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2014届衡南县重点高中“五科联考”数学试题(含答案)


2014 届“五科联考”数学试题解析
时间:90 分钟 满分:120 分 一、 选择题(每小题 5 分,共 30 分) ) D、5

1、-64 的立方根与 81 的平方根之和是( A、-7 解:∵
3

B、-1 或 -7

C、-13 或 5

?64 ? ?4 , ?

/>
81 ? ?3

∴ 原式= ?4 ? 3 ? ?1或 ? 7 ,选 B 2、有 5 条线段长分别为 1、3、4、5、7,从中任取三条为一组,它们一定能构成三角形的频率为( A、0.15 B、0.10 C、0.20 D、0.30 解:∵①1,3,4;②1,3,5;③1,3,7;④1,4,5;⑤1,4,7; ⑥1,5,7;⑦3,4,5;⑧3,4,7;⑨3,5,7;⑩4,5,7 其中⑦、⑨、⑩能构成三角形 ∴ P( 构成三角形 ) ? )

3 ? 0.3 ,选 D 10

3、如图,已知边长为 1 的正方形 ABCD,E 为 CD 边的中点, 动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 A→B→C→E 运动,设点 P 经 过的路程为 x,△APE 的面积为 y,则 y 关于 x 的函数的图象大 致为( )

A

B

C 解:当 P 在 AB 上时, 0 ? x ? 1

D

1 1 ? x ?1 ? x ; 2 2 当 P 在 BC 上时, 1 ? x ? 2 y?

y ? S梯形ABCE ? S?ABP ? S ?PCE 1 1 1 1 1 ? ( ? 1) ?1 ? ? 2( x ? 1) ? (1 ? x) ? 2 2 2 2 2 3 3 ?? x? 4 2
当 P 在 CE 上时, 2 ? x ? 2.5

y?
选A

1 5 1 5 ( ? x ) ?1 ? ? x ? 2 2 2 4

1

4、方程 x ? 7 ? x ? 9 ? x ? 2012 ? x ? 2014的解有(

)个

A、0 B、1 C、2 D、多于 2 个 解:当 x ? 7 时,原方程就是: 7 ? x ? 9 ? x ? 2012 ? x ? 2014 ? x ,无解; 当 7 ? x ? 9 时,原方程就是: x ? 7 ? 9 ? x ? 2012 ? x ? 2014 ? x , x ? 2012 ,舍去; 当 9 ? x ? 2012 时,原方程就是: x ? 7 ? x ? 9 ? 2012 ? x ? 2014 ? x , x ? 2021 ,舍去; 当 2012 ? x ? 2014 时,原方程就是: x ? 7 ? x ? 9 ? x ? 2012 ? 2014 ? x , x ? 9 ,舍去; 当 x ? 2014 时,原方程就是: x ? 7 ? x ? 9 ? x ? 2012 ? x ? 2014 ,无解; 选A
a ? ?b  (a ? b)

5、 对任意两实数 a、 b, 定义运算 “*” 如下:a ? b ? ?

a ? ?b ? b (a ? b)

, 根据这个规则, 则方程 2 * x ? 9 的解为 (



A、-3

B、

37 ? 1 2 1 ? 37 2

C、-3 或

37 ? 1 2
2

D、3 或

解:当 2 ? x 时, x ? 9 ,解得 x1 ? 3 (舍去) , x2 ? ?3 ; 当 2 ? x 时, x ? x ? 9 ,解得 x3 ?
2

?1 ? 37 ?1 ? 37 , x4 ? (舍去) 2 2

选C 6、当三个非负实数 x、y、z 满足关系式 x ? 3 y ? 2 z ? 3 与 3x ? 3 y ? z ? 4 时, M ? 3x ? 2 y ? 4 z 的最小值和最大值 分别是( A、 ? ) B、 ?

1 ,6 7

1 ,7 6

C、

1 ,8 5

D、 ?

1 ,3 8

解:由题意,得

22 ? 3M 22 ? ?0? M ?? ?x ? 43 3 ?x ? 3y ? 2z ? 3 ? 35 ? 5M ? ? ?0? M ?7 ?3 x ? 3 y ? z ? 4 解得 ? y ? 43 ?3 x ? 2 y ? 4 z ? M ? ? 1 ? 1 ? 6M ? z ? 43 ? 0 ? M ? ? 6 ?
∴ ? 选B 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、 x ? 2(m ? 3) x ? 9 是一个多项式的平方,则 m=_____________。
2

1 ?M ?7 6

解: ? ? [2(m ? 3)] ? 4 ?1? 9 ? 0 ? 4m(m ? 6) ? 0 ? m ? 0或 ? 6
2

2

8、 如果一个扇形的弧长等于它的半径, 那么此扇形称为 “等边扇形” , 则半径为 2 的 “等边扇形” 的面积为_____________。 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l,则根据扇形面积公式,得

S?

1 1 1 lr ? r 2 ? ? 22 ? 2 2 2 2

9、 如图是由 9 个等边三角形拼成的六边形, 若已知中间的小等边三角形的边长是 1, 则六边形的周长是_____________。 解:如图,设第二小的等边三角形的边长为 x,而中间的小等边三角形的边长是 1,所以其它 等边三角形的边长分别 x+1,x+2,x+3 由图形,得 x ? 3 ? 2 x ,解得 x ? 3

?  六边形的周长 ? 2 x ? 2( x ? 1) ? 2( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 7 x ? 9 ? 7 ? 3 ? 9 ? 30

第 9 题图

第 10 题图

10、 如图一副直角三角板放置, 点 C 在 FD 的延长线上, AB∥CF, ∠F=∠ACB=90°, AC=5, CD 的长_____________。 解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,在△ACB 中,∠ACB=90° ,∠A=60° ,AC=5 ∴ ∠ABC=30° , BC ? 3 AC ? 5 3 ∵ AB∥CF ∴ BM ?

1 5 3 BC ? 2 2
15 2

CM ? 3BM ?

在△EFD 中,∠F=90° ,∠E=45° ∴ ∠EDF=45° ∴ MD ? BM ?

5 3 2 15 5 3 15 ? 5 3 ? ? 2 2 2

∴ CD ? CM ? MD ?

11、在形如 a ? N 的式子中,我们已经研究过两种情况:
b

①已知 a 和 b,求 N,这是乘方运算; ②已知 b 和 N,求 a,这是开方运算; 现在我们研究第三种情况:已知 a 和 N,求 b,我们把这种运算叫做对数运算。 定义:如果 a ? N (a>0,a≠1,N>0) ,则 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: b ? loga N 。
b

例如:因为 2 ? 8 ,所以 log2 8 ? 3 ;因为 2
3

?3

?

1 1 ,所以 log 2 ? ?3 。 8 8

(1)根据定义计算: (本小题每空 1 分)
3

① log3 81 ? 4 ;② log10 1 ? 0 ;③如果 logx 16 ? 4 ,那么 x= 2 。 (2)设 a ? M , a ? N ,则 loga M ? x , loga N ? y (a>0,a≠1,M、N 均为正数)
x y

∵ a ?a ? a
x y

x? y

∴ a

x? y

? M ?N

∴ loga M ? N ? x ? y 即 loga M ? N ? loga M ? loga N 这是对数运算的重要性质之一,进一步,我们还可以得出:

loga M1 ? M 2 ? M 3 ? ?? M n ? loga M1 ? loga M 2 ? loga M3 ???? loga M n (其中 M1、M2、M3、…、Mn 均为正数,
a>0,a≠1)

12、已知 a、b、c 为实数,且 a ? b ? 解:由题意,得

c ? 1 ? 1 ? 4 a ? 2 ? 2 b ? 1 ? 4 ,则 a ? 2b ? 3c ? ________________。

(a ? 2 ? 4 a ? 2 ? 4) ? (b ? 1 ? 2 b ? 1 ? 1) ?
∴ ( a ? 2 ? 2) ? ( b ? 1 ? 1) ?
2 2

c ?1 ?1 ? 0

c ?1 ?1 ? 0



a ? 2 ? 2 , b ? 1 ? 1 , c ?1 ? 1

∴ a ? 6,b ? 0,c ? 2 ∴ a ? 2b ? 3c ? 6 ? 2 ? 0 ? 3 ? 2 ? 0 三、解答题(共 60 分)

13、 (8 分)为迎接国庆 64 周年,某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛,赛后整理参赛同学的成绩, 并制作成图表如下:

分数段 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100

频数 30 90 m 20

频率 0.15 0.45 0.3 n

请根据以上图表提供的信息,解答下列问题: (1)表中 m 和 n 所表示的数分别为:m= 60 ,n= 0.1 ; (2)请在图中,补全频数分布直方图; (3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段;
4

(4)如果比赛成绩 90 分以上(含 90 分)可以获得奖励,那么获奖率是多少? 解:(1)根据统计表中,频数与频率的比值相等,即有

30 m 20 ? ? 0.15 0.3 n 解得 m ? 60 , n ? 0.1
(2)图为:

(3)根据中位数的求法,先将数据按从小到大的顺序排列,读图可得:共 200 人,第 100、101 名都在 70 分~80 分, 故比赛成绩的中位数落在 70 分~80 分 (4)读图可得比赛成绩 90 分以上的人数为 20,故获奖率为

20 ?100% ? 10% 200

14、 (12 分)为实现区域教育均衡发展,我市计划对某县 A、B 两类薄弱学校全部进行改造。根据预算,共需资金 1575 万元,改造一所 A 类学校和两所 B 类学校共需资金 230 万元;改造两所 A 类学校和一所 B 类学校共需资金 205 万元。 问: (1)改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的资金分别是多少万元? (2)我市计划今年对该县 A、B 两类学校共 6 所进行改造,改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财 政拨付的改造资金不超过 400 万元;地方财政投入 的改造资金不少于 70 万元,其中地方财政投入到 A、B 两类学校的 改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元,请你通过计算求出有哪几种改造方案?

(1)设改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的改造资金分别为 a 万元和 b 万元,依题意,得

?a ? 2b ? 230 ? ?2a ? b ? 205

?a ? 60 解得 ? ?b ? 85

答:改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元; (2)设今年改造 A 类学校 x 所,则改造 B 类学校为(6-x)所,得

?(60 ? 10) x ? (85 ? 15)(6 ? x) ? 400 ? ?10 x ? 15(6 ? x) ? 70
解得 1 ? x ? 4 ∵ x 为正整数 ∴ x=1,2,3,4 ∴ 共有如下 4 种方案:
A 类学校(所) 方案一 方案二 方案三 方案四 1 2 3 4 B 类学校(所) 5 4 3 2

15、(12 分)在中央电视台第 2 套《购物街》栏目中,有一个精彩刺激的游戏——幸运大转盘,其规则如下:

5

①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘,转盘按圆心角均匀划分为 20 等分,并在其边缘标记 5、10、15、?、 100 共 20 个 5 的整数倍数,游戏时,选手可旋转转盘,待转盘停止时,指针所指的数即为本次游戏的得分; ②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次,若只旋转一次,则以该次得分为本轮游戏的得 分,若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分; ③若某选手游戏得分超过 100 分,则称为“爆掉”,该选手本轮游戏裁定为“输”,在得分不超过 100 分的情况下, 分数高者裁定为“赢”; ④遇到相同得分的情况,相同得分的选手重新游戏,直到分出输赢。 现有甲、乙两位选手进行游戏,请解答以下问题: (1)甲已旋转转盘一次,得分 65 分,他选择再旋转一次,求他本轮游戏不被“爆掉”的概率。 (2)若甲一轮游戏最终得分为 90 分,乙第一次旋转转盘得分为 85 分,则乙还有可能赢吗?赢的概率是多少 (3)若甲、乙两人交替进行游戏,现各旋转一次后甲得 85 分,乙得 65 分,你认为甲是否应选择旋转第二次?说明你 的理由。 解:(1)甲可取 5、10、15、20、25、30、35

(不爆掉) ? ∴ P
(2)乙有可能赢 乙可取 5、10、15

7 20

P (乙赢) ?

3 20 3 20

(3)甲选择不转第二次

(乙赢) ? 理由是:甲选择不转第二次,乙必须选择旋转第二次,此时 P (甲爆掉) ? ∴ 乙获胜的可能性较小或“甲若选择转第二次, P
∴ 甲输而乙获胜的可能性较大(叙述的理由合理即可)

17 20

16、(13 分)已知点 A、B 分别是 x 轴、y 轴上的动点,点 C、D 是某个函数图象上的点,当四边形 ABCD(A、B、C、 D 各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形。 例如:在图 1 中,正方形 ABCD 是一次函数 y ? x ? 1 图象的其中一个“伴侣正方形”。 (1)如图 1,若某函数是一次函数 y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长 (2)如图 2,若某函数是反比例函数 y ?

k (k>0),它的图象的“伴侣正方形”为 ABCD,点 D(2,m)(m<2) x

在反比例函数图象上,求 m 的值及反比例函数的解析式;

6

解:(1)如图 1,当点 A 在 x 轴正半轴,点 B 在 y 轴负半轴上时 ∵ OC=0D=1 ∴ 正方形 ABCD 的边长 CD ? 2 ∵ 当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时 ∴ 设正方形的边长为 a ∴ 3a ? CD ? ∴ a?

2

2 3 2 3 2 3

∴ 正方形边长为

∴ 一次函数 y=x+1 图象的伴侣正方形的边长为 2 或 (2)如图 2,作 DE⊥x 轴于 E,CF⊥y 轴于 F ∵ AB=AD=BC,∠DAE=∠OBA=∠FCB ∴ △ADE≌△BAO≌△CBF ∵ m?2 ∴ DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2-m ∴ OF=BF+OB=2 ∴ C 点坐标为(2-m,2) ∵ D(2,m),C(2-m,2)

k ? m ?   ① ? ? 2 ∴ ? ?2 ? k   ② ? 2?m ?
∴ 由①,得 k ? 2 m ③ 把③代入②,得 2m ? 2(2 ? m) ∴ m ? 1, k ? 2 ∴ 反比例函数的解析式为 y ?

2 x

17、(15 分)如图,矩形 OABC 中,A(6,0)、C(0, 2 3 )、D(0, 3 3 ),射线 l 过点 D 且与 x 轴平行,点 P、 Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°

7

(1)①点 B 的坐标是__________; ;②∠CAO=__________度;③当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标为__________; (直接写出答案) (2)设 OA 的中心为 N,PQ 与线段 AC 相交于点 M,是否存在点 P,使△AMN 为等腰三角形?若存在,请直接写出 点 P 的横坐标为 m;若不存在,请说明理由。 (3)设点 P 的横坐标为 x,△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S,试求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量 x 的取值范围。 解:(1)①∵ 四边形 OABC 是矩形 ∴ AB=OC,OA=BC ∵ A(6,0)、C(0, 2 3 ) ∴ 点 B 的坐标为(6, 2 3 )

②∵ tan?CAO ? ∴ ∠CAO=30°

OC 2 3 3 ? ? OA 6 2

③如下图:当点 Q 与点 A 重合时,过点 P 作 PE⊥OA 于 E

∵ ∠PQO=60°,D(0, 3 3 ) ∴ PE=3 ∴ AE ?

PE ?3 tan 60?

∴ OE=OA-AE=6-3=3 ∴ 点 P 的坐标为(3, 3 3 ) (2)情况①:MN=AN=3,则 ∠AMN=∠MAN=30°

8

∴ ∵ 即 ∴ ∴ ∴

∠MNO=60° ∠PQO=60° ∠MQO=60° 点 N 与 Q 重合 点 P 与 D 重合 此时 m=0

情况②,如图 AM=AN,作 MJ⊥x 轴于 J、PI⊥x 轴于 I

MJ ? MQ ? sin60? ? (OA ? IQ ? OI ) ? sin 60? ? 3 1 1 3 (3 ? m) ? AM ? AN ? 2 2 2 2

可得

3 3 (3 ? m) ? 2 2

解得 m ? 3 ? 3 情况③AM=NM,此时 M 的横坐标是 4.5,过点 P 作 PK⊥OA 于 K,过点 M 作 MG⊥OA 于 G

∴ MG ?

3 2
MG 1 PK 3 3 ? ? ? 3 , GQ ? tan 60? 2 tan 60? 3
1 AN ? 1.5 2
9

∴ QK ?

∴ KG ? 3 ? 0.5 ? 2.5 , AG ?

∴ OK=2 ∴m ? 2 (3)当 0≤x≤3 时 如图,OI=x,IQ=PI?tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x 由题意可知,直线 l∥BC∥OA 可得

EF PE DC 3 1 ? ? ? ? OQ PO DO 3 3 3
1 EF ? (3 ? x ) 3



此时重叠部分是梯形,其面积为: S梯形 ?

1 4 3 ( EF ? OQ) ? OC ? (3 ? x) 2 3

当 3<x≤5 时, S ? S梯形 ? S?HAQ ? S梯形 ?

1 4 3 3 AH ? AQ ? (3 ? x) ? ( x ? 3) 2 2 3 2

当 5<x≤9 时

∵ BC∥PD ∴ △OCE∽△OPD ∴ CE:PD=2:3 ∴ CE ?

2 x 3
10

∴ BE ? BC ? CE ? 6 ? ∴ S?

2 x 3

1 2 ( BE ? OA) ? OC ? 3(12 ? x) 2 3

当 x>9 时, S ?

1 54 3 OA ? AH ? 2 x

答案:1-6BDAACB, 7,0 或-6; 8、2 9、30 10、

15 - 5 3 2

11


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