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11.柱、锥、台和球的体积


1.1.7柱、锥、台和球体的体积

一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积

公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。

V长方体= abc
推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。

V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它

的棱长a 的立方。

V正方体= a3

思考:
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后 的体积是否发生变化?

从以上事实中你得到什么启发?

公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截 面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

β S1
α S2

祖暅原理

祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公 式的基础和纽带,原理中含有三个条件, 条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间; 条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个平面; 条件三是两个截面的面积总相等,这 三个条件缺一不可,否则结论不成立.

二:柱体的体积

定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。

V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= ? r2h

三:锥体体积
D1

如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h. 问:(1)从 A 点出发棱柱能分割成几个三棱锥? D C
1 1

D1

C1

A

A

A

A D B C

D

C

C

答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C,
D B C

棱锥A-BCD.

定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面 积是S,高是h,那么它的体积是:

V锥体=

推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h, 那么它的体积是: 1 V圆锥= 3 πr2h
h h

1 Sh 3

S

S

S

四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/

s/ s

h
s

x ? ? x?h

s' s

S

'

x
h

?x ?

h s' s ? s'

S

1 1 1 ' 1 1 ' V台 ? S(h ? x) ? S x ? Sh ? Sx ? S x 3 3 3 3 3
1 1 ? Sh ? ( S ? S ' ) 3 3
1 1 ? Sh ? ( s ? 3 3 s )h s
' '

h s'

s ? s'

1 ? h( s ? 3

ss ' ? s ' )

推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是 h,那么它的体积是:
1 V圆台= 3 πh

(r ? r r ? r ) 1 2 2

2 1

2

五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3
S为底面面积, h为柱体高

S为底面面积, S分别为上、下底面 面积,h 为台体高 h为锥体高

六.球的体积

4 3 V球 = πR 3

例1.圆柱的底面直经与高都等于球的直经 2R.求证:球的体积等于圆柱体积的2/3

证明:

4 V球 ? ? R3 ,V柱 ? ? R2 ? 2 R ? 2? R3 3

2 ? V球 ? V柱 3

例2. 如图所示,在长方体ABCD- A’B’C’ D’中,用截面截下一个棱锥 C-A’DD’,求棱锥C-A’DD’的体 积与剩余部分的体积之比。

D A'

例3:

已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. C1

求:(1)棱锥B1-A1BC1的体积。 D1 (2)多面体A1D1C1-ABCD的体积
A1

B1

D

C B

A

例4.已知棱长为 a ,各面均为等边三 角形的四面体S-ABC,求它的体积。
S A M D B

C

例5. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与斜高的夹角是 30°,求正四棱锥的体 积.
P

D

C

A

B

例5.一个正三棱台的上下底面边长分别为 3cm和6cm,高是1.5cm,求三棱台的体积。
A1 O1 B1 C O E D1 C1

A

D

B

例6 已 : 知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. (方法1) 求:棱锥C1-BA1D的体积
D1 C1

A1

B1

D

C

A

B

练习2:
(方法2)
D1 A1

已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. 求:棱锥C1-BA1D的体积?
C1 D1 C1 D A1 B1

C1

C

B
D

D

C1

A1
A1 A D B

C
B1

A

B
B

练习1:
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ,四个顶点在同

一球面上,则此球的表面积(



A 3л

B 4л

C 3 3?

D 6л

2、若正四体的棱长都为6,内有一球与四个面都相

切。求球的表面积。

练习2:
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的(

2 )倍。

(2)若球的半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的( )倍。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是( 1: 2
(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是(1 : 3

4

2 )。 4)。

(5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 , 则两球的直径之差为( )

4

七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.

V柱体=sh

1 V台体= 3 h(s + ss' + s') 4 3 1 2 V球 = πR ? ? 4? R ? R 3 3
2.计算组合体的体积时,通常将其转化为计算 柱,锥,台,球等常见的几何体的体积。

1 V锥体= sh 3


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