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高中数学竞赛讲义


集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母 来表示; 集合中的各个对象称为元素, 用小写字母来表示, 元素 x 在集合 A 中, x 属于 A, 称 + 记为 x ? A ,否则称 x 不属于 A,记作 x ? A 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q 分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用 ? 来 表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如{有理数}, {x x ? 0} 分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 则 A 叫做 B 的子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属 于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, A ? B ? {x x ? A且x ? B}. 定义 4 并集, A ? B ? {x x ? A或x ? B}. 定义 5 补集,若 A ? I , 则C1 A ? {x x ? I , 且x ? A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集, A \ B ? {x x ? A, 且x ? B} 。 定义 7 集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作开区间 (a, b) ,集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作闭区间 [a, b] ,R 记作 (??,??). 定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); (2) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; (3) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B); (4) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B). 【证明】这里仅证(1)(3) 、 ,其余由读者自己完成。 (1) x ? A ? ( B ? C ) , x ? A , x ? B 或 x ? C , 若 则 且 所以 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 即 x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; 反之,x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 则 即 x ? A 且 x ? B 或 x ? C ,即 x ? A 且 x ? ( B ? C ) ,即 x ? A ? ( B ? C ). (3) x ? C1 A ? C1 B , x ? C1 A 或 x ? C1 B , 若 则 所以 x ? A 或 x ? B , 所以 x ? ( A ? B) , 又 x ? I ,所以 x ? C1 ( A ? B) ,即 C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B) ,反之也有 C1 ( A ? B) ? C1 A ? C1 B. 定理 2 加法原理:做一件事有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法 中有 m 2 种不同的方法,…,第 n 类办法中有 m n


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