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高一数学联赛选拔赛(奥赛班入学)试卷 (含参考答案)


7.设 f ( x )=

1? x 1? x

,记 f 1 ? x ? ? f ?x ? ,若 f n ? 1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , 则 f 2006 ( x )= (
B 、-



**中学高一数学联赛选拔赛试卷
命题人:吴铭

A 、x

1 x

C 、
2

1? x 1? x

D、

x ?1 x ?1 1 3

8 .设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1.在下列实数中:-5、 5 、 2 、0,最大的数是( A. ? 5 B. 5
2

,则集合 )

) . D.0 )

M ? {( x , y ) y ? x ? 1}, N ? {( x , y )

y ? x ? 1} 的交集 M ? N 所表示的图形面积为(
2

C. 2

A.

1 3

B.

2 3

C.1

D.

4 3

考场号:



2.抛物线 y ? x ? 2 x ? 4 与 x 轴分别交于 A , B 两点,则 A , B 两点间的距离等于( A.2 B.4 C. 5 D. 2 5

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.在矩形 A B C D 中, B C ? 6 , C D ? 8 ,以 A 为圆心画圆,且点 D 在
? A 内,点 B 在 ? A 外,则 ? A 半径 r 的取值范围是


A B



3.下图是由 10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图 l)和梅花图案(图 2) (图中的折扇无重叠) , 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为( )
C



D

班级座位号:



第 3 题图

第 9 题图 第 10 题图



A.36?

B.42?

C.45?

D.48?

10.如图,已知弦 AB∥CD,请用无刻度的直尺,准确作出该圆的直径(保留作图痕迹) . ... 11.定义 M 与 P 的差集为 M-P={x | x∈M 且 x 不∈P} ,若 A={y | y=x2 },B={x | -3≤x≤3} ,再 定义 M△ N =(M-N)∪(N-M) ,则 A△ B= 12.若非空集合 S 满足 ,且若 ,则 . ,那么符合要求的集合 S 有

4.花园小径旁有一个圆柱状果皮垃圾筒,圆柱体的底面半径为 18cm,圆柱形的侧面由 20 块大小 相同的小木条均匀围成一圈,垃圾入口处是一个切除了高为 20cm 的 5 块小木条的柱面方孔,

线

则这个垃圾筒切除的侧面面积是( A.1 2 0 ? cm
2

) .
2

B.1 4 4 ? cm D. 2 4 0 ? cm
? 2

姓名:



___________个.
2

C.1 8 0 ? cm

2

13.映射 f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足 1<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<5,这样的映射 f 有_______个. 14. 设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)=________.



5.已知 x ? R , y ? R ,集合 A ? { x ? x ? 1, ? x , ? x ? 1},
B ? {? y ,? y 2 , y ? 1} .若 A ? B ,则 x ? y 的值是(
2 2

第 4 题图

) D.10

A.5

B.4

C.25

6.设 ? 是 R 上的一个运算, A 是V 的非空子集,若对任意 a, b ? A ,有 a ? b ? A ,则称 A

班级:

对运算 ? 封闭. 下列数集对加法减法、 乘法和除法 (除数不等于零) 四则运算都封闭的是 ( A.自然数集 B.有理数集 C.整数集 D.无理数集



1

三、计算题(17-19 题每题 8 分,20-23 题 10 分,共 64 分) 15.根据如图所示的程序计算. (1)选取一个你喜欢的 x 的值,输入计算,试求输出的 y 值是多少? (2)是否存在这样的 x 的值,输入计算后始终在内循环计算而输不出 y 的值?如果存在, 请求出 x 的值;如果不存在,请说明理由. 输入 x 平方 乘以 2 减去 4 若结果大于 0

17.抛物线 y ? x 在直角坐标系中向下平移 4 个单位得到抛物线 y1 , y1 与 x 轴的交点为 A1 、B1 ,
2

与 y 轴的交点为 O 1 , A1 、 B1 、 O 1 对应 y ? x 上的点依次为 A、B、O.
2

(1)写出 y1 的解析式及 A、B 两点的坐标; (2)求抛物线 y 和 y1 及线段 A A1 和 B B1 围成的图形的面积; (3)若平行于 x 轴的一条直线 y ? m 与抛物线 y 交于 P、Q 两点,

否则

与抛物线 y1 交于 R、S 两点,且 P、Q 两点三等分线段 RS,求 m 的值;

输出 y

16.已知集合 A={x|ax -3x-4=0,x∈R}. (1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.

2

18.已知集合

A ? { a1 , a 2 , a 3 , a 4 }



B ? { a1 , a 2 , a 3 , a 4 }
2 2 2 2

,其中

a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4

,并且都是正

整数. A ? B ? { a 1 , a 4 } ,a 1 ? a 4 ? 10 . A ? B 中的所有元素之和为 124, 若 且 求集合 A、 B.

2

19.我们给定两个全等的正方形 A B C D 、 A E F G ,它们共顶点 ,可以绕顶点 A 旋转, C D , E F 相交于点 P . A (如图 1) (1)连接 B E 、 D G (如图 2) ,求证: B E ? D G , B E ⊥ D G ;

(1)若函数 F ( x ) ? f [ f ( x )]与 f ( x ) 在 x ? R 时有相同的值域,求 b 的取值范围; (2)若方程 f ( x ) ? | x 2 ? 1 |? 2 在(0,2)上有两个不同的根 x1、x2,求 b 的取值范围,并证明
1 x1 ? 1 x2 ? 4.

图1

考场号:



图2



(2)连接 B G 、 C F (如图 3) ,有三个结论: ① BG ∥C F ; ②?ABG ∽?PCF ;



③ ? A B G 与 ? P C F 相似. 请证明;
图3

班级座位号:

线







(3)连接 B E 、 C F (如图 4) ,求

BE CF

的值.

姓名: 班级:


20. 已知 f ( x ) ? x 2 ? bx ? 2, x ? R .
3

**中学高一数学联赛选拔赛试卷参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B

9 若关于 x 的方程无实数根,则 Δ=9+16a<0,即 a<- ;……………………………7 分 16 9 所求的 a 的取值范围是 a≤- 或 a=0. …………………………………………8 分 16 17.. (1) y 1 ? x ? 4 , A(-2,4) 、B(2,4) ;………………………………2 分
2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 6 ? r ? 8 11. {x|-3≤x<0 或 x>3} 13.14 10.如图,线段 MN 即为圆的直径. 12.7 14. x+1

(2) 连接 AB, 则抛物线 y1 和 A1 B1 围成的图形的面积等于抛物线 y 和 A B 围成的图形的面积, ∴抛物线 y1 和 y 2 及 A A1 和 B B1 围成的图形的面积等于正方形 A A1 B1 B 的面积=16;……5 分 (3)如图,∵ R P ? P Q ? Q S ,∴ R S ? 3 P Q
2 m ? 4 ? 6 m ,解得 m ?

三、计算题(15-18 题每题 8 分,19-20 题 10 分,共 52 分) 15.解: (1)略.………………………………………………………………………………2 分 (2)当 y ? x ,且 y ? 0 时,输入 x 计算后始终输不出 y 的值. 此时 x ? 2 x ? 4 ,………………………………………………………………………5 分
2

1 2

…………8 分

18. 【解】?

a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4
2

,且 A ? B ? { a 1 , a 4 } ,

? a 1 ? a 1 ,又 a 1 ? N ,所以 a 1 ? 1 . …1 分
2 a ? a4. 又 a 1 ? a 4 ? 10 ,可得 a 4 ? 9 ,并且 a 2 ? a 4 或 3 ………………………3 分
2

2 x ? x ? 4 ? 0 , x1, 2 ?
2

? ( ? 1) ?

( ? 1) ? 4 ? 2 ? ( ? 4 )
2

2?2

?

1? 4

33

2 1 ? 3 ? a 3 ? 9 ? a 3 ? 81 ? 124 , a ? 5 a3 ? ?6 若 a 2 ? 9 ,即 a 2 ? 3 ,则有 解得 3 或 (舍)
2



1? 4

33

? 0,

1? 4

33

? 0

此时有 A ? {1,3 ,5 ,9}, B ? {1,9 , 25 ,81 }. ………………………………5 分 若
a3 ? 9
2

∴x ?

1? 4

33

为所求的 x 的值,输入计算后始终输不出 y 的值.…………………8 分

,即

a3 ? 3

,此时应有 a 2 ? 2 ,

则 A ? B 中的所有元素之和为 100 ? 124.不合题意.………………………………7 分 16. (1)∵A 中有两个元素, ∴方程 ax2-3x-4=0 有两个不等的实数根, 19.解: (1)证明:∵ A B ? A D , ? B A E ? 9 0 ? ? ? E A D ? ? D A G , A E ? A G ∴ ?
?a ? 0

综上可得, A ? {1,3 ,5 ,9}, B ? {1,9 , 25 ,81 }. ……………………………………8 分

9 9 ,即 a>- ,∴a>- ,且 a≠0. …4 分 16 16 ?? ? 9 ? 16 a ? 0

∴△ A B E ≌△ AD G ,即 BE ? DG .……………………………1 分 分别延长 GD,BE 交于点 M 交 EF 于点 N, ∵ ? M E N ? ? E N M ? ? M E N ? ? A G D ? ? B E A ? ? N E M ? 90° ∴ BE ? GD (∵ ? A B E ≌ ? A D G , A B ⊥ A D , A E ⊥ A G , ∴ ? A D G 可以看成由 ? A B E 绕顶点 A 旋转 90° ,即 B E ⊥ D G . )………………2 分

4 (2)当 a=0 时,A={- };…5 分 3 当 a≠0 时,若关于 x 的方程 ax2-3x-4=0 有两个相等的实数根, 9 Δ=9+16a=0,即 a=- ;…………………………………………………………………………6 分 16
4

(2)证明:①∵ AB ? AG ,∴∠ABG=∠AGB,∠CBG=∠FGB 同理:∠BCF=∠GFC 又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360° ∴∠CBG+∠BCF=180° ,即 B G ∥ C F ;…………………5 分 ②续① 又∵AB∥PC,AG∥PF ∴∠ABG=∠PCF,∠AGB=∠PFC 即 ? A B G ∽ ? P C F ……6 分 ③续② 连接 AP 交 GF 的延长线于 Q 1 ,交 BC 的延长线于 Q 2 ,

2x ? bx ?1 ? 0
2

的 解 , x1 x 2 ? ?
1 x1

1 2

?0

, 与 题 设 矛 盾 . 因 此 , x1 ? (0,1], x 2 ? (1, 2). 由
1 x2 ? 2 x2 ,

H ( x1 ) ? 0 得 b ? ?

,所以 b ≤ ? 1 ;由 H ( x 2 ) ? 0 得 b ?

所以 ?

7 2

? b ? ?1.

故当

?

7 2

? b ? ?1 时, 方程 f ( x ) ? | x ? 1 |? 2 在 (0, 2)
2

上有两个解.由 b ? ?

1 x1

和b ?

1 x2

? 2 x 2 消去 b,



1 x1

?

1 x2

? 2 x2 .

由 x 2 ? (1, 2 ), 得

1 x1

?

1 x2

? 4.



Q1 P Q1 A

?

PF AG Q2P Q2 A



Q2P Q2 A

?

PC AB

,而 AB=AG,PC=PF



Q1 P Q1 A

?

,亦有

Q1 P AP

?

Q2P AP

,Q1 P ? Q 2 P

∴ Q 1 , Q 2 重合,即 BC,AP,GF 相交于点 Q,
? A B G 与 ? P C F 位似.……………………………8 分

(3)连接 A C , A F 可证得 ? A B E ∽ ? A C F ,
BE CF ? AB AC ? 1 2 ? 2 2
b 2

.…………………………………10 分

20.解:(1)当 x ? R 时,函数 f ( x ) ? x 2 ? b x ? 2 的图象是开口向上,且对称轴为 x ? ?
?8 ? b2 ? 4 ? , ?? ? ? ?8 ? b2 ? 4 ? , ?? ? ?

的抛物

线, f ( x ) 的值域为 ?
8?b 4
2

,所以 F ( x ) ? f [ f ( x )] 的值域也为 ?

的条件是

≤ ?

b 2

, 即 b ? 2 b ? 8 ≥ 0, ? b ≤ ? 2, 或 b ≥ 4
2



即 b 的取值范围为 ( ? ? , ? 2 ] ? [ 4, ? ? ). (2) f ( x ) ? | x 2 ? 1 |? 2, 即 x 2 ? b x ? | x 2 ? 1 |? 0 ,由分析知 b
? 0

,

不妨设 0 ? x1 ? x 2 ? 2, 令 H ( x ) ? x 2 ? b x ? | x 2 ? 1 |? ?

? b x ? 1, | x |≤ 1, ? 2 x ? b x ? 1, | x | ? 1,
2

因为 H ( x ) 在 (0,1] 上

是单调函数,所以 H ( x ) ? 0 在 (0 ,1] 上至多有一个解.若 x1 , x 2 ? (1, 2) ,即 x1 、x2 就是
5



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