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2014高考数学第二轮解答题专项训练(数列)


专题升级训练

解答题专项训练(数列)

1.设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 2.已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a2 1 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数列的前 n 项和 Tn. 3.已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)在抛物线 y=x2+x 上;各项都为正 数的等比数列{bn}满足 b1b3=,b5=. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 Cn=anbn,求数列{Cn}的前 n 项和 Tn. 4.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S10,S7 成等差数列. (1)求证:a3,a9,a6 成等差数列; (2)若 a1=1,求数列{}的前 n 项的积. 5.已知数列{an}满足:a1=1,an+1= (1)求 a2,a3; (2)设 bn=a2n-2,n∈N*,求证:{bn}是等比数列,并求其通项公式; (3)在(2)的条件下,求数列{an}前 100 项中的所有偶数项的和 S. 6.已知数列{an}(n∈N*)是首项为 a,公比为 q≠0 的等比数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知 12S3,S6,S12-S6 成等比数列. (1)当公比 q 取何值时,使得 a1,2a7,3a4 成等差数列; (2)在(1)的条件下,求 Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2. 7.已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数 a1,a2,a4,a7,…构成等 差数列{bn},Sn 是{bn}的前 n 项和,且 b1=a1=1,S5=15. (1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成仅比为正数的等比数列,且公比 相等,已知 a9=16,求 a50 的值; (2)设 Tn=+…+,求 Tn.

8.设数列{an}的各项均为正数.若对任意的 n∈N*,存在 k∈N*,使得=an· an+2k 成立,则称数列{an}为 “JK 型”数列. (1)若数列{an}是“J2 型”数列,且 a2=8,a8=1,求 a2n; (2)若数列{an}既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{an}是等比数列. ## 1.解:(1)在 2Sn=an+12 -2n+1+1 中, 令 n=1,得 2S1=a2-23+1, 令 n=2,得 2S2=a3-2 +1, 解得 a2=2a1+3,a3=6a1+13. 又 2(a2+5)=a1 +a3,解得 a1=1. n+1 (2)2Sn=an+1-2 +1. 2Sn+1=an+2-2n+2+1,得 an+2=3an+1 +2n+1, 1 又 a1=1,a2=5 也满足 a2=3a 1+2 , n * ∴an+1=3 a n+2 对 n∈N 成立. n+1 ∴an+1+2 =3(an+2nn), n n n ∴an+2 =3 ,∴an=3 -2 . 2 .解:(1 )设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则 解得∴an=2n+3. (2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),
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bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1 =(n-1)·+3=n(n+ 2). ∴bn=n(n+2)(n∈N*). ∴, Tn=+ …+ = =. 3.解:(1)∵Sn=n2+n, 当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n+1. ∴an =Sn-Sn-1=3n-1(n≥2). 当 n=1 时,a1=3-1=2 满足题意. ∴数列{an}是首项为 2,公差为 3 的等差数列.∴an=3n-1. 又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足 b1b3=,b5=, ∴b2=b1q=,b1q4=, 解得 b1=,q=,∴bn=. (2)∵Cn=(3n-1)× , ∴Tn=2×+5×+…+(3n-4)× +(3n-1)× ,① ∴Tn=2×+5×+…+(3n-4)× +(3n-1)× ,② ①-②,得 Tn=1+3+…+-(3n-1)× =1+3× -(3n-1)× =-3× -(3 n-1)× . ∴Tn=5-. 4.解:(1)当 q=1 时,2S10≠S4+S7,∴q≠1. 由 2S10=S4+S7,得. ∵a1≠0,q ≠1,∴ 2q105 =q4+q7. 8 2 则 2a1q =a1q +a1q .∴2a9=a3+a6. ∴a3,a9,a6 成等差数列. (2)依题意设数列{}的前 n 项的积为 Tn, Tn=·· =13·q3·(q2)3·…·(qn-1)3=q3·(q3)2·…·(q3)n-1 =(q3)1+2+3+…+(n-1)=(q3. 又由(1)得 2q10=q4+q7, ∴2q6-q3-1=0,解得 q3=1(舍),q3=-.∴Tn=. 5.解:(1)a2=,a3=-. (2) = =, 又 b1=a2-2=-, ∴数列{bn}是等比数列,且 bn==-. (3)由(2)得 a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,…,50), S=a2+a4+…+a100=2× 50-=100-1+=99+. 6.解:(1)由题意可知,a≠0 . ①当 q=1 时,则 12S3=36a,S6=6a,S12-S6=6a, 此时不满足条件 12S3,S6,S12-S6 成等比数列; ②当 q≠1 时,则 12S3=12× ,S6=,S12-S6=, 由题意得 12× , 化简整理得(4q3+1)(3q3-1)(1-q3)(1-q6)=0, 解得 q3=-,或 q3=,或 q=-1. 当 q=-1 时,a1+3a4=-2a,2a7=2a, ∴a1+ 3a4≠2(2a7),不满足条件; 当 q3=-时,a1+3a4=a(1+3q3)=,2(2a7)=4aq6=, 即 a1+3a4=2(2a7), ∴当 q=-时,满足条件; 当 q3=时,a1+3a4=a(1+3q3)=2a,2(2a7)=4aq6=,
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∴a1+3a4≠2(2a7),从而当 q3=时,不 满足条件. 综上,当 q=-时,使得 a1,2a7,3a4 成等差数列. (2)由(1)得 na3n-2=na. ∴T n=a+2× a+3× ·a+…+(n-1)·a+na,① 则-Tn=a+2×a+3×a+…+(n-1)a+na,② ①-②得 Tn=a+a+a+a+…+a-na=a-a, 所以 Tn=a-a. 7.解:(1)∵{bn}为等差数列,设公差为 d,b1=1, S5=15, ∴S5=5+10d=15,d=1. ∴bn=1+(n-1)× 1=n. 设从第 3 行起,每行的公比都是 q,且 q>0,a9=b4q2,4q2=16,q=2, 1+2+3+…+9 =45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 而 a50=b10q4=10× 24=160. (2)∵Sn=1+2+…+n=, ∴Tn=+…+ =+…+ =2+…+ =2. 8.(1)解:由题意,得 a2,a4,a6,a8,…成等比数列,且公比 q=, 所以 a2n=a2qn-1=. (2)证明:由{an}是“J4 型”数列,得 a1,a5,a9,a13,a17,a21,…成等比数列,设公比为 t. 由{an}是“J3 型”数列,得 a1,a4,a7,a10,a13,…成等比数列,设公比为 α1; a2,a5,a8,a11,a14,…成等比数列,设公比为 α2; a3,a6,a9,a12,a15,…成等比数列,设公比为 α3; 则=t3,=t3,=t3. 所以 α1=α2=α3,不妨记 α=α1=α2=α3,且 t=. 于是 a3k-2=a1αk-1=a1()(3k-2)-1, a3k-1=a5αk-2=a1tαk-2=a1=a1()(3k-1)-1, a3k=a9αk-3=a1t2αk-3=a1=a1()3k-1, 所以 an=a1()n-1, 故{an}为等比数列.
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