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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学文试题


华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(文科)
命题人:汪 萍 高显政 审题人:殷希群




2015.5.25

本试卷共 4 页,共三大题 22 小题。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸 上无效。 4.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 a 是实数,且 A.1

a 1? i 是实数,则 a ? ? 1? i 2
B.

1 2

C.

3 2

D.2

2.已知集合 M ? {x | x 2 ? 5x ? 0}, N ? {x | p ? x ? 6} , M ? N ? {x | 2 ? x ? q} ,则 p ? q 等于 A.6 3.下列说法中不正确 的是 ...
2 A.若命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;

B.7

C.8

D.9

B.存在无数个 ? , ? ? R ,使得等式 sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? 成立; C.命题“在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆否命题是真命题; D. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的必要不充分条件. 4.在等比数列 {an } 中,公比 q ? 1, a1 ? am ? 17, a2 am?1 ? 16 ,且前 m 项和 Sm ? 31 , 则项数 m 等于 A.4

B.5

C.6

D.7

·1 ·

5.已知函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的图像的一个对称中心是 ( ,0) ,则函数 3
2 g ( x) ? ? s i n xc o s x?s i n x 的图像的一条对称轴是

?

A. x ?

5? 6

B. x ?

4? 3

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
3

6.已知直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 与圆 O : x2 ? y 2 ? 25 交于 A 、 B 两点,点 C 在圆 O 上,且

S?ABC ? 8 ,则满足条件的点 C 的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 7.已知某几何体的三视图如图所示,当 xy 取得最大值时, 该几何体的体积为 A. 2 7 C. 8 7 B. 4 7 D. 16 7
俯视图 10

D. 4 个
x

正视图 y
2 7

侧视图

?y ? 1 ? 8.在平面直角坐标系 xOy 中,点 M(x, y) 的坐标满足不等式组 ? y ? 2 x ? 1,已知 N (1,?1) , ?x ? y ? m ?
且 ON ? OM 的最小值为 ?1 ,则实数 m ? A. 0 B. 2 C. 5 D. 6

9.已知集合 M ? {( x, y ) | y ? f ( x)} ,若对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M ,都存在 ( x2 , y2 ) ?M ,使得 .给出下列四个集合: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” 1 ① M ? {( x, y) | y ? } ; ② M ? {( x, y) | y ? log2 x} ;③ M ? {( x, y) | y ? e x ? 2} ; x ④ M ? {( x, y) | y ? sin x ? 1} ,其中是“垂直对点集”的序号是 A.①④ B.②③ C.③④ D.②④

10.已知函数 f ( x) 满足 x 2 f ?( x) ? 2 xf ( x) ? A.有极大值,无极小值 C.既有极大值,也有极小值

ex e2 , f ( 2) ? ,则当 x ? 0 时, f ( x) x 8
B.有极小值,无极大值 D.既无极大值,也无极小值

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答 错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11.要从已编号 1~360 的 360 件产品中随机抽取 30 件进行检验,用系统抽样的方法抽出样本. 若在抽出的样本中有一个编号为 105,则在抽出的样本中最小的编号为__________.

·2 ·

12. 已知 a, b 是两个单位向量,且 a ? b ? ?

1 ,向量 c 与 a ? b 共线,则 a ? c 的最小值为_______. 2
开始

13.若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ?29 ,则判断框中的整数 k 的值是______.

n ?1 S ?1
n? k?





S ? 2S ? 3

输出 S
n ? n ?1
结束

14.在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M ,则满足 ?AMB ? 90? 的概率为________.

?ln x, x ? 0 15.已知 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是__________. ?? ln(? x), x ? 0
16.已知 F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,抛物线的准线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2 两条渐近线分别交于 A 、 B 两点.若 ?AFB 为直角三角形,则双曲线的离心率为__________.

?a a ? b 17.已知 f ( x) ? min{2 x ,| x ? 2 |} ,其中 min{a, b} ? ? ,若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) ?b a ? b

的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 . (1) m 的取值范围是________; (2)当 x1 x2 x3 取最大值时, m =_________. 三、解答题:本大题 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c,且 A,B,C 成等差数列.

3 (1)若 CB ? BA ? ? , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2 sin A ? sin C 的取值范围.
19. (本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前五项和 S5 ? 20 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 { 取值范围.
·3 ·

1 } 的前 n 项和,若存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立.求实数 ? 的 an an ?1

20. (本小题满分 13 分) 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB 是等边三角形, PA ? AC , PB ? BC . (1)证明: AB ? PC ; (2)若 PC ? 2 ,且平面 PAC ? 平面 PBC ,求三棱锥 P ? ABC 的体积. P

B

A 21. (本小题满分 14 分) e 已知函数 f ( x) ? ? ln x , g ( x) ? e x?1 ? a ? ln x ,其中 e ? 2.71828 ?? , a ? R . x (1)求 f ( x) 的零点; (2)求 g ( x) 的极值; (3)如果 s , t , r 满足 | s ? r |?| t ? r | ,那么称 s 比 t 更靠近 r . 当 a ? 2 且 x ? 1 时,试比较

C

e 和 e x?1 ? a 哪个更靠近 ln x ,并说明理由. x

22. (本小题满分 14 分) x2 y 2 3 已知椭圆: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的一个焦点为 F (1,0) ,且过点 (?1, ) ,右顶点为 A ,经 a b 2 B , C 过点 F 的动直线 l 与椭圆交于 两点. (1)求椭圆方程; (2)记 ?AOB 和 ?AOC 的面积分别为 S1和S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值; (3)在 x 轴上是否存在一点 T ,使得点 B 关于 x 轴的对称点落在直线 TC 上?若存在,则 求出 T 点坐标;若不存在,请说明理由. y

B o
F

A

x

C

·4 ·

华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(文)
华 中 师 大 一 附 中 2015.5

答案及评分标准
高 三 年 级 数 学 组 提 供

一、选择题 二、填空题
11. 9 12.

1-5 ABDBD

6-10

CDCCD

3 2

13. 5

14. 1 -

? 8

15. ?? 1,0? ? ?1,???

16.

5

17 . 0,2 3 ? 2 ;

?

?

2

三、解答题
18.解: (1)∵A,B,C 成等差数列,∴ B ?

?

3 3 ,又∵ CB ? BA ? ? ,∴ BA ? BC ? , 3 2 2

3 1 3 ∴ ac cos B ? ,∴ ac ? ,即 ac ? 3 2 2 2
∵ b ? 3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,∴ a 2 ? c 2 ? ac ? 3 ,即 (a ? c) 2 ? 3ac ? 3 ∴ (a ? c) 2 ? 12 , a ? c ? 2 3 ??????????????????6 分

2? 3 1 (2) 2 sin A ? sinC ? 2 sin( ? C ) ? sinC ? 2( cos C ? sinC ) ? sinC ? 3 cos C 3 2 2 3 2? , 3) ,∴ 3 cos C ? (? 2 3 3 , 3) . ∴ 2 sin A ? sin C 的取值范围是 (? 2

∵0?C ?

???????????12 分

5? 4 ? d ? 20 ?5a1 ? 2 19.解: (1)设 {an } 的公差为 d ,由已知得 ? ?( a ? 2 d ) 2 ? a ( a ? 6 d ) 1 1 ? 1

? ?d ? 1 ?a1 ? 2d ? 4 即? 2 , d ? 0,? ? ,故 an ? n ? 1(n ? N * ) a ? 2 2 d ? a d ? ? 1 1 ?
·5 ·

??????????5 分

(2)

1 1 1 1 ? ? ? an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 ?Tn ? ? ? ? ? 2 3 3 4
?

?

1 1 ? n ?1 n ? 2
??????????????????7 分

1 1 n ? ? 2 n ? 2 2(n ? 2)

∵存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立 ∴存在 n ? N * ,使得

n ? ? (n ? 2) ? 0 成立 2(n ? 2)
??????????????????9 分

即? ?

n 有解 2( n ? 2) 2 n }max 2(n ? 2) 2

?? ? {



n 1 1 ? ? , n ? 2 时取等号 2(n ? 2)2 2(n ? 4 ? 4) 16 n

?? ?

1 . 16

??????????????????12 分 P

20.解: (1)在 Rt ?PAC和Rt ?PBC 中

AC ? PC 2 ? PA2 , BC ? PC 2 ? PB2
PA ? PB,? AC ? BC

B M

D

取 AB 中点 M ,连结 PM , CM ,则 AB ? PM , AB ? MC A ? AB ? 平面 PMC ,而 PC ? 平面 PMC ? AB ? PC ??????????????????6 分 (2)在平面 PAC 内作 AD ? PC ,垂足为 D ,连结 BD ∵平面 PAC ? 平面 PBC ,? AD ? 平面 PBC ,又 BD ? 平面 PBC

C

?AD ? BD ,又 Rt ?PAC ? RtPBC ? AD ? BD,??ABD 为等腰直角三角形
设 AB ? PA ? PB ? a ,则 AD ?

????????????????9 分

2 a 2

2 在 Rt ?PAC 中:由 PA ? AC ? PC ? AD 得 a ? 4 ? a ? 2 ?

2 a ,解得 a ? 2 2

??????????????????11 分
·6 ·

? S ?ABD ?

? VP ? ABC

1 1 AD ? BD ? ( 2 2 1 ? S ?ABD ? PC ? 3

2 2 1 a) ? 2 2 1 1 1 ? ?2 ? . 3 2 3

????????????????13 分

21.解: (1)? f ( x) ?

e e 1 ? ln x ,∴ f ' ( x) ? ? 2 ? ? 0 , x x x ∴ f ( x) 在 (0,??) 上是减函数,又 f (e) ? 0 ∴当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ( x) ? 0 . ∴ x ? e 是 f ( x) 的唯一零点. ?????????????????3 分 1 1 , g"( x) ? e x?1 ? 2 ? 0 x x ∴ g ' ( x) 在 (0,??) 上为增函数,又 g ' (1) ? 0 , ∴ x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递减,当 x ? (1,?? ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递增
∴ x ? 1 为 g ( x) 的极小值点,极小值为 g (1) ? a ? 1 , g ( x) 无极大值. ???????????????6 分

(2)∵ g ( x) ? e x?1 ? a ? ln x ,∴ g ' ( x) ? e x?1 ?

(3)当 1 ? x ? e 时, | f ( x) | ? | g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? 设 m( x) ?

e ? e x?1 ? a x

e e ? e x?1 ? a ,则 m' ( x) ? ? 2 ? e x?1 ? 0 ,∴ m( x) 在 [1,?? ) 上为减函数 x x ∴ m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a ,∵ a ? 2 ,∴ m( x) ? 0 ,
∴ | f ( x) |?| g ( x) | , ∴

e x ?1 比 e ? a 更靠近 ln x x

?????????????9 分

e 当 x ? e 时, | f ( x) | ? | g ( x) |? ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? 2 ln x ? e x?1 ? a ? 2 ln x ? e x?1 ? a x
设 n( x) ? 2 ln x ? e x?1 ? a ,则 n' ( x) ?

2 2 ? e x?1 , n"( x) ? ? 2 ? e x?1 ? 0 x x

∴ n ?( x ) 在 (e,??) 上为减函数,∴ n ?( x) ? n ?(e) ? 2 ? e e ?1 ? 0 , e ∴ n( x) 在 (e,??) 上为减函数,∴ n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 ,∴ | f ( x) |?| g ( x) | ∴

e 比 e x?1 ? a 更靠近 ln x x

???????????????12 分

综上,在 a ? 2 , x ? 1 时,

e 比 e x?1 ? a 更靠近 ln x . x

??????????14 分 y
B( x1 , y2 )

9 ?1 ? ? 2 ? 2 ?1 ?a ? 2 22.解: (1)由已知得 ? a ,解得 ? 4b ? ?a 2 ? b 2 ? 1 ?b ? 3 ?
·7 ·

o

A
F (1,0)

T (t ,0)

x

C ( x2 , y2 )

x2 y2 ? ?1 ???????3 分 4 3 (2)设直线 l 方程为: x ? my ? 1
∴椭圆方程为:

? x ? my ? 1 ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ),( y1 ? 0, y2 ? 0) ,则 y1 ? y2 ? ? 当 m ? 0 时,显然 S1 ? S 2 ? 0 ;
6m 当 m ? 0 时, S1 ? S 2 ? 1 ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 ? (? y 2 ) ? y1 ? y 2 ? 3m 2 ? 4 2 2

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 3m2 ? 4 3m ? 4

?

6 3m ? 4 m

?

6 2 3m ? 4 m

?

3 2

当且仅当 3 m ?

4 2 3 ,即 m ? ? 时取等号 m 3
???????????8 分

综合得 m ? ?

2 3 时, S1 ? S 2 的最大值为 3 . 3 2

(3)假设在 x 轴上存在一点 T (t ,0) 满足已知条件,则 kTB ? ?kTC 即

y1 y ? ? 2 ? y1 ( x2 ? t ) ? y2 ( x1 ? t ) ? 0 x1 ? t x2 ? t

? y1 ( m y ) ? 2 y ( m1y? 1 ? ) t ?0 2 ?1 ? t ? 2m y y? 2 y )? 0 1 y 2 ? ( 1 ? t ) (1

? 2m ?

?9 ? 6m ? (1 ? t ) ? ?0 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

整理得: (4 ? t ) ? m ? 0 ,?m 任意,? t ? 4 ﹒故存在点 T (4,0) 满足条件﹒ ??????????????????14 分

·8 ·


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