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2.4.3向量平行的坐标表示 课件(北师大版必修4)


课堂讲义

第二章

平面向量

4.3

向量平行的坐标表示

预习导学

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第二章

平面向量

[学习目标] 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共 线. 3.掌握三点共线的判断方法.

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第二章

平面向量

[知识链接] 1.向量共线定理是什么? 答 a 与 非零向量 b 为共线向量,当且仅当 有唯一一个实数λ使得a=λb.

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第二章

平面向量

2.如果两个非零向量共线,你能通过它们的 坐标判断它们同向还是反向吗? 答 当 两个向量的对应坐标同号或同为零 时,同向;当两个向量的对应坐标异号或 同为零时,反向.例如,向量 (1,2) 与 ( - 1 , -2)反向;向量 (1,0)与(3,0)同向;向量 (- 1,2)与(-3,6)同向;向量(-1,0)与(3,0)反 向等.
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第二章

平面向量

[预习导引] 1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有 x1y2-x2y1=0 . x1 y1 (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时, 有x =y .即两向量的相应坐标成比例. 2 2

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第二章

平面向量

→ → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈ (0,a+∞) 时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈ (-∞,-1) 时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈ (-1,0) 时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.

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第二章

平面向量

要点一 向量共线的判定 例1 → → 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是

否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反? → 解 AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3). → CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).

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第二章

平面向量

法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0, → → 且(-2)×4<0,∴AB与CD共线且方向相反. → → 法二 ∵CD=-2AB, → → ∴AB与CD共线且方向相反.

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第二章

平面向量

规律方法 此类题目应充分利用向量共线定理或 向量共线坐标的条件进行判断,特别是利用向量 共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的 搭配.

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跟踪演练 1

第二章

平面向量

已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、

→ 1→ → 1→ → → (1,2),并且AE= AC,BF= BC,求证:EF∥AB. 3 3 证明 设点 E、F 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).依题意有,

→ → → AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1).
? 1 2? 1 → 1→ ∵AE= AC,∴(x1+1,y1)= (2,2),∴点 E 的坐标为?-3,3?. 3 3 ? ? ?7 ? ? 2? 2? 8 → ?8 同理点 F 的坐标为?3,0?.∴EF=?3,-3?.又3×(-1)-4×?-3? ? ? ? ? ? ?

→ → =0,∴EF∥AB.
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第二章

平面向量

要点二 利用向量共线求参数 例 2 已 知 a = (1,2) , b = ( - 3,2) ,当 k 为何值时, ka + b 与 a - 3b 平行?平行时它们是同向还是 反向? 解 法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k +2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ, 使ka+b=λ(a-3b), 即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),

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? ?k-3=10λ, ∴? ? ?2k+2=-4λ,

第二章

平面向量

1 解得 k=λ=- . 3

1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行, 1 1 这时 ka+b=-3(a-3b)=-3a+b. 1 ∵λ=-3<0, ∴ka+b 与 a-3b 反向.

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法二

第二章

平面向量

由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).

∵ka+b 与 a-3b 平行, ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 1 解得 k=-3. 此时
? 1 ? 2 1 ka+b=?-3-3,-3+2?=- (a-3b). 3 ? ?

1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向.

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第二章

平面向量

规律方法 由向量共线求参数的值的方法

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第二章

平面向量

→ → → 跟踪演练 2 设向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),当 k 为何值时,A,B,C 三点共线? → → 解 法一 若 A,B,C 三点共线,则AB,AC共线, → → 则存在实数 λ,使得AB=λAC. → → → ∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → AC=OC-OA=(10-k,k-12), ∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),
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? ?4-k=λ?10-k?, ∴? ? ?-7=λ?k-12?,

第二章

平面向量

解得 k=-2 或 k=11.

故当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线 法二 → → 若 A,B,C 三点共线,则AB,AC共线.

→ → → ∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → AC=OC-OA=(10-k,k-12), ∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0, ∴k2-9k-22=0,解得 k=-2,或 k=11. 故当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线.
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要点三 例3 向量共线的综合应用

第二章

平面向量

如图所示,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 和 OB

交点 P 的坐标. 解 → → 法一 设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),

→ → → 则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), → → → AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6). → → 由AP,AC共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
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3 → 解得 t=4.∴OP=(4t,4t)=(3,3). ∴P 点坐标为(3,3). 法二

第二章

平面向量

→ → 设 P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).

→ → ∵OP,OB共线, ∴4x-4y=0.① → → 又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),

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第二章

平面向量

→ → 且向量CP、CA共线, ∴-6(x-2)+2(6-y)=0.② 解①②组成的方程组,得 x=3,y=3, ∴点 P 的坐标为(3,3).

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第二章

平面向量

规律方法 求解直线或线段的交点问题,常规方 法为写出直线或线段对应的直线方程,建立方程 组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条 件可减少运算量,且思路简单明快.

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第二章

平面向量

跟踪演练 3 如图,在?OABP 中,过点 P 的直线与线段 OA、OB 分别相交于点 → → → → M、N,若OM=xOA,ON=yOB(0<x<1). (1)求 y=f(x)的解析式; 1 (2)令 F(x)= +x,判断 F(x)的单调性, f?x? 并给出你的证明.

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第二章

平面向量



→ → → → → → → → → (1)OP=AB=OB-OA,则NM=OM-ON=xOA-yOB,

→ → → → → → MP=OP-OM=(OB-OA)-xOA → → =-(1+x)OA+OB → → 又NM∥MP,有 x-y(1+x)=0, x 即 f(x)= (0<x<1); x+1

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第二章

平面向量

x+1 1 (2)由(1)得 F(x)= x +x=x+x +1(0<x<1), 设 0<x1<x2<1, 则
? ? ? ? 1 1 F(x1)-F(x2)=?x1+x +1?-?x2+x +1? ? ? ? ? 1 2

?1 1? =(x1-x2)+?x -x ? ? 1 2? ? x1x2-1 1 ? ? ? =(x1-x2) 1-x x =(x1-x2) x x , ? 1 2? 1 2

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第二章

平面向量

由0<x1<x2<1,得x1-x2<0,x1x2-1<0, x1x2>0, 得F(x1)-F(x2)>0, 即F(x1)>F(x2). ∴F(x)在(0,1)上为减函数.

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第二章

平面向量

再见
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