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2010年北京市各区一模(文):函数与导数


2010 年北京市各区一模(文) :函数与导数
1. (丰台·文·题 2) ) D. ?x | ?3 ≤ x ? 6? 函数 f ( x) ? x ? 3 ? log2 ? 6 ? x ? 的定义域是( A. ? x | x ? 6? B. ?x | ?3 ? x ? 6?

C. ?x | x ? ?3?

2. (宣武·文·题

3) 下列函数中,既是奇函数又是区间 (0 , ? ?) 上的增函数的是( A. t ? x 2
1

) D. y ? 2 x

B. y ? x?1 )

C. y ? x3

3. (西城·文·题 4) 若 0 ? m ? n ,则下列结论正确的是( A. 2m ? 2n
?1? ?1? B. ? ? ? ? ? ?2? ? 2?
m n

C. log2 m ? log 2 n

D. log 1 m ? log 1 n
2 2

4. (丰台·文·题 6) 奇函数 f ( x) 在 ? ?? , 0? 上单调递增,若 f (?1) ? 0, 则不等式 f ( x) ? 0 的解集是( A. (?? , ? 1) ? (0 , 1) C. (?1 , 0) ? (0 , 1) 5. (海淀·文·题 5) B. (?? , ? 1) ? (1 , ? ?) D. (?1 , 0) ? (1 , ? ?)



在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是(
y 1 y y y



O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

C B A D 6. (宣武·文·题 6) x?2 设函数 f ( x) ? log3 ? a 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是( x



A. (?1, ? log3 2)

B. (0, log3 2)

C. (log3 2,1)

D. (1, log3 4) )

7. (石景山·文·题 7) 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,那么函数 f ( x) 的图象最有可能的是(

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8.

(石景山·文·题 8)
x

?1? 已 知 函 数 f ( x) ? ? ? ? log 2 x , 正 实 数 a , b , c 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 且 满 足 ? 3?
f (a) f (b) f (c) ? 0 .若实数 d 是方程 f ( x) ? 0 的一个解,那么下列四个判断:

① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c 中有可能成立的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. (东城·文·题 8)



已知函数 f (t ) 是奇函数且是 R 上的增函数,若 x , y 满足不等式 f ( x2 ? 2x) ≤ ? f ( y 2 ? 2 y) , 则 x2 ? y 2 的最大值是( A. 3 ) C. 8 D. 16

B. 2 2

10. (石景山·文·题 9) 函数 y ? x ? 1 ? lg(2 ? x) 的定义域是 11. (丰台·文·题 12) 函数 f ( x) ? ln x 的图象在点 ? e , f (e) ? 处的切线方程是 12. (西城·文·题 12)
? x2 ? x , x ≤ 0 已知 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?1 ? 2lg x , x ? 0







13. (丰台·文·题 13)
?2 x , x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? , f (?8) ? ? f ( x ? 3) , x ≤ 0



14. (西城·文·题 14) 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有 x ? l ? D , 且 f ( x ? l ) ≥ f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数. 现给出下列命题:
?1? ① 函数 f ( x) ? ? ? 为 R 上的 1 高调函数; ?2?
x

② 函数 f ( x) ? sin 2 x 为 R 上的 π 高调函数; ③ 如果定义域为 [?1, ? ?) 的函数 f ( x) ? x 2 为 [?1, ? ?) 上 m 高调函数,那么实数 m 的取值范
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围是 [2, ? ?) ; 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号) 15. (宣武·文·题 14) 有下列命题: ① x ? 0 是函数 y ? x3 的极值点; ②三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 有极值点的充要条件是 b 2 ? 3ac ? 0 ; ③奇函数 f ( x) ? mx3 ? (m ? 1) x2 ? 48(m ? 2) x ? n 在区间 (?4, 4) 上是单调减函数. 其中假命题的序号是 16. (丰台·文·题 18) 设 f ( x) ? x 3 ? .

3 ? a ? 1? x2 ? 3ax ? 1 . 2

⑴若函数 f ( x) 在区间 ?1 , 4 ? 内单调递减,求 a 的取值范围; ⑵若函数 f ( x)在x ? a 处取得极小值是 1 ,求 a 的值,并说明在区间 ?1 , 4 ? 内函数 f ( x) 的单调 性. 17. (海淀·文·题 18) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) . ⑴若 f ( x) , g ( x) 的图象在点 ?1 , 0 ? 处有公共的切线,求实数 a 的值; ⑵设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值.

18. (东城·文·题 18)

ln x ? a (a ?R) , x ⑴ 若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; ⑵ 求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ⑶ a ? 1 ,且 x ≥ 1 时,证明: f ( x) ≤1 . 当
已知函数 f ( x) ?

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19. (宣武·文·题 18)

1 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ?R) 3 ⑴若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最 求
大值; ⑶当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围.

20. (西城·文·题 20) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? mx ? m)e x ,其中 m ? R . ⑴ 若函数 f ( x) 存在零点,求实数 m 的取值 范围; ⑵ m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间,并确定此时 f ( x) 是否存在最小值,如果存在, 求 当 出最小值;如果不存在,请说明理由.

21. (石景山·文·题 20) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x (a , b ? R ) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . ⑴求函数 f ( x) 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ c ,求实数 c 的最 小值; ⑶若过点 M (2, m) (m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

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2010 年北京市各区一模(文) :函数与导数
【解析】 1. D; ? x ? 3 ≥ 0 ? x ≥ ?3 ?? ? ?3 ≤ x ? 6 . ? ?6 ? x ? 0 ?x ? 6 【解析】 2. C; AD 不是奇函数,B 在 (0 , ? ?) 上是减函数. 【解析】 3. D; 由指数函数与对数函数的单调性知 D 正确. 【解析】 4. A;
y

-1 O

1

x

如图,根据 f ? x ? 所具有的性质可以画出 f ? x ? 的草图,因此 f ? x ? ? 0 ? x ? ?1 或
0 ? x ?1.

【解析】 5. D; y ? x ? a 在 B、C、D 三个选项中对应的 a ? 1 ,只有选项 D 的图象正确. 【解析】 6. C;
? 2? f ( x) ? log 3 ?1 ? ? ? a 在 (1, 2) 上是减函数,由题设有 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,得解. x? ?

【解析】 7. A; 由 f ?( x) 的图象知 0 和 ?2 是 f ( x) 的极值点,且 x ? 0 时, f ( x) 单调递减,故选 A. 【解析】 8. C; f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调减,值域为 R .又 a ? b ? c , f (a) f (b) f (c) ? 0 ,所以 ⑴ f (a), f (b) ? 0 , f (c) ? 0 .由 f (d ) ? 0 可知, a ? b ? d ? c ,③成立; ⑵ f (a), f (b), f (c) ? 0 .此时 d ? a ? b ? c ,①②③成立. 综上,可能成立的个数为 3 . 【解析】 9. C; 由 f ( x) 为 奇 函 数 得 f ( x2 ? 2x) ≤ f (2 y ? y 2 ) , 又 f ( x) 为 增 函 数 , 有
x2 ? 2 x ≤ 2 y ? y 2 ,即 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ≤ 2 ,它表示圆心在 (1, 1) ,半径为 2 的圆

的内部(包括边界) ,故到原点最远的点为 (2, 2) ,从而 x2 ? y 2 ? 8 . 【解析】 10. [?1, 2) ; x ? 1≥ 0 且 2 ? x ? 0 【解析】 11. x ? ey ? 0 ;
f ??e? ? 1 x ?
x ?e

1 ,∴所求的切线方程为 y ? f ? e ? ? f ? ? e ?? x ? e ? , e

即 y ? ln e ?

1 ? x ? e ? ,化简为 x ? ey ? 0 . e

【解析】 12. ?1 或 10 ;

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当 x ≤ 0 时,由 x 2 ? x ? 2 得, x ? ?1 (正值舍) ;当 x ? 0 时, 1 ? 2 lg x ? 2 ,解得
x ? 10 .

【解析】 13. 2 ; f ? ?8? ? f ? ?5? ? f ? ?2? ? f ?1? ? 21 ? 2 . 【解析】 14. ②③; ①中 f ( x) 为减函数,故不可能是 1 高调函数;②中, f ( x ? π) ? f ( x) ,故②正确;
f ( x) ? x2 ( x ≥ ?1) 的图象如下图所示,要使得 f (?1 ? m) ≥ f (?1) ? 1 ,有 m ≥ 2 ;
x ≥ ?1 时,恒有 f ( x ? 2) ≥ f ( x) ,故 m ≥ 2 即可,③正确.
y

-1

O 1

x

y y a2 a2 -1 O 1 x -a2 O -a2 x

【解析】 15. ①;
y ? x3 在 R 上单调增,没有极值点,①错; f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,f ( x) 有极值点的充要条件是 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实根,
? ? 4b2 ? 12ac ? 0 ,也即 b 2 ? 3ac ? 0 ,②正确; f ( x) 是奇函数,则 f (0) ? 0 ? n ? 0 ,由 f (? x) ? ? f ( x) ,可得 (m ? 1) x2 ? 0 ,因此
m ? 1, 4,4 所以 f ( x) ? x3 ? 48x . x ? (? ) 当

时, f ?( x) ? 3x2 ? 48 ? 3( x ? 4)( x ? 4) ? 0 ,

故 f ( x) 在 x ? (?4, 4) 上是单调减函数. 【解析】 16. f ? ? x ? ? 3x2 ? 3? a ? 1? x ? 3a ? 3? x ? 1?? x ? a ? ⑴∵函数 f ? x ? 在区间 ?1 , 4 ? 内单调递减, ∵ f ?(4) ≤ 0 ,∴ a ? ? 4 , ? ? ? . 即 a3 ? ⑵∵函数 f ? x ? 在 x ? a 处有极值是 1 ,∴ f (a) ? 1 .

3 1 3 ? a ? 1? a2 ? 3a2 ? 1 ? a3 ? a2 ? 1 ? 1 . 2 2 2 2 ∴ a (a ? 3) ? 0 ,所以 a ? 0 或 3 . 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ?? , 0? 上单调递增,在 ? 0 , 1? 上单调递减,所以 f ? 0 ? 为极大
值, 这与函数 f ? x ? 在 x ? a 处取得极小值是 1 矛盾, 所以 a ? 0 .
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当 a ? 3 时, f ? x ? 在 ?1 , 3? 上单调递减,在 ? 3 , ? ? ? 上单调递增,所以 f ? 3? 为极小 值, 所以 a ? 3 时,此时,在区间 ?1 , 4 ? 内函数 f ? x ? 的单调性是:
f ? x ? 在 ?1 , 3? 内减,在 ?3 , 4? 内增.

【解析】 17. ⑴因为 f (1) ? 0 , g (1) ? 0 , 所以点 ?1 , 0 ? 同时在函数 f ( x) , g ( x) 的图象上 因为 f ( x) ? x2 ? 1 , g ( x) ? a ln x , f ?( x) ? 2 x , g ?( x) ?

a , x

a ,即 a ? 2 1 ⑵因为 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ? x2 ? 1 ? 2a ln x ( x ? 0)
由已知,得 f ?(1) ? g ?(1) ,所以 2 ?

2a 2( x2 ? a) ? x x 当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,且 x2 ? a ? 0, 所以 F ?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, 所以 F ( x) 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增, F ( x) 无极值
所以 F ?( x) ? 2 x ? 当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍) 所以当 x ? 0 时, F ?( x ) , F ( x) 的变化情况如下表:

x
F '( x ) F ( x)

(0, a )
?

a

( a , ??)
+
?

0 极小值

?

所以当 x ? a 时, F ( x) 取得极小值,且

F ( a ) ? ( a )2 ? 1 ? 2a ln a ? a ? 1 ? a ln a . 综上,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在 ? 0 , ? ? ? 上无极值;
当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在 x ? a 处取得极小值 a ? 1 ? a ln a . 【解析】 18. ⑴函数 f ( x) 的定义域为 ? x | x ? 0? ,所以 f ?( x) ?

1 ? ln x ? a , x2 又曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行, 所以 f ?(1) ? 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 .
⑵令 f ?( x) ? 0 得 x ? e1? a . 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(0, e1?a )

e1? a

(e1?a , ? ?)
?
?

+
?

0 极大值

由表可知: f ( x) 的单调递增区间是 (0, e1?a ) ,单调递减区间是 (e1?a , ? ?) 所以 f ( x) 在 x ? e1? a 处取得极大值, f ( x)极大值 ? f (e1?a ) ? ea?1 . ⑶当 a ? 1 时, f ( x) ?

ln x ? 1 , x
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由于 x ? [1, ? ?) ,要证 f ( x) ?

ln x ? 1 ≤1 ,只需证明 ln x ? 1 ≤ x , x

1 x ?1 , ? x x 因为 x ≥ 1 ,所以 h?( x) ≥ 0 ,故 h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增, 当 x ≥ 1 , h( x) ≥ h(1) ? 0 ,即 ln x ? 1 ≤ x 成立.
令 h( x) ? x ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? 1 ? 故当 x ≥ 1 时,有

ln x ? 1 ≤1 ,即 f ( x) ≤1 . x

【解析】 19. ⑴ f ?( x) ? x2 ? 2ax ? a2 ? 1 ∵ x ? 1 是 f ( x) 的极值点, ∴ f ?(1) ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 或 2. ⑵∵ (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上.∴ f (1) ? 2 1 ∵ (1, 2) 在 y ? f ( x) 上,∴ 2 ? ? a ? a2 ? 1 ? b 3 ?(1) ? ?1 ,∴ 1 ? 2a ? a 2 ? 1 ? ?1 又f 8 ∴ a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, b ? 3 1 2 8 ∴ f ( x) ? x ? x2 ? , f ?( x) ? x2 ? 2x 3 3 由 f ?( x) ? 0 可知 x ? 0 和 x ? 2 是 f ( x) 的极值点. 8 4 ∵ f (0) ? , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 3 3 ∴ f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值为 8. ⑶因为函数 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,所以函数 f ?( x) 在 ( ?1,1) 上存在零点. 而 f ?( x) ? 0 的两根为 a ? 1 , a ? 1 ,区间长为 2 , ∴在区间 ( ?1,1) 上不可能有 2 个零点. 所以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,即 a2 (a ? 2)(a ? 2) ? 0 . ∵ a 2 ? 0 ,∴ (a ? 2)(a ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? 2 . 又∵ a ? 0 ,∴ a ? (?2, 0) ? (0, 2) . 【解析】 20. ⑴设 f ( x) 有零点,即函数 g ( x) ? x2 ? mx ? m 有零点, 所以 m2 ? 4m ≥ 0 ,解得 m ≥ 4 或 m ≤ 0 ; ⑵ f ?( x) ? (2 x ? m) ? e x ? ( x2 ? mx ? m) ? e x ? x( x ? m ? 2)e x , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? m ? 2 , 因为 m ? 0 ,所以 m ? 2 ? 0 , 当 x ? (?? , m ? 2) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? (m ? 2, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (0, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增. 此时, f ( x) 存在最小值. f ( x) 的极小值为 f (0) ? m ? 0 . 根据 f ( x) 的单调性, f ( x) 在区间 (m ? 2, ? ?) 上的最小值为 m,

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解 f ( x) =0,得 f ( x) 的零点为 x1 ?

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m 和 x2 ? , 2 2

结合 f ( x) ? ( x2 ? mx ? m) ? e x 可得在区间 (?? , x1 ) 和 ( x2 , ? ?) 上, f ( x) ? 0 . 因为 m ? 0 ,所以 x1 ? 0 ? x2 ,
m ? m 2 ? 4m ?m ? 4 ? m2 ? 4m ?m?2? 2 2

并且 x1 ? (m ? 2) ?

?

?m ? 4 ? m2 ? 4m ? 4 ?m ? 4? | m ? 2 | ?m ? 4 ? (2 ? m) ? ? ?1? 0 , 2 2 2

即 x1 ? m ? 2 , 综上,在区间 (?? , x1 ) 和 ( x2 , ? ?) 上, f ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (m ? 2, ? ?) 上的最 小值为 m , m ? 0 , 所以,当 m ? 0 时 f ( x) 存在最小值,最小值为 m . 【解析】 21. ⑴∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,
? f (1) ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1, 根据题意,得 ? 即? 解得 ? ? f ?(1) ? 0, ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?b ? 0. 3 ∴ f ( x) ? x ? 3x .

⑵令 f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ,即 3x2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 . (?2, ?1) ( ?1,1) x ?2 ?1 1 f ?( x) 0 0 ? ?

(1, 2)

2
0

+

f (x)

?2



极大值



极小值



∵ f (?1) ? 2 , f (1) ? ?2 , ∴当 x ?? ?2, 2? 时, f ( x)max ? 2 , f ( x)min ? ?2 . 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min ? 4 ,所以 c ≥ 4 .

所以 c 的最小值为 4 . ⑶∵点 M (2, m) (m ? 2) 不在曲线 y ? f ( x) 上, ∴设切点为 ( x0 , y0 ) .则 y0 ? x03 ? 3x0 . ∵ f ?( x0 ) ? 3x02 ? 3 ,∴切线的斜率为 3x0 2 ? 3 . 则 3x0 2 ? 3 ?
x03 ? 3x0 ? m ,即 2x03 ? 6x02 ? 6 ? m ? 0 . x0 ? 2

因为过点 M (2, m) (m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, 所以方程 2x03 ? 6x02 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解. 即函数 g ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 6 ? m 有三个不同的零点. 则 g ?( x) ? 6 x2 ? 12 x . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 . (?? , 0) 0 x

(0 , 2)

2

(2 , ? ?)

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g ?( x) g ( x)

+

0

?

0

+

极大值 ↗ ↘ ? g (0) ? 0, ?6 ? m ? 0, ∴? 即? 解得 ?6 ? m ? 2 . ? g (2) ? 0, ??2 ? m ? 0,

极小值



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