ? 4 ⑵当k 不存在时,由⑴知S四边形OACB ? 4 综上可知四边形OACB面积的最小值为4


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