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高中数学竞赛辅导(证四点共圆)


高中数学竞赛辅导(证共圆问题) 一、利用圆的定义(找到某一点,证明四点到这一点的距离相等,则此四点共圆) 1.K 为△ABC 内任一点,在△ABC 内作三条直线,AL、BM、CN,使∠BAL=∠CAK, ∠ABM= ∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且 AL=AK,BM=BK,CN=CK,求证:K、L、M、N 四点共圆。

2.给定锐角三角形△ABC,在 BC

边上取点 A 1, A2 ( A2 位于 A1 与 C 之间) ,在 AC 边上取点 B 1, B2 ( B2 位于 B1 与 A 之间) ,在 AB 边上取点 C 1, C2 ( C2 位于 C1 与 B 之间) ,使得∠ AA1 A2 ? ?AA2 A1 ? ?BB1B2 ? ?BB2 B1 ? ?CC1C2 ? ?CC2C1 ,直线 AA1 、BB1 和 CC1 可构成一个 三角形,直线 AA2 、 BB2 和 CC2 可构成另一个三角形,直线 AA1 、 BB1 和 CC1 ,证明:这两 个三角形的六个顶点共圆。

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3.设 A1 A2 A3 A4 为圆的内接四边形, H1, H 2 , H3 , H 4 分别为 A2 A3 A4 , A3 A4 A1, A4 A1 A2 , A1 A2 A3 的垂心,求证: H1, H 2 , H3 , H 4 四点共圆。

二、利用角的关系 (1)证明四点为顶点的四边形的内对角互补,则四点共圆; (2)证明四点为顶点的丝包 线的一外角等于其内对角,则四点共圆; (3)线段同旁张等角,则四点共圆。 4.凸四边形 ABCD 中,AC ? BD,作垂足 E 关于 AB、BC、CD、DA 的对称点 P、Q、R、S,求 证:P、Q、R、S 四点共圆。

5.已知 O 是⊙O 1 、⊙O 2 、⊙O 3 的公共点,点 A、B、C 分别是⊙O 2 与⊙O 3 、⊙O 1 与⊙O 3 、 ⊙O 1 与⊙O 2 的交点,若 A、B、C 三点共线,求证:O、O 1 、O 2 、O 3 四点共圆。

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6.已知在凸五边形 ABCDE 中,?BAE ? 3? , BC ? CD ? DE, ?BCD ? ?CDE ? 1800 ? 2? ,求 证:A、B、C、D、E 五点共圆。

7.引三条直线分别平行于三角形的三边,每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的 长度,同时,对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧,证明:三 角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。

三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理 8.在锐角△ABC 中,以 BC 为直径作圆与 BC 边上的高 AD 及其延长线交于 M、N,以 AB 为 直径作圆与 AB 边上的高 CE 及其延长线交于 P、Q,求证:M、N、P、Q 四点共圆。

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9.△ABC 的内切圆分别切三边 BC、CA、AB 于点 D、E、F,点 X 是△ABC 的一个内点,△ XBC 的内切圆也在点 D 与 BC 边相切,并与 CX、XB 分别相切于点 Y、Z,证明:EFZY 是圆 内接四边形。

四、利用托勒密的逆定理(A、B、C、D 四点共圆 ? AB ? CD+BC ? DA=AC ? BD) 10.在四边形 ABCF 中,BF=AF+FC,点 D 在 BC 上,点 E 在 BA 的延长线上,且 BD=BE=AC, AF ? CD ? FC ? AE ,求证:四边形 ABCF 有外接圆。

五、证多圆过定点(多圆或动圆过定点问题,常用的方法有两种,其一,探索定点,化 归为证四点共圆;其二,作出符合题设的点,化归为证点的唯一性) 11.P 为△ABC 的边 AB 上任一点,作 PQ∥AC 交 BC 于 Q,作 PR∥BC 交 AC 于 R,证明:一 切过点 C、Q、R 的圆经过一定点。

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