tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛辅导(证四点共圆)


高中数学竞赛辅导(证共圆问题) 一、利用圆的定义(找到某一点,证明四点到这一点的距离相等,则此四点共圆) 1.K 为△ABC 内任一点,在△ABC 内作三条直线,AL、BM、CN,使∠BAL=∠CAK, ∠ABM= ∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且 AL=AK,BM=BK,CN=CK,求证:K、L、M、N 四点共圆。

2.给定锐角三角形△ABC,在 BC

边上取点 A 1, A2 ( A2 位于 A1 与 C 之间) ,在 AC 边上取点 B 1, B2 ( B2 位于 B1 与 A 之间) ,在 AB 边上取点 C 1, C2 ( C2 位于 C1 与 B 之间) ,使得∠ AA1 A2 ? ?AA2 A1 ? ?BB1B2 ? ?BB2 B1 ? ?CC1C2 ? ?CC2C1 ,直线 AA1 、BB1 和 CC1 可构成一个 三角形,直线 AA2 、 BB2 和 CC2 可构成另一个三角形,直线 AA1 、 BB1 和 CC1 ,证明:这两 个三角形的六个顶点共圆。

1

3.设 A1 A2 A3 A4 为圆的内接四边形, H1, H 2 , H3 , H 4 分别为 A2 A3 A4 , A3 A4 A1, A4 A1 A2 , A1 A2 A3 的垂心,求证: H1, H 2 , H3 , H 4 四点共圆。

二、利用角的关系 (1)证明四点为顶点的四边形的内对角互补,则四点共圆; (2)证明四点为顶点的丝包 线的一外角等于其内对角,则四点共圆; (3)线段同旁张等角,则四点共圆。 4.凸四边形 ABCD 中,AC ? BD,作垂足 E 关于 AB、BC、CD、DA 的对称点 P、Q、R、S,求 证:P、Q、R、S 四点共圆。

5.已知 O 是⊙O 1 、⊙O 2 、⊙O 3 的公共点,点 A、B、C 分别是⊙O 2 与⊙O 3 、⊙O 1 与⊙O 3 、 ⊙O 1 与⊙O 2 的交点,若 A、B、C 三点共线,求证:O、O 1 、O 2 、O 3 四点共圆。

2

6.已知在凸五边形 ABCDE 中,?BAE ? 3? , BC ? CD ? DE, ?BCD ? ?CDE ? 1800 ? 2? ,求 证:A、B、C、D、E 五点共圆。

7.引三条直线分别平行于三角形的三边,每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的 长度,同时,对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧,证明:三 角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。

三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理 8.在锐角△ABC 中,以 BC 为直径作圆与 BC 边上的高 AD 及其延长线交于 M、N,以 AB 为 直径作圆与 AB 边上的高 CE 及其延长线交于 P、Q,求证:M、N、P、Q 四点共圆。

3

9.△ABC 的内切圆分别切三边 BC、CA、AB 于点 D、E、F,点 X 是△ABC 的一个内点,△ XBC 的内切圆也在点 D 与 BC 边相切,并与 CX、XB 分别相切于点 Y、Z,证明:EFZY 是圆 内接四边形。

四、利用托勒密的逆定理(A、B、C、D 四点共圆 ? AB ? CD+BC ? DA=AC ? BD) 10.在四边形 ABCF 中,BF=AF+FC,点 D 在 BC 上,点 E 在 BA 的延长线上,且 BD=BE=AC, AF ? CD ? FC ? AE ,求证:四边形 ABCF 有外接圆。

五、证多圆过定点(多圆或动圆过定点问题,常用的方法有两种,其一,探索定点,化 归为证四点共圆;其二,作出符合题设的点,化归为证点的唯一性) 11.P 为△ABC 的边 AB 上任一点,作 PQ∥AC 交 BC 于 Q,作 PR∥BC 交 AC 于 R,证明:一 切过点 C、Q、R 的圆经过一定点。

4


推荐相关:

高中数学竞赛辅导(证四点共圆)

高中数学竞赛辅导(证共圆问题) 一、利用圆的定义(找到某一点,证明四点到这一点的距离相等,则此四点共圆) 1.K 为△ABC 内任一点,在△ABC 内作三条直线,...


高中数学竞赛平面几何讲座___四点共圆问题试题

高中数学竞赛平面几何讲座___四点共圆问题试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。第...(提示:设法证明 C,D,O1,B 四点共圆,再证 C,D,B,O2 四点共圆,从而...


高中数学竞赛平面几何基础四点共圆托勒密定理

高中数学竞赛平面几何基础四点共圆托勒密定理_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学竞赛平面几何基础四点共圆托勒密定理_学科竞赛...


高中数学四点共圆例题及答案

四点共圆. ∠AED=∠ACB,∠A=∠A, ∴△AED∽△ACB. 2 上述三种方法是证...在数学竞赛中经常看到它的影子,希望能引起我们注 意. 命题“菱形都内接于圆”...


高二数学讲义 四点共圆(一)5

高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆(一)班级 姓名 一、知识要点...OO OO 5 利用对角互补,也可证明 O,O1,O2,O3 四点共圆,请同学自证. 1...


高中数学四点共圆的题型

高中数学四点共圆的题型_数学_高中教育_教育专区。1、 2、49 、 考点:平面与...平面得证. ( 2) 利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上,得证.解答...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com