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高中数学必修1综合检测一(人教A版)


必修 1 综合检测一 时间:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,

2,3,4} 解析:∵A∩B={1,2},∴(A∩B)∪C={1,2,3,4}. 答案:D

)

图1 2.如图 1 所示,U 表示全集,用 A,B 表示阴影部分正确的是( A.A∪B B.(?UA)∪(?UB)

)

C.A∩B D.(?UA)∩(?UB) 解析:由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(?UA)∩(?UB). 答案:D 3.若 f(x)=1-2x,g(f(x))=(x≠0),则 g 的值为( ) A.1 B.3 C.15 D.30 解析:g(1-2x)=,令=1-2x,则 x=,∴g==15,故选 C. 答案:C 4.设函数 f(x)=则使得 f(-1)+f(m-1)=1 成立的 m 的值为( ) A.10 B.0,-2 C.0,-2,10 D.1,-1,11 解析: 因为 x<1 时, f(x)=(x+1)2, 所以 f(-1)=0.当 m-1<1, 即 m<2 时, f(m-1)=m2=1, m=±1.当 m-1≥1,即 m≥2 时,f(m-1)=4-=1,所以 m=11. 答案:D 5.若 x=6 是不等式 loga(x2-2x-15)>loga(x+13)的一个解,则该不等式的解集为( ) A.(-4,7) B.(5,7) C.(-4,-3)∪(5,7) D.(-∞,-4)∪(5,+∞) 解析:将 x=6 代入不等式,得 loga9>loga19,所以 a∈(0,1).则解得 x∈(-4,-3)∪(5,7). 答案:C 6.若函数 f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最大值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 解析:2x+1 在(-∞,+∞)上递增,且 2x+1>0, ∴在(-∞,+∞)上递减且无最小值. 答案:A 7.方程()x=|log3x|的解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 图2 在平面坐标系中, 画出函数 y1=()x 和 y2=|log3x|的图象, 如图 2 所示, 可知方程有两个解. 答案:C 8.下列各式中,正确的是( ) 解析:函数 y=在(-∞,0)上是减函数,而-<-,∴>,故 A 错; 函数 y=在(-∞,+∞)上是增函数,而->-,∴ >,故 B 错,同理 D 错. 答案:C 9.生物学指出:生态系统在输入一个营养级的能量中,大约 10%的能量能够流到下一个营 养级,在 H1→H2→H3 这个食物链中,若能使 H3 获得 10 kJ 的能量,则需 H1 提供的能量为 ( ) A.105 kJ B.104 kJ C.103 kJ D.102 kJ

解析:H12=10,∴H1=103. 答案:C 10.如图 3 所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数(0≤h≤H),则该函数的图象是如下图所示 的( ) 图3 解析:当 h=时,对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半,且随着 h 的增大,S 随之 减小,故排除 A,B,D. 答案:C 11.函数 f(x)在(-1,1)上是奇函数,且在(-1,1)上是减函数,若 f(1-m)+f(-m)<0,则 m 的 取值范围是( ) A.(0,) B.(-1,1) C.(-1,) D.(-1,0)∪(1,) 解析:f(1-m)<-f(-m), ∵f(x)在(-1,1)上是奇函数,∴f(1-m)<f(m),∴1>1-m>m>-1, 解得 0<m<,即 m∈(0,). 答案:A 12.(2009·山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=,则 f(2009)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:由题意可得:x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),从而 f(x-1)=f(x-2)-f(x-3). 两式相加得 f(x)=-f(x-3),f(x-6)=f[(x-3)-3]=-f(x-3)=f(x), ∴f(2009)=f(2003)=f(1997)=…=f(5)=f(-1)=log22=1. 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.的值是________. 解析:==. 答案: 14.若函数 y=的定义域为 R,则实数 k 的取值范围为__________. 解析:kx2+4kx+3 恒不为零.若 k=0,符合题意,k≠0,Δ <0,也符合题意.所以 0≤k<. 答案: 15. 已知全集 U={x|x∈R}, 集合 A={x|x≤1 或 x≥3}, 集合 B={x|k<x<k+1, k∈R}, 且(?UA) ∩B=?,则实数 k 的取值范围是________. 解析:?UA={x|1<x<3},又(?UA)∩B=?, ∴k+1≤1 或 k≥3, ∴k≤0 或 k≥3. 答案:(-∞,0]∪[3,+∞) 16. 麋鹿是国家一级保护动物, 位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区 成立于 1986 年,第一年(即 1986 年)只有麋鹿 100 头,由于科学的人工培育,这种当初快要 灭绝的动物只数 y(只)与时间 x(年)的关系可近似地由关系式 y=alog2(x+1)给出,则到 2016 年时,预测麋鹿的只数约为________. 解析:当 x=1 时,y=alog22=a=100,∴y=100log2(x+1),

∵2016-1986+1=31,即 2016 年为第 31 年, ∴y=100log2(31+1)=500, ∴2016 年麋鹿的只数约为 500. 答案:500 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17.(10 分)设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中 x∈R,如果 A∩B= B,求实数 a 的取值范围. 解:A={0,-4},又 A∩B=B,∵B?A. ∴B=?或 B={0}或 B={-4}或 B={0,-4}. (1)若 B=?,则 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的Δ <0,于是:4[(a+1)2-(a2-1)]<0,∴a<-1. (2)若 B={0},则解之得 a=-1. (3)若 B={-4}时,则 解之得 a∈?. (4)若 B={0,-4},则解之得 a=1. 综上所述:a≤-1 或 a=1. 18.(12 分)设函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3 和 2. (1)求 f(x); (2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f(x)的值域. 解:(1)∵f(x)的两个零点分别是-3 和 2. ∴函数图象过点(-3,0),(2,0), ∴有 9a-3(b-8)-a-ab=0① 4a+2(b-8)-a-ab=0② ①-②得 b=a+8③ ③代入②得 4a+2a-a-a(a+8)=0, 即 a2+3a=0. ∵a≠0,∴a=-3,∴b=a+8=5. ∴f(x)=-3x2-3x+18. (2)由(1)得 f(x)=-3x2-3x+18=-3(x+)2++18, 图象的对称轴方程是 x=-, 且 0≤x≤1, ∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18, ∴函数 f(x)的值域是[12,18]. 19.(12 分)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,-∞)上是单调增函数. (1)求证:函数 f(x)在区间(-∞,0]上是单调减函数; (2)若 f(1)<f(lgx),求 x 的取值范围. 解:(1)证明:设 x1<x2≤0,则-x1>-x2≥0, 因为 f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数, ∴f(-x1)>f(-x2), 又因为 f(x)是偶函数, 所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2), f(x1)>f(x2), ∴函数 f(x)在区间(-∞,0]上是单调减函数. (2)当 0<x≤1 时,lgx≤0, 由 f(1)<f(lgx)得 f(-1)<f(lgx),函数 f(x)在区间(-∞,0]上时单调减函数, ∴-1>lgx,0<x<, 当 x≥1 时,lgx≥0,

由 f(1)<f(lgx),f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数, ∴lgx>1,x>10, 综上所述,x 的取值范围是∪(10,+∞). 20.(12 分)已知函数 y=g(x)与 f(x)=loga(x+1)(a>1)的图象关于原点对称. (1)写出 y=g(x)的解析式; (2)若函数 F(x)=f(x)+g(x)+m 为奇函数,试确定实数 m 的值; (3)当 x∈[0,1)时,总有 f(x)+g(x)≥n 成立,求实数 n 的取值范围. 解:(1)设 M(x,y)是函数 y=g(x)图象上任意一点,则 M(x,y)关于原点的对称点为 N(-x, -y), N 在函数 f(x)=loga(x+1)的图象上,∴-y=loga(-x+1), ∴y=-loga(1-x). (2)∵F(x)=loga(x+1)-loga(1-x)+m 为奇函数. ∴F(-x)=-F(x) ∴loga(1-x)-loga(1+x)+m =-loga(1+x)+loga(1-x)-m ∴2m=loga+loga=loga1=0, ∴m=0. (3)由 f(x)+g(x)≥n 得,loga≥n, 设 Q(x)=loga,x∈[0,1), 由题意知,只要 Q(x)min≥n 即可, ∵Q(x)=loga(-1+)在[0,1)上是增函数, ∴Q(x)min=Q(0)=0.即 n≤0 即为所求. 21.(12 分)某 DVD 光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为 300 元,每张 DVD 光盘 的进价是 6 元,销售单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价(元) 7 8 9 10 11 12 13 日均销售量(张) 480 440 400 360 320 280 240 (1)请根据以上数据作出分析,写出日均销售量 P(x)(张)关于销售单价 x(元)的函数关系式,并 写出其定义域;

(2)问这个销售部销售的 DVD 光盘销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大?最大销售 利润是多少? 解:(1)根据图表,销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 张, ∴P(x)=480-40(x-7)=-40x+760, 由 x>0 且-40x+760>0,得 0<x<19, ∴P(x)关于 x 的函数关系式为 P(x)=-40x+760(0<x<19). (2)设日均销售利润为 y 元,于是可得 y=(-40x+760)(x-6)-300 =-40x2+1000x-4860 =-40(x-)2+1390, 当 x=12.5 时,y 有最大值,最大值为 1390. 答:只需将销售单价定为 12.5 元,就可使日均销售利润最大,最大为 1390 元. 22.(12 分)已知函数 f(x)=lg(4-k·2x)(其中 k 为实数), (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在(-∞,2]上有意义,试求实数 k 的取值范围. 解:(1)由题意可知:4-k·2x>0,即解不等式:k·2x<4, ①当 k≤0 时,不等式的解为 R, ②当 k>0 时,不等式的解为 x<log2,所以当 k≤0 时,f(x)的定义域为 R; 当 k>0 时,f(x)的定义域为(-∞,log2). (2)由题意可知:对任意 x∈(-∞,2],不等式 4-k·2x>0 恒成立.得 k<,设 u=, 又 x∈(-∞,2],u=的最小值 1.所以符合题意的实数 k 的范围是(-∞,1).


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