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河北省邯郸一中2015届招生模拟数学试题


2015 邯郸一中招生模拟试题(二) 姓名__________ 成绩___________

一、 选择题(本题有 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( D ) (A) 直线 y = –x 上 (C) 直线 y = x 上 (B) 抛物线 y = x 上 (D) 双曲线 xy = 1


2

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,那么 k 的值是 ( (A) 35 D ) (C) 25 (D) 20 )

(B) 30

3. 若关于 x 的一元二次方程 (m -1) x 2 +5x + m2 - 3m + 2 = 0 的常数项是 0, 则 m 的值是 ( B

A.1

B.2

C.1 或 2

D. 0

4.如图 1,A、B、C、D 为⊙O 的四等分点,动点 P 从圆心 O 出发,沿 O — C — D — O 路线 作匀速运动.设运动时间为 t(s) ,∠APB=y(°) ,则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最 恰当的是(
D P
O

)
C y 90 45 B 0 t y 90 45 0 y 90 45 t 0 t y 90 45 0 t

A
第 1 题图

A

B

C

D

5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到圆锥, 则该圆锥的侧面积是( A.25π 6.满足不等式 n (A)8
200

) B.65π C.90π ( (D)11 D.130π )

< 5300 的最大整数 n 等于
(C)10

(B)9

7.已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 8,方差为 2,那么另一组数据:4x1+1,4x2+1, 4x3+1,4x4+1,4x5+1 的平均数和方差分别为( ) A. 33 与 2 B. 8 与 2 C. 33 与 32 D. 8 与 33

8.如图,直线 x=1 是二次函数 y=ax +bx+c 的图象的对称轴,则有 (A)a+b+c>0 (C)abc<0 (B)b>a+c (D)c>2b

2





9.已知实数 a 满足 | 2006 - a | + a - 2007 = a ,那么

a - 20062 的值是(
A、2005 B、2006


) C、2007 D、2008

10.如图,∠ACB=60 ,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离 为( A、2π ) B、π
2 2

C、 2 3

D、4 )

11.如果关于 x 的方程 x - ax + a - 3 = 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(

A、 - 2 < a < 2 D、 - 3 ≤a ≤2

B、 3 < a ≤2

C、 - 3 < a ≤2

A

E

B

G F H

12.如图, 已知: 点E、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 于点 G、H , 若正方形 ABCD 的面积是 240,则四边形 BFHG 的面积等 于????????( A、26 C、24 ) B、28 D、30
D

C

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 13.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为 4、2, 则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .

14 .桌面上有大小两颗球, 相互靠在一起。已知大球的 半径为 20cm,小球半径 5cm, 则这两颗球分别与桌面相接 触的两点之间的距离等于 ______ cm.

15.圆锥的母线长为 3,底圆

半径为 1,则圆锥的侧面 12.如图,已知点(1,3) 在函数 的图

象上.正方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上,点 E 是对角线 BD 的中点, 函数 的图象又经过 A、E 两点,则 点 E 的横坐标为 _________ . 16.已知抛物线 经过点 A(4,0) .设点 C(1, ﹣3) ,请在抛物线的对称轴 上确定一点 D, 使得|AD﹣CD| 的值最大,则 D 点的坐标为 _________ . 17.若表示不超过 x 的最大 整数(如

等) ,则

= _________ .

18.在△ABC 中,D、E 分别 是 BC、AC 上的点,AE=2CE, BD=2CD,AD、BE 交于点 F, 若 S△ABC=3,则四边形 DCEF 的 面积为 _________ .

三.解答题 19.(10 分)已知:a<0,b ≤0,c>0,且

四. 20.

五. 21.

b2 - 4ac = b - 2ac ,求
b -4ac 的最小值。
2

20(10 分).已知 a =7a-3,b =7b-3,求 值。
2 2

a b + 的 b a

21 (11 分) . 如图, 在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC=a 厘 米,AC=b 厘米,a>b,且 a、

b 是方程 x ﹣ (m﹣1) x+m+4=0 的两根,

2

(1)求 a 和 b 的值; (2)若△A′B′C′与△ABC 开始时完全重合,然后让 △ABC 固定不动,将 △A′B′C′沿 BC 所在的直 线向左移动 x 厘米。设 △A′B′C′与△ABC 有重叠 部分,其面积为 y 平方厘米, 求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出 x 的取值范围。 解 :(1) ∵ △ ABC 是 Rt △ 且 BC=a,AC=b,AB=5 (a>b)

又 a、b 是方程的两根 ∴

Δ = (m 1) 2 4(m + 4) > 0 a + b = m 1> 0 a b = m+4> 0 a 2 + b 2 = 25
∴(a+b) -2ab=25 (m-1) -2(m+4)=25
2 2

推 出

(m-8)(m+4)=0????. 得 m1=8 m2=-4 经 检验

m=-4 不合舍去 ∴ m=8 ∴ x -7x+12=0
2

x1=3

x2=4 ∴a=4,b=3
' ' '

(2) ∵△ A B C 以 1 厘米/ 秒的速度沿 BC 所在直线向左 移动。 ∴x 秒后 BB′=x =4-x ∵ C ′ M ∥AC ∽△BCA ∴ ∴△ BC′ M 则 B′C′

BC ′ MC ′ = BC AC



3 MC ′ = (4 - x) 4


1 3 SΔBC ′ (4 - x) (4 - x) M = y= 2 4
即 y=

3 (4 - x) 2 8 3 2 x - 3x + 6 8



y=

(0 ≤ x ≤ 4)

22(11 分)如图,在△ABC 中, AC=BC, AB 是⊙C 的切线, 切点为 D,直线 AC 交⊙C 于 点 E、F,且 CF= AC.

(1)求∠ACB 的度数; (2)若 AC=8,求△ABF 的面 积.

解答: 解: (1)连接 CD,

∵AB 是⊙C 的切线, ∴CD⊥AB, ∵CF= AC,CF=CE, ∴AE=CE, ∴ED= AC=EC, ∴ED=EC=CD, ∴∠ECD=60°, ∴∠A=30°, ∵AC=BC, ∴∠ACB=120°.

(2)∵∠A=30°,AC=BC, ∴∠ABC=30°, ∴∠BCE=60°, 在△ACD 与△BCF 中

∴△ACD≌△BCF(SAS) ∴∠ADC=∠BFC, ∵CD⊥AB, ∴CF⊥BF, ∵AC=8,CF= AC. ∴CF=4, ∴AF=12, ∵∠AFB=90°,∠A=30°, ∴BF= AB, 设 BF=x,则 AB=2x, ∵AF +BF =AB , ∴(2x) ﹣x =12 解得:x=4 即 BF=4 ∴△ABF 的面积= 23(11 分).已知抛物线 y = x + 2px + 2p –2 的顶点为 M, (1) 求证抛物线与 x 轴必有 两个不同交点; (2) 设抛物线与 x 轴的交点 分别为 A,B,求实数 p 的值 使△ABM 面积达到最小. 解:(1) ∵⊿ = 4p – 8p + 8 = 4 ( p –1) + 4 >0 , ∴抛物线与 x 轴必
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

=24



有两个不同交点. (2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB| = |x2 – x1| = =
2 2 2 2

=

2

,

2 ∴|AB| = 2 ( p - 1) +1 .

又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x – p) – ( p – 1 ) – 1 . 得 b = – ( p – 1 ) –1 . 当 p =1 时,|b|及|AB|均取 最小, 此时 S△ABM = 取最小值 1 .
1 |AB||b| 2
2 2 2

24(12 分) .某公司为了 解员工对“六五”普法知识 的知晓情况,从本公司随机 选取 40 名员工进行普法知识 考查,对考查成绩进行统计 (成绩均为整数,满分 100

分) ,并依据统计数据绘制了 如下尚不完整的统计表.解 答下列问题: 组别 1 2 3 4 5 合计 (1)表中 a= ___ ,b= _____ ,c= ____ ; 分数段/分 50.5~60.5 60.5~70.5 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5 频数/人数 2 6 b 12 6 40 频率 a 0.15 c 0.30 0.15 1.00

(2)请补全频数分布直方 图; (3)该公司共有员工 3000 人, 若考查成绩 80 分以上 (不 含 80 分)为优秀,试估计该 公司员工“六五”普法知识 知晓程度达到优秀的人数.

解: (1)a=

=0.05,

第三组的频数 b=40﹣2﹣6﹣ 12﹣6=14,

频率 c=

=0.35;

(2)补全频数分布直方图如 下:



(3)3000×(0.30+0.15) =1350(人) . 答:该公司员工“六五”普 法知识知晓程度达到优秀的 人数 1350 人.

25 (13 分) . 如图 1, 矩形 OABC 顶点 B 的坐标为(8,3) ,定 点 D 的坐标为(12,0) ,动 点 P 从点 O 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴的 正方向匀速运动,动点 Q 从 点 D 出发,以每秒 1 个单位 长度的速度沿 x 轴的负方向 匀速运动, PQ 两点同时运动, 相遇时停止.在运动过程中, 以 PQ 为斜边在 x 轴上方作等 腰直角三角形 PQR. 设运动时 间为 t 秒.

(1)当 t= _____ 时, △PQR 的边 QR 经过点 B; (2) 设△PQR 和矩形 OABC 重 叠部分的面积为 S, 求 S 关于 t 的函数关系式; (3)如图 2,过定点 E(5, 0)作 EF⊥BC,垂足为 F,当 △PQR 的顶点 R 落在矩形 OABC 的内部时,过点 R 作 x 轴、y 轴的平行线,分别交 EF、BC 于点 M、N,若 ∠MAN=45°,求 t 的值. 考点: 四边形综合题. 分析: (1)△PQR 的边 QR 经过点 B 时,△ABQ 构成等腰直角三角形,则有 AB=AQ,由此列方 程求出 t 的值; (2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解; (3) 首先判定 ABFE 为正方形; 其次通过旋转, 由三角形全等证明 MN=EM+BN; 设 EM=m, BN=n,在 Rt△FMN 中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求 出时间 t 的值. 解答: 解: (1)△PQR 的边 QR 经过点 B 时,△ABQ 构成等腰直角三角形, ∴AB=AQ,即 3=4﹣t, ∴t=1. 即当 t=1 秒时,△PQR 的边 QR 经过点 B.

(2)①当 0≤t≤1 时,如答图 1﹣1 所示.

设 PR 交 BC 于点 G, 过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,则 CH=OP=2t,GH=PH=3. S=S 矩形 OABC﹣S 梯形 OPGC =8×3﹣ (2t+2t+3)×3 = ﹣6t;

②当 1<t≤2 时,如答图 1﹣2 所示.

设 PR 交 BC 于点 G,RQ 交 BC、AB 于点 S、T. 过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,则 CH=OP=2t,GH=PH=3. QD=t,则 AQ=AT=4﹣t, ∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1. S=S 矩形 OABC﹣S 梯形 OPGC﹣S△BST =8×3﹣ (2t+2t+3)×3﹣ (t﹣1) =﹣ t ﹣5t+19; ③当 2<t≤4 时,如答图 1﹣3 所示.
2 2

设 RQ 与 AB 交于点 T,则 AT=AQ=4﹣t. PQ=12﹣3t,∴PR=RQ= S=S△PQR﹣S△AQT = PR ﹣ AQ
2 2

(12﹣3t) .

= (12﹣3t) ﹣ (4﹣t) = t ﹣14t+28.
2

2

2

综上所述,S 关于 t 的函数关系式为:

S=



(3)∵E(5,0) ,∴AE=AB=3, ∴四边形 ABFE 是正方形. 如答图 2,将△AME 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABM′,其中 AE 与 AB 重合. ∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°, ∴∠BAM′+∠NAB=45°, ∴∠MAN=∠M′AN. 连接 MN.在△MAN 与△M′AN 中,

∴△MAN≌△M′AN(SAS) . ∴MN=M′N=M′B+BN

∴MN=EM+BN.

设 EM=m,BN=n,则 FM=3﹣m,FN=3﹣n. 在 Rt△FMN 中,由勾股定理得:FM +FN =MN , (3﹣m) +(3﹣n) =(m+n) , 整理得:mn+3(m+n)﹣9=0. ①
2 2 2 2 2 2

延长 NR 交 x 轴于点 S,则 m=EM=RS= PQ= (12﹣3t) , ∵QS= PQ= (12﹣3t) ,AQ=4﹣t, ∴n=BN=AS=QS﹣AQ= (12﹣3t)﹣(4﹣t)=2﹣ t. ∴m=3n, 代入①式,化简得:n +4n﹣3=0, 解得 n=﹣2+ ∴2﹣ t=﹣2+ 解得:t=8﹣2 . )秒. 或 n=﹣2﹣ (舍去)
2

∴若∠MAN=45°,则 t 的值为(8﹣2

点评: 本题是运动型综合题,涉及动点与动线,复杂度较高,难度较大.第(2)问中,注 意分类讨论周全,不要遗漏;第(3)问中,善于利用全等三角形及勾股定理,求得 线段之间的关系式,最后列出方程求解.题中运算量较大,需要认真计算.


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