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1.3空间几何体的表面积与体积


平面图形所占平面的大小。 面积:__________________________________________。
__________。 S ? ab 1 S ? ah (2)三角形面积公式:_________。 2 (1)矩形面积公式:
3 S ? a2 正三角形面积公式:_______。 4

(3)圆面积公式:_________。 S ? ? r2
(4)圆周长公式: _________。 C ? 2? r
S?

θ 1 π ? r 2 ? rl (?为扇形圆心角) (5)扇形面积公式:___________________________。 360 2 1 S ? ah 注:扇形面积公式可以类比到三角形面积公式:_______。 2

(6)梯形面积公式:

1 S ? ( a ? b) h ______________。 2

所谓表面积,是指几何体表面的面积,也即是立体 图形的所能触摸到的面积之和。怎样理解棱柱、棱 锥、棱台的表面积?

各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.
表面积=侧面积+底面积

如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积? 几何体的侧面展开图 侧面展开图的构成 几何体表面积 一组平行四边形

2?底面积+ 侧面积
底面积+侧面积

一组三角形

一组梯形

上底面积+下底 面积+侧面积

注意:将空间图形问题转化为平面图形问题,利用平面
图形求面积的方法求立体图形的表面积。

例1、(课本P24 )已知棱长为a,各面均为等边三 角形的四面体S-ABC,求它的表面积 .

分析:四面体有四个面,由四个全等的正三角形组成。
S
a

解:先求 ?SBC的面积,过点S作 SD ? BC

交BC于点D.
A

3 a 因为SB=a, SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

B

D

C 所以: ?ABC ? 1 BC ? SD ? 1 a ? 3 a ? 3 a 2 S 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积 3a .

2

例2、下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想 象对应的几何体,并求出它的表面积。

6

8
10
正视图

10
侧视图

解:直观图 是四棱台,侧 面是四个全 等的梯形,上 下底面为不 同的正方形
S 侧高

直观图
2

? 10 - 6 ? 2 ? 8 ?? ? ? 2 17 ?cm? ? 2 ?

10 6
俯视图

S侧 ? 4S梯

?6 ? 10 ?? 2 ? 4?
2
S 表 ? S侧 ? S 底

17

? 64 17 cm2

? ?

? 64 17 ? 6 ? 6 ? 10 ?10

? 64 17 ? 136 cm2

? ?

旋转体的表面积
一般地,对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体,其底面是平面 图形(圆形),其侧面多是曲面,需要按一定规则展开成平面 图形进行面积的计算,最终得到这些几何体的表面积.

1、圆柱

底面是圆形

圆柱的侧面展开图是一个矩形

S 底 ? ?r

2

S侧 ? 2?r ? l

S圆柱 ? 2 ? S底 ? S侧 ? 2?r (r ? l )

2、圆锥 底面是圆形:

S 底 ? ?r

2

侧面展开图是一个扇形:

S侧

1 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S圆柱 ? S底 ? S侧 ? ?r (r ? l )

3、圆台
底面是圆形: S上底 ? ?r ?2

S下底 ? ?r
1

2

侧面展开图是 S 侧 ? (2?r ? ? 2?r)l 一个扇状环形: 2 ?
? ? (r ? r )l

扇环面积公式可以类比到梯形
1 面积公式: S ? (a ? b)h 2

S圆台 ? S上底 ? S下底 ? S侧 ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

圆台侧面积公式的推导
S圆台侧 1 1 ? ? 2?r ? (l ? x) ? ? 2πr ? ? x 2 2

? π[rl ? (r ? r ?) x]
r? x ? ? , r x?l



r?

x

2πr ?

2?r

l
r
代入⑴,得

r ?l ?x ? r ? r?
S圆台侧

r ?l ? ? [rl ? (r ? r ?) ] ? ?(r ? r ?)l r ? r?

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积 公式之间有什么关系? 圆柱: S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
圆台:S ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

r? ? 0

圆锥: S ? ?r (r ? l )

1、一个圆柱形锅炉的底面半径为1米,侧面展开图为正 方形,则它的表面积为多少?

2、以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋 转,所得旋转体的表面积为多少?

3、圆台的上、下底面半径分别是5cm和10cm,母线长为 10cm,则侧面展开图扇环的圆心角为多少?

?

r?

x
r

2πr ?
2?r

l

4、课本P27 练习2

空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小。 1、棱柱和圆柱的体积
高h

底面积S

柱体的体积公式: V=Sh

2、棱锥和圆锥的体积
S 高h

D
E
O

底面积S

C

A

B

1 锥体的体积公式:V ? Sh 3

3、棱台和圆台的体积

高h

1 台体的体积公式:V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么 关系?
上底扩大 上底缩小

S ? ? S V ? 1 (S ? ? S ?S ? S )h S ? ? 0 V ? 1 Sh V ? Sh 3 3
S为底面面 积,h为锥 体高
S、S’分别为 上、下底面 面积,h 为 台体高

S为底面面 积,h为柱 体高

课本P26
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g / cm3 ) 六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形, 边长为12 mm,内孔直径10 mm, 高为10 mm,问这堆螺帽 大约有多少个(?取3.14) ?

课本P29 习题1.3

第4题

解关于表面积、体积问题常用方法:
(1)分割法:一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。 (2)补体法:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补 成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外由台体的定义, 我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积.补台成锥是 常见的解决台体侧面积与体积的方法, (3)等积变换法: ①相同的几何体的体积相等:同一个几何体可以用不同的面做 底(注意:三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面);液状物体 的形状改变体积不变(比如:水在容器中形状可以多变). ②等底面积等高的两个同类几何体的体积相等,体积相等的两 个几何体叫做等积体。 (4)计算圆柱、圆锥、圆台的体积时,关键是根据条件找出 相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋转体 的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.

球的体积和表面积
设球的半径为R,则有体积公式和表面积公式:

4 3 V ? ?R 3

A

R
O

S ? 4?R

2
B

课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍. 4
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.
1: 3 4 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______.

课堂练习

5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____. 9?

3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 4 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3?

例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 2 径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 解:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
1)因为 V球 ? 4 ?R 3, V圆柱 ? ?R 2 ? 2 R ? 2 R 3
3

所以,V球 ?

2 V圆柱 3

S球 ? 4?R 2,S圆柱侧 2)因为

? 2?R ? 2 R ? 4 R 2

所以,S球 ? S圆柱侧

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm

S 侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

例题讲解
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积和体积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
略解:Rt?B1 D1 D中 : (2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得 3 R? a 2
3a 2 S球 ? 4?R ? 4?( ) ? 3?a 2 2 4 3 3 3 3 V球 ? ?( a) ? ?a
2

D A D1 A1 B

C

O
C1 B1

D
A D1 A1 B1 O B

C

C1

3

2

2

例4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 (2 R) ? a ? ( 2a) , 得:R ? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2
2 2 2

C1

C1

?a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
2 ? a2 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=——。

找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 关键:

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_________. 1: 2 2 : 3 3

作轴截面

球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离, 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度. 球心O
B

O
A

B

大圆劣弧的圆心角为α弧 度,半径为R,则弧长为

A

大圆圆弧

L=αR

球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道 上经度差为1200的两点间距离.
答案:120 0
o B A

2 ? ? 3
2 ?R 3

球面距离为d ?

题型二

旋转体的表面积及其体积

【例2】 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋
转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的

形状,再求表面积.



如图所示,

过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3R ,BC=R, CO ? 3 R, 1 2 2, ∴S球=4π R

3 3 S圆锥AO1侧 ? π? R ? 3R ? π R 2 , 2 2 3 3 S圆锥BO1侧 ? π? R? R ? π R2 , 2 2 ? S 几何体表 ? S 球 ? S圆锥AO1侧 ? S圆锥BO1侧 3 3 11 ? 3 2 2 ? 4π R ? π R ? πR ? π R2 , 2 2 2
2

11 ? 3 ? 旋转所得到的几何体的表面积为 π R2. 2

4 1 1 又V球 ? π R 3 ,V圆锥AO1 ? ? AO1 ? π CO 2 ? π R 2 ? AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 ? BO1 ? π CO 1 ? π R 2 ? BO1 3 4 ?V几何体 ? V球 ? (V圆锥AO1 ? V圆锥BO1 ) 4 1 5 3 3 ? π R ? π R ? π R3. 3 2 6

探究提高 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所

形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割,

然后利用有关公式进行计算.

失误与防范
1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开,多面体要选择一条棱剪开,旋转体要沿一

条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点 的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出 合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面 上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心,或“切点”、“接点”作出截面图.


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