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高中数学


2.3平面向量的基本 定理及坐标表示

复习引入
条件是什么 ?

? ?? 如图, b a 有非零向量 a 与 ,则 共线

? a ? b

复习引入
条件是什么 ?

? ?? 如图, b a 有非零向量 a 与 ,则 共线

?

a ? b

? ? 向量 b 与非零 a 共线 ?? 有且只有 ,使 b. ? a

? ?

思考:
(1)给定平面内两个向量 e1 , e 2 , 请你作出 向量 3 ?e e? . e 2, 2 e
1 2 1 2

(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 ? e ?? e 的向量表示? 1 1 2 2

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?

e1 e2

a

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:

O

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:
a
O

C

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?
A

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:
e1
O

a

C

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?
A

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:
e1
O

a
B

C

e2

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?
A M

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:
e1
O

a
B

C

e2

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?
A M

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:
e1
O

a
B N

C

e2

平面向量基本定理:
观察如图三个不 共线向量 e 1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢?
A M

e1 e2

a

将三个向量的起点移到同一点:
e1
O

a
B N

C

显然: aOM ? ? ON

e2

归纳:
实数? ? 2 , ,使得:,ON 2e, OM1 1 ? e ? ? 2 ? 1 ? 故 ? 1? 2e . a 1 ? e ?2
e1
O

根据向量共线的条件 , 存在唯一

A

M

a
B N

C

e2

想一想:

确定一对不共线向 e,后, 1 e 2 是否平面内任意一个 量都可以 ?e ? 2e来表示呢 ? 1 1 ? 2

讨论:

? ⑴ 当 e或 a 1 e共线时, 与 2

? ? 0 或为 即可使结论 . 1 2
? a
e1 e2

e1 e2

? a

讨论:

? a 的位置如下 ⑵ 改变
A

况时, 怎样构造平 ?
C

e1
? a

e1
O

A B

O

e2 B ? a
C

e2

讨论:

? a 的位置如下 ⑵ 改变
A

况时, 怎样构造平 ?
C

e1
? a

e1
2

A B

O

e2 B ? a
C

B ?e O e 2

'

讨论:

? a 的位置如下 ⑵ 改变
A M

况时, 怎样构造平 ?
C

e1

? a
N
'

e1
2

A B

O

e2 B ? a
C

B ?e O e 2

讨论:

? a 的位置如下 ⑵ 改变
A M

况时, 怎样构造平 ?
C

e1 ? e1

? a
N
'

e1
2

A B

O

B ?e O e 2

A'

e2 B ? a
C

讨论:

? a 的位置如下 ⑵ 改变
A M

况时, 怎样构造平 ?
C

e1 ? e1

? a
N
'

e1
2

A B M

O

B ?e O e 2

A'

e2 B ? a
C

N

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转

又该如何构成 形 ?
A
C

? a
O

e1 e2 B

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转

又该如何构成 形 ?
A
C

? a

e1 ? e1
O
A' e
2

B

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转

又该如何构成 形 ?
B
'

C

? a

? e2
O
A' e

A

e1 ? e1
2

B

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转

又该如何构成 形 ?
N
B
'

C

? a

? e2
O
A' e

A

e1 ? e1
M
2

B

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转

又该如何构成 形 ?
N
B
'

C

? a

? e2
O
A
'

A

A

e1 ? e1
M
C

? a

e1
O

e2 B

e2

B

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转

又该如何构成 形 ?
N
B
'

C

? a

? e2
O
A
'

A

A

e1 ? e1
M
C

? a

e1
O

? ?a
B

C

'

e2 B

e2

讨论:

? a 的位置, ⑶ 继续旋转
M

又该如何构成 形 ?
N
B
'

C

? a

? e2
O
A
'

A

A

e1 ? e1
M
C

? a

e1
O

? ?a
B

C

'

e2 B

e2

N

平面向量基本定理:

如果1, e2是同一平面内两个不 e 共线的向量,那么对这 一平面内任 ? 意一个向量 a, 有且只有一对实数 ? ?1,?2, 使a ? ?1e1 ??2e2 .

平面向量基本定理:

如果1, e2是同一平面内两个不 e 共线的向量,那么对这 一平面内任 ? 意一个向量 a, 有且只有一对实数 ? ?1,?2, 使a ? ?1e1 ??2e2 .

其中 ee , 叫做表示这 1 2

所有向量的一组 基底 .

问题一:

在刚才我们总结 中,

基底是不是唯一的 e e , 1 2

问题一:

在刚才我们总结 中,

基底是不是唯一的 e e , 1 2

基底不共线也不唯一,任意 两个不共线的向量均可作基底.

问题二:

给定基底 ee , 之后, 1 2 ? 向量 a 的表示是不是 ?

问题二:

给定基底 ee , 之后, 1 2 ? 向量 a 的表示是不是 ?

给定基底后,任意一个向量的 表示是唯一的.

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e

e1 e2

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2

? 2e 1

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2

? 2e 1

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2

? 2e 1

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2

? 2e 1

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1 e2 3e2

? 2e 1

定理的应用:

? 已知向量 a e e 、 , , 例 1 . 如图, 2 求作向 1 ? 使?1 3 . a 2? 2 ?e e
解:

e1

? 2e 1 3e2

? a
e2

定理的应用:
(? 用 OB . t R OA ), , 表示 OP

, OA 、 OB , 且?AB AP t 例 3 . 如图 不共线

P

B
O A

定理的应用:
(? 用 OB . t R OA ), , 表示 OP

, OA 、 OB , 且?AB AP t 例 3 . 如图 不共线

本题的实质是:

P

B
O A

定理的应用:
(? 用 OB . t R OA ), , 表示 OP
已知 、 、 三点不共线, O A B P 若点 在直线 上, P AB 则OP? mOA? nOB , O 且m? n ? 1.

, OA 、 OB , 且?AB AP t 例 3 . 如图 不共线

本题的实质是:

B
A

向量的夹角:

已知两个非 a,作 ?a, 、 b OA

ab 、 的 ? ? , 叫向量 AOB ? OB? b , 则 夹角.
当0 ab ; ? ,、 ? 同向
o o

当80 b ; ?1 ,a 反向 ? 、

当a ? 与 a. 9 b, 0 垂直 , 记作 ? b
o

?

如图,光滑斜面上一个木块受到的重力 为G,下滑力为F1,木块对斜面的压力 为F2,这三个力的方向分别如何? 三者有何相互关系? F
1

G

F2

正交分解:把一个向量分解为 两个互相垂直的向量叫做向量 的正交分解。

向量的坐标表示

在平面坐标系内,我们 轴、 分别取与 x y 轴方向相等的两个单位 向量 j作为基 i、 底,由平面向量基本定 理可知,对任一 向量 a ,有且只有一对实数 x y 、使得 a ? xi ? y j.

向量的坐标表示

在平面坐标系内,我们 轴、 分别取与 x y 轴方向相等的两个单位 向量 j作为基 i、 底,由平面向量基本定 理可知,对任一 向量 a ,有且只有一对实数 x y 、使得 a ? xi ? y j.

我们把 ) (x y 叫做向量 , a 的直角坐标 , 记作 (x y 其中 a x a? ,). x 叫做 轴上的 在 坐标y x 叫做 y , a 轴上的坐标, y 在 ,a?(x ) 叫做向量 a的坐标表示 .

一个区别 向量坐标与点的坐标的区别:

→ 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA =a,点A的位置 被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y),但

→ 应注意其表示形式的区别,如点A(x,y),向量a=OA=(x,y).

→ → → → 当平面向量 OA 平行移动到 O1A1 时,向量不变,即 O1A1 =OA = → (x,y),但O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j i
4
3 C

2 1

a
j
x
i 1

O

2

3

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) (
4
3 C

2 1

a
j
x
i 1

O

2

3

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) (
4
3 C

以原点 O 为起点的 2 向量 的坐标与点 OC C 的 1 坐标相等 . j
O

a
x
i 1

2

3

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) ( C (2 如图,平面内有 ) A B 、两 3 2 点, 能否用坐标来表示向 a 量 呢? AB 1
j
O i 1

4

B

A

x
3

2

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) ( C (2 如图,平面内有 ) A B 、两 3 2 点, 能否用坐标来表示向 a 量 呢? AB 1
j
O i 1

4

B

A

x
3

2

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) ( C (2 如图,平面内有 ) A B 、两 3 2 点, 能否用坐标来表示向 a 量 呢? AB 1
j
O i 1

4

B

A

x
3

2

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) ( C (2 如图,平面内有 ) A B 、两 3 2 点, 能否用坐标来表示向 a 量 呢? AB 1
AB OB OA ? ? O ? 4i ?4j ?(2i ?1j) ( ) ?(4?2)i ?(4?1 j ? 2i ?3j )
j
i 1

4

B

A

x
3

2

4

平面向量的坐标表示

( 如图,若ij 1 ) | | |j? i?| 1 ,以向量 、 为基 y 底表示向量 a .
a?2 ?3j 即:23 i a? , ) ( C (2 如图,平面内有 ) A B 、两 3 2 点, 能否用坐标来表示向 a 量 呢? AB 1
j
A 4 B

AB OB OA ? ? O i 1 2 3 4 ? 4i ?4j ?(2i ?1j) ( ) AB , ? 3 ( ?(4?2)i ?(4?1 j ? 2i ?3j 即: 2 ) )

x

平面向量的坐标表示
如图, 相等,其中 a AB 与 y a?(23 AB (23 由此可 , ), ? , ). 4 见 相等向量的坐标相等 , . C
3

B

2 1

a
j
A
i 1

x
3

O

2

4

应用:

?? ? i j , 分别表示 、 例 4 . 如图,用基底 a ? ? ? b c d并求出它 y 、 , 、 5 ? ? 们的坐标 .

b

a

2?

? ?4 ?2 O i ? ?2 c
?5

j

2

4 x

? d

向量坐标的基本运算
→ = 1 AB , → 例2 已知点A(-1,2),B(2,8)以及 AC 3 → =-1BA,求点C、D的坐标和CD的坐标. → → DA 3 [思路点拨] 根据题意可设出点C、D的坐标,然 后利用已知的两个关系式,得到方程组,求出坐标.

[解] 设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → 得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). 1→ → 1→ → 因为AC= AB,DA=- BA, 3 3

?x +1=1 ?-1-x =1 ? 1 ? 2 ? ? 所以有 ,和 . ?y1-2=2 ?2-y2=2 ? ? ?x =0 ?x =-2 ? 1 ? 2 解得? ,和? . ?y1=4 ?y2=0 ? ?

所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(-2,0), → 从而CD=(-2,-4).

2. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1, → → -2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( 7 A. (2, ) 2 C. (3,2) 1 B. (2,- ) 2 D. (1,3) )

解析:设点D(m,n),则由题意知, (4,3)=2(m,n-2),
?2m=4 ? ∴? , ?2n-4=3 ?

7 解得m=2,n= , 2 7 ∴D(2, ),故选A. 2

3. [2012·辽宁铁岭六校联考]平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 → → → OC =α OA +β OB ,其中α、β ∈R且α +β=1,则点C 的轨迹方程为( ) B. 3x+2y-11=0 D. x+2y-5=0

A. (x-1)2+(y-2)2=5 C. 2x-y=0

→ → → 解析:设C(x,y),则OC =(x,y),OA =(3,1),OB
? → =αOA+βOB,∴?x=3α-β,将α → → ? =(-1,3),∵OC ?y=α+3β ? ?x=3-4β ? =1-β代入得? ,消去β得x+2y-5=0.故选D. ?y=1+2β ?

[规律总结] 向量的起、终点坐标、向量坐标可“知 二求一”,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通 过列方程组求解.向量坐标的概念其实质是平面向量基本 定理的具体运用.随着学习的深入对此应有一个深刻的认 识.

1.

平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行

四边形法则,将向量进行分解. 2. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中

坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几 何问题转化为代数问题处理,从而向量可以解决平面解 析几何中的许多相关问题.

3.

在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和

数形结合思想的运用. 4. 要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式

上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方 向也有大小的信息.

课堂小结
1. 平面向量基本定理; 2. 平面向量的坐标的概念;

课后作业
1. 阅读教材P.93到P.96;


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