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广东实验中学2014-2015学年下学期高一年级期中考试数学试卷


广东实验中学 2014—2015 学年(下)高一级模块考试


注意事项:



本试卷分基础检测与能力检测两部分,共 4 页.满分为 150 分。考试用时 120 分钟.

1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题 卡上,并用 2B 铅笔填涂学号.

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.不等式 x 2 ? 2 x ? 5 ? 2 x 的解集是
A. {x x ? 5或x ? ?1} C. {x ? 1 ? x ? 5} B. {x x ? 5或x ? ?1} D. {x ? 1 ? x ? 5}

2.在 ??? C 中,角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c ,且 ? ?

?
6

,? ?

?
12



a ? 3 ,则 c 的值为
A. 6 B.

3 2

C. 3 3

D. 3 2

3.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin A cos C ? cos A sin C ,则 ?ABC 的形状是 A. 直角三角形 B.正三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 4. ?an ? 是等差数列, a1 与 a2 的等差中项为 1, a2 与 a3 的等差中项为 2,则公差 d ? A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D. 2

5.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且公比 q ? 1 ,若 a2 、 则公比 q ? A.

1 a3 、 a1 成等差数列, 2

1? 5 2

B.

1? 3 2

C.

1? 5 1? 5 或 2 2

D.

1? 3 1? 3 或 2 2

6.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A.

1 1 ? a b

B. ?

1 1 ?? a b

C. ?ab ? ?a 2

D. ab ? b 2

7.已知 m, n 是满足 m ? n ? 1 ,且使

1 9 ? 取得最小值的正实数.若函数 y ? x? 过点 m n

? 2 ? P ? m, n ? ,则 ? 的值为 ? 3 ?
A. 3 B. 2 C.

1 2

D. ?1 B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 .

8.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ;

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? 4 , a2 ? a4 ? 10 ,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? _____. 10.不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 3 的解集是 11.在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右成等差数列,每列中 的各数从上到下成等比数列,那么 x ? y ? z ? ______.

12.在△ABC 中, ?A、?B、?C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? 3 , ?B ? 2?A ,

cos A ?

6 ,则 b ? ______ 3

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.(本题满分 14 分)2009 年推出一款新型家用轿车,购买时费用为 14.4 万元,每年应交 付保险费、 养路费及汽油费共 0.7 万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用, 第二年 为 0.2 万元,从第三年起,每年的维修费均比上一年增加 0.2 万元. (1)设该辆轿车使用 n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费) 为 f(n),求 f(n)的表达式; (2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)?

14.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且

(a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b) sin B .
(1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 5 , c ? 7 ,求 ?ABC 的面积.

15. (本题满分 14 分)已知数列 {an } 满足:a1 ? 1 ,2an?1 ? 2an ? 1, n ? N? .数列 {bn } 的

?1? 前 n 项和为 Sn , Sn ? 9 ? ? ? ? 3?

n?2

, n ? N? .

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn , n ? N? .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 16. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a n ?

1 ,则 S n ? n ? 2n
2

.

17.设正数 a, b, c 满足

1 4 9 36 2b ? 3c ? ? ? ,则 ? a b c a?b?c a?b?c

.

18.(本题满分 14 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步 行到 C . 现有甲,乙两游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min . 在甲 出发 2 min 后,乙从 A 乘车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再匀速步行到 C . 假设缆车匀 速直线运动的速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

12 3 cos C ? . 13 5

A B

C

19.(本题满分 12 分)若有穷数列 a1 , a2 , a3 ,

, am ( m 是正整数)满足条件:

ai ? am?i ?1 (i ? 1, 2,3,
称数列”.

, m) ,则称其为“对称数列”.例如,1,2,3,2,1 和1,2,3,3,2,1 都是“对

(1)若 {bn } 是 25 项的“对称数列”,且 b13 , b14 , b15 , 比数列.求 {bn } 的所有项的和 S ; (2)若 {cn } 是 50 项的“对称数列”,且 c 26 , c 27 , c28 , 差数列.求 {cn } 的前 n 项和 S n , 1 ? n ? 50, n ? N .
?

, b25 是首项为 1,公比为 2 的等

, c50 是首项为 1,公差为 2 的等

20.(本题满分 14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

1 , 2

Sn ? n2an ? n(n ?1) ( n ? N* ).
(1) 求 a2 , a3 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项; (3)设 bn ?

5 1 * ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? ( n ? N ). 2 Sn Sn +1

广东实验中学 2014—2015 学年高一级模块考试

数学期中考参考解答
1~8 BDCDABCC; 9.

3 2 5 n ? n ; 2 2

10. [-2,1];

11. 17 ; 12. 2 6
4

13、解 (1)由题意得:每年的维修费构成一等差数列,n 年的维修总费用为

n[0 ? 0.2(n ? 1)] =0.1n2-0.1n(万元) …………3 分 2
所以 f(n)=14.4+0.7n+(0.1n2-0.1n) =0.1n2+0.6n+14.4(万元) …………6 分 (2)该辆轿车使用 n 年的年平均费用为 f ( n ) 0.1n2+0.6n+14.4 14.4 = =0.1n+0.6+ n n n ≥2

…………8 分

14.4 0.1n· +0.6=3(万元).…………12 分 n 14.4 当且仅当 0.1n= 时取等号,此时 n=12. …………13 分 n 答 这种汽车使用 12 年报废最合算.…………14 分 14 、( 1 ) 由 已 知 和 正 弦 定 理 得 : ( a + c ) ( a -c ) = b ( a - b ) …………2 分 故 a 2 - c 2 = ab - b 2 , 故 a 2 + b 2 - c 2 = ab , 故 cos C =

1 a 2 ? b2 ? c2 = , …………4 分 2 2ab

故 C=60° …………5 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 中 a 2 - c 2 = ab - b 2 , 得 25-49=5 b - b 2 , 得 b 2 -5 b- 24=0 , 解 得 b =8 或 b =-3 ( 舍 ) , 故 b =8 . …………9 分 所 以 , △ ABC 的 面 积 为 : S =

1 ab sin C = 10 3 . …………12 分 2

1 , n ? N? ,…………1 分 2 1 又 a1 ? 1 , 所 以 数 列 {an } 是 以 1 为 首 项 , 为公差的等差数列,于是 2 n ?1 ? an ? a 1) d ? , n ? N .…………3 分 1 ?( n ? 2
15、解: (1)由 2an?1 ? 2an ? 1 得 an ?1 ? an ?

?1? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 9 ? ? ? ? 3?
当 n ? 2 时, Sn?1 ? 9 ? ? ?

1? 2

? 6 , …………4 分

?1? ? 3?

n ?3



? ? 1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? n ?3 ? 2 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?9 ? ? ? ? ? ?9 ? ? ? ? ? n ? 2 ,…………6 分 ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ? 3
又 n ?1时

2 3
n?2

? 6 ? b1 ,所以 bn ?

2 3 2
n?2

, n ? N . …………7 分

?

(2)由(Ⅰ )知 an ?

n ?1 ? , bn ? n ? 2 , n ? N , 2 3
n?2

?1? 所以 cn ? an bn ? (n ? 1) ? ? ? 3? ?1? ? 3?
?1

, n ? N? .…………9 分 ?1? ? 3?
1

所以 Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 等式两边同乘以

?1? ? 3?

0

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?2

………(1)

1 得 3
1 2

1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3?
(1)-(2)得

0

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?1

………(2) …………10 分

2 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ?1? 1? ? ? 3 =6+ ? ? 1 1? 3
n ?1

?1

0

1

?1? ?? ? ? 3?

n?2

?1? ? (n+1) ? ? ? 3?

n ?1

?1? ? (n+1) ? ? ?3?

n ?1

…………12 分

45 2n ? 5 ? 1 ? 所以 Tn ? ? ? ? 4 4 ? 3?
16 、 S n ?

n?2

, n ? N? .…………14 分
13 6

3 2n ? 3 ; ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)

17、

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? .…………1 分 2 13 5
18、解:(1)∵ cos A ?

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ?? ?
根据

63 …………2 分 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m …………4 分 得 AB ? sinC sinB sinB
2 2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d, 则 d ? (130 t ) ? (100 ? 50t ) ? 2 ? 130 t ? (100 ? 50t ) ?
2

12 …………5 分 13

∴ d 2 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) ∵0 ? t ?

…………7 分

1040 即 0 ? t ? 8 …………8 分 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. …………10 分 37 37

(3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) …………11 分 ? 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴?3?

500 710 ? ? 3 …………12 分 v 50
…………13 分

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 围内…………14 分 19、(1)依题意, b13 ? 1, b14 ? 2 ,…, b25 ? b13 ? 212 ? 212 .…………2 分 则 b1 ? b25 ? 2 , b2 ? b24 ? 2 ,…, b12 ? b14 ? 2 .…………4 分
12 11

?1250 625? 范 , ? 43 14 ? ?

M

1 ? ? 212 ?1 ? ( )12 ? 2 ? ? 则 S ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? b12 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 214 ? 3 1 1? 2

……………..6 分

(2)依题意, c50 ? c26 ? 24 ? 2 ? 49 ,因为 {cn } 是 50 项的“对称数列”,所以

c1 ? c50 ? 49, c2 ? c49 ? 47, …, c25 ? c26 ? 1.
所以当 1 ? n ? 25 时, Sn ? ?n ? 50n ;…………8 分
2

当 26 ? n ? 50 时, S n ? S 25 ? (n ? 25) ?

1 ? (n ? 25)(n ? 26) ? 2 , 2

Sn ? n2 ? 50n ? 1250.…………11 分

综上, S n ? ?

??n 2 ? 50n ? 2 ? ?n ? 50n ? 1250

1 ? n ? 25,n ? N?, 26 ? n ? 50, n ? N? .
5 ; 6

……………..12 分

20、 (1)当 n ? 2 时, S2 ? 4a2 ? 2 ,解得 a2 ? 当 n ? 3 时, S3 ? 9a3 ? 6 , 解得 a3 ?

………1 分

11 ; …………………2 分 12 (2)当 n ? 2 时, Sn ? n2 ? Sn ? Sn?1 ? ? n(n ?1) ,整理得

?n

2

? 1? S n ? n 2 S n ?1 ? n(n ? 1) ,即

? n ? 1? Sn ? nSn?1 ? 1
n n ?1

…………………………5 分

所以数列 ? 所以

? n ? 1? Sn
n

? ? n ? 1? Sn ? ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列. …………………………6 分 n ? ?
? n ,即 Sn ? n2 n ?1
………………………7 分

代入 Sn ? n2an ? n(n ?1) 中可得 an ? 1 ? (3) 由(Ⅱ)得 Sn ? 当 k ? 2 时,

1 . n ? n ? 1?

…………………………8 分

n2 n?2 , bn ? 2 , n ?1 n ? n ? 1?

…………………9 分

bk ?

k ?2 k ?2 1 k ?k 1 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ……11 分 k ? k ? 1? k k (k ? 1) k k (k ? 1) k (k ? 1) ? k k ?1 ?
2

当 n ? 1 时, T1 ?

3 5 ? 成立; 2 2

………………………12 分

当 n ? 2 时,所以 Tn ?

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2 3 ? ? 3 4 ?

1 ?? 5 2 5 ?1 ?? ? ? ?? ? ? ? n n ? 1 ?? 2 n ?1 2

综上所述,命题得证.

………………………………………………………14 分


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