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一元二次方程根的分布情况归纳总结


一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况 2 设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点),它们的分布情况见下面各表

表一:两根与 0 的大小比较即根的正负情况(a>0)
分 布 情 况 大 致 图 象 结 论
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

两个负根即两根都小于 0

? x1 ? 0, x2 ? 0?

两个正根即两根都大于 0

? x1 ? 0, x2 ? 0?

一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

f ?0? ? 0

表二: (两根与 k 的大小比较)(a>0)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

大 致 图 象
? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

k

k
? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

k

结 论

f ?k ? ? 0

表三: (根在区间上的分布)(a>0)
分 布 情 况 大 致 图 象
? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2 a ? ?

两根都在 ?m, n? 内

一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ? 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 内, m ? n ? p ? q (图象有两种情况,只画了一种)

结 论

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ? ? f ? p? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

函数与方程思想: (1)方程 f ( x0 )=0 有根 ? y = f ( x) 与 x 轴有交点 x0 ? 函数 y= f ( x) 有零点 x0 (2)若 y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) = g ( x) 有解 x0

根的分布练习题 例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。

例 2、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数

m 的取值范围。

例 3.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围

练习:
1.关于 x 的一元二次方程 x ?2ax ? a ? 2 ? 0 ,当 a 为何实数时: (1)有一个根大于 2,另一个根小于 2 (2)在 ?1,3? 内有且只有一解
2

2.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ?2 x ? 3 ? a. 如果 y ? f ( x) 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围
2



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