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小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行


小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大 板块,其中必须掌握的三十六个知识点,内容从和差倍问题、年龄问题 到循环小数,包含了小学奥数七个模块的知识。 以下是小学奥数知识清单:

2、年龄问题的三个基本特征: ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

3、归一问题

基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用 “照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;

5、鸡兔同笼问题 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的 那部分置换出来; 基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数× 总头数-总脚数)÷ (兔脚 数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数× 总头数)÷ (兔脚 数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题 基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另 一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差

异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果 的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象 的总量. 基本题型: ①一次有余数,另一次不足; 基本公式:总份数=(余数+不足数)÷ 两次每份数的差 ②当两次都有余数; 基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷ 两次每份数的差 ③当两次都不足; 基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷ 两次每份数的差 基本特点:对象总量和总的组数是不变的。 关键问题:确定对象总量和总的组数。 第二部分(知识点 7-11)

7、牛吃草问题 基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求 出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长 速度和总草量。 基本特点:原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题:确定两个不变的量。 基本公式:

生长量=(较长时间× 长时间牛头数-较短时间× 短时间牛头数)÷ (长 时间-短时间); 总草量=较长时间× 长时间牛头数-较长时间× 生长量;

8、周期循环与数表规律 周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题:确定循环周期。 闰年:一年有 366 天; ①年份能被 4 整除;②如果年份能被 100 整除,则年份必须能被 400 整除; 平年:一年有 365 天。 ①年份不能被 4 整除;②如果年份能被 100 整除,但不能被 400 整除;

9、平均数 基本公式: ①平均数=总数量÷ 总份数 总数量=平均数× 总份数 总份数=总数量÷ 平均数 ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷ 总份数 基本算法: ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.

②基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所 有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出 数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求 这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公 式②。

10、抽屉原理 抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里,那么必有一个抽 屉中至少放有 2 个物体。 例:把 4 个物体放在 3 个抽屉里,也就是把 4 分解成三个整数的和,那 么就有以下四种情况: ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个 抽屉里有 2 个或多于 2 个物体, 也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个 物体。 抽屉原则二:如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里,其中 n>m,那么必有 一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1 个物体:当 n 不能被 m 整除时。 ②k=n/m 个物体:当 n 能被 m 整除时。 理解知识点:[X]表示不超过 X 的最大整数。 例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2; 关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依

据抽屉原则进行运算。

11、定义新运算 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本 (混合)运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减 乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

第三部分(知识点 12-16) 12、数列求和 等差数列: 在一列数中, 任意相邻两个数的差是一定的, 这样的一列数, 就叫做等差数列。 基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用 a1 表示; 项数:等差数列的所有数的个数,一般用 n 表示; 公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用 d 表示; 通项:表示数列中每一个数的公式,一般用 an 表示; 数列的和:这一数列全部数字的和,一般用 Sn 表示. 基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,Sn,,通项公式中涉及四 个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,

如果己知其中三个,就可以求这第四个。 基本公式: 通项公式:an = a1+(n-1)d; 通项=首项+(项数一 1) × 公差; 数列和公式:Sn= (a1+ an)× n÷ 2; 数列和=(首项+末项)× 项数÷ 2; 项数公式:n= (an+ a1)÷ d+1; 项数=(末项-首项)÷ 公差+1; 公差公式:d =(an-a1))÷ (n-1); 公差=(末项-首项)÷ (项数-1); 关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;

13、二进制及其应用 十进制:用 0~9 十个数字表示,逢 10 进 1;不同数位上的数字表示不 同的含义,十位上的 2 表示 20,百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2× 102+3× 10+4。 =An× 10n-1+An-1× 10n-2+An-2× 10n-3+An-3× 10n-4+An-4× 10n-5+ An-6× 10-7+……+A3×102+A2×101+A1×100 注意:N0=1;N1=N(其中 N 是任意自然数) 二进制:用 0~1 两个数字表示,逢 2 进 1;不同数位上的数字表示不 同的含义。 (2)=

An× 2n-1+An-1× 2n-2+An-2× 2n-3+An-3× 2n-4+An-4× 2n-5+An-6× 27 +……+A3×22+A2×21+A1×20 注意:An 不是 0 就是 1。 十进制化成二进制: ①根据二进制满 2 进 1 的特点,用 2 连续去除这个数,直到商为 0,然 后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。 ②先找出不大于该数的 2 的 n 次方,再求它们的差,再找不大于这个差 的 2 的 n 次方,依此方法一直找到差为 0,按照二进制展开式特点即可 写出。

14、加法乘法原理和几何计数 加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 种不 同方法, 在第二类方法中有 m2 种不同方法……, 在第 n 类方法中有 mn 种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+ m2....... +mn 种不同的方 法。 关键问题:确定工作的分类方法。 基本特征:每一种方法都可完成任务。 乘法原理:如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行,做第 1 步有 m1 种方法,不管第 1 步用哪一种方法,第 2 步总有 m2 种方法……不管前 面 n-1 步用哪种方法, 第 n 步总有 mn 种方法, 那么完成这件任务共有: m1× m2....... × mn 种不同的方法。

关键问题:确定工作的完成步骤。 基本特征:每一步只能完成任务的一部分。 直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。 直线特点:没有端点,没有长度。 线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点:有两个端点,有长度。 射线:把直线的一端无限延长。 射线特点:只有一个端点;没有长度。 ①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一 1); ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一 1); ③数长方形规律:个数=长的线段数× 宽的线段数: ④数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数× 列数

15、质数与合数 质数:一个数除了 1 和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数, 也叫做素数。 合数:一个数除了 1 和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。 质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质 因数。 分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 其中 a1、a2、a3……an 都是合数 N 的质因数,且 a1<a2<a3<……<an。

求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数:如果两个数的最大公约数是 1,这两个数叫做互质数。

16、约数与倍数 约数和倍数:若整数 a 能够被 b 整除,a 叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的 约数。 公约数: 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个, 叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质: (1)几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 (2)几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 (3)几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 (4)几个数都乘以一个自然数 m,所得的积的最大公约数等于这几个 数的最大公约数乘以 m。 例如:12 的约数有 1、2、3、4、6、12; 18 的约数有:1、2、3、6、9、18; 那么 12 和 18 的公约数有:1、2、3、6; 那么 12 和 18 最大的公约数是:6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: (1)分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 (2)短除法:先找公有的约数,然后相乘。 (3)辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,

就是所求的最大公约数。 公倍数: 几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数; 其中最小的一个, 叫做这几个数的最小公倍数。 12 的倍数有:12、24、36、48……; 18 的倍数有:18、36、54、72……; 那么 12 和 18 的公倍数有:36、72、108……; 那么 12 和 18 最小的公倍数是 36,记作[12,18]=36; 最小公倍数的性质: (1)两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 (2)两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方 法

第四部分(知识点 17-21) 17、数的整除 一、基本概念和符号: 1、整除:如果一个整数 a,除以一个自然数 b,得到一个整数商 c,而 且没有余数,那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a。 2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的 符号“∴”; 二、整除判断方法: 1. 能被 2、5 整除:末位上的数字能被 2、5 整除。

2. 能被 4、25 整除:末两位的数字所组成的数能被 4、25 整除。 3. 能被 8、125 整除:末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。 4. 能被 3、9 整除:各个数位上数字的和能被 3、9 整除。 5. 能被 7 整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。 6. 能被 11 整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7. 能被 13 整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。 三、整除的性质: 1. 如果 a、b 能被 c 整除,那么(a+b)与(a-b)也能被 c 整除。 2. 如果 a 能被 b 整除,c 是整数,那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3. 如果 a 能被 b 整除,b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除。 4. 如果 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。

18、余数及其应用 基本概念: 对任意自然数 a、b、q、r,如果使得 a÷b=q……r,且 0<r<b,那么 r 叫 做 a 除以 b 的余数,q 叫做 a 除以 b 的不完全商。 余数的性质: ①余数小于除数。 ②若 a、b 除以 c 的余数相同,则 c|a-b 或 c|b-a。 ③a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的 和除以 c 的余数。 ④a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积 除以 c 的余数。

19、余数、同余与周期 一、同余的定义: ①若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同,则称 a、b 对于模 m 同余。 ②已知三个整数 a、b、m,如果 m|a-b,就称 a、b 对于模 m 同余,记 作 a≡b(mod m),读作 a 同余于 b 模 m。 二、同余的性质: ①自身性:a≡a(mod m); ②对称性:若 a≡b(mod m),则 b≡a(mod m); ③传递性:若 a≡b(mod m),b≡c(mod m),则 a≡ c(mod m); ④和差性:若 a≡b(mod m),c≡d(mod m),则 a+c≡b+d(mod m),

a-c≡b-d(mod m); ⑤相乘性:若 a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则 a× c≡ b× d(mod m); ⑥乘方性:若 a≡b(mod m),则 an≡bn(mod m); ⑦同倍性:若 a≡ b(mod m),整数 c,则 a× c≡ b× c(mod m× c); 三、关于乘方的预备知识: ①若 A=a× b,则 MA=Ma× b=(Ma)b ②若 B=c+d 则 MB=Mc+d=Mc× Md 四、被 3、9、11 除后的余数特征: ①一个自然数 M,n 表示 M 的各个数位上数字的和,则 M≡n(mod 9) 或(mod 3); ②一个自然数 M, X 表示 M 的各个奇数位上数字的和, Y 表示 M 的各个 偶数数位上数字的和,则 M≡Y-X 或 M≡11-(X-Y)(mod 11); 五、费尔马小定理:如果 p 是质数(素数),a 是自然数,且 a 不能被 p 整除,则 ap-1≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0 除外), 分数的大小不变。 分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法: ①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见 的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的 是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定 不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相 等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出 最后结果。 ⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论 其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、 分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、 总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量 率关系明朗化。 ⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21、分数大小的比较 基本方法: ①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的

关系比较。 ②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的 关系比较。 ③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大 的分数值越大。 ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运 用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用 见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法: 把所有分数转化成小数 (求出分数的值) 后进行比较。 ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和 1 进行比较。 ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和 0 比较。 ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。

23、完全平方数 完全平方数特征: (1)末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。 (2)除以 3 余 0 或余 1;反之不成立。 (3)除以 4 余 0 或余 1;反之不成立。 (4)约数个数为奇数;反之成立。 (5)奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

(6)奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 (7)两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2

24、比和比例 比:两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面 的数叫比的后项。 比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。 比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值 不变。 比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例: 若 A 扩大或缩小几倍, B 也扩大或缩小几倍 (AB 的商不变时) , 则 A 与 B 成正比。 反比例: 若 A 扩大或缩小几倍, B 也缩小或扩大几倍 (AB 的积不变时) , 则 A 与 B 成反比。 比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。

25、综合行程 基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、

路程三者之间的关系. 基本公式:路程=速度× 时间;路程÷ 时间=速度;路程÷ 速度=时间 关键问题:确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题:速度和× 相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追及问题:追及时间=路程差÷ 速度差(写出其他公式) 流水问题:顺水行程=(船速+水速)× 顺水时间 逆水行程=(船速-水速)× 逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷ 2 水 速=(顺水速度-逆水速度)÷ 2 流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。 过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。 主要方法:画线段图法 基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及 时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。

26、工程问题 基本公式: ①工作总量=工作效率× 工作时间 ②工作效率=工作总量÷ 工作时间 ③工作时间=工作总量÷ 工作效率

基本思路: ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关); ②假设一个方便的数为工作总量 (一般是它们完成工作总量所用时间的 最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及 工作时间. 关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评:合久必分,分久必合。

27、逻辑推理 基本方法简介: ①条件分析-假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设 去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的, 那么与他的相反情况是成立的。例如,假设 a 是偶数成立,在判断过程 中出现了矛盾,那么 a 一定是奇数。 ②条件分析-列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时, 就需要进行列表来辅助分析。 列表法就是把题设的条件全部表示在一个 长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内 的题设情况,运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析--图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表 示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连 线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两人之间有认识或不认识两种状态, 有连线表示认识,没有表示不认识。

④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进 行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律 和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而 得到问题的解决。

28、几何面积 基本思路: 在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进 行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变 为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 常用方法: (1)连辅助线方法 (2)利用等底等高的两个三角形面积相等。 (3)大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意 点设置在特殊位置上)。 (4)利用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积) ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。 ③圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。

29、立体图形

第五部分(知识点 30-36) 30、时钟问题-快慢表问题 基本思路: (1)按照行程问题中的思维方法解题; (2)不同的表当成速度不同的运动物体; (3)路程的单位是分格(表一周为 60 分格); (4)时间是标准表所经过的时间; 合理利用行程问题中的比例关系;

31、时钟问题-钟面追及 基本思路:封闭曲线上的追及问题。 关键问题: ①确定分针与时针的初始位置; ②确定分针与时针的路程差; 基本方法: ①分格方法: 时钟的钟面圆周被均匀分成 60 小格,每小格我们称为 1 分格。分针每 小时走 60 分格,即一周;而时针只走 5 分格,故分针每分钟走 1 分格, 时针每分钟走 1/12 分格。 ②度数方法:

从角度观点看, 钟面圆周一周是 360°, 分针每分钟转 360/60 度, 即 6°, 时针每分钟转 360/(12*60) 度,即 1/2 度。

32、浓度与配比 经验总结:在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两 种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。 溶质:溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。 溶剂:溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂。 溶液:溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。 基本公式: 溶液重量=溶质重量+溶剂重量; 溶质重量=溶液重量× 浓度; 浓度=溶质/溶液× 100%=溶质/(溶剂+溶质)× 100% 理论部分小练习:试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。 经验总结:在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两 种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

33、经济问题 利润的百分数=(卖价-成本)÷ 成本× 100%; 卖价=成本× (1+利润的百分数); 成本=卖价÷ (1+利润的百分数); 商品的定价按照期望的利润来确定;

定价=成本× (1+期望利润的百分数); 本金:储蓄的金额; 利率:利息和本金的比; 利息=本金× 利率× 期数; 含税价格=不含税价格× (1+增值税税率);

34、简单方程 代数式:用运算符号(加减乘除)连接起来的字母或者数字。 方程:含有未知数的等式叫方程。 列方程:把两个或几个相等的代数式用等号连起来。 列方程关键问题:用两个以上的不同代数式表示同一个数。 等式性质:等式两边同时加上或减去一个数,等式不变;等式两边同时 乘以或除以一个数(除 0),等式不变。 移项:把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边; 移项规则:先移加减,后变乘除;先去大括号,再去中括号,最后去小 括号。 加去括号规则:在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则 添、去括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,添、 去括号, 括号里面的运算符号都要改变; 括号里面的数前没有“+”或“-” 的,都按有“+”处理。 移项关键问题:运用等式的性质,移项规则,加、去括号规则。 乘法分配率:a(b+c)=ab+ac

解方程步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤求解; 方程组:几个二元一次方程组成的一组方程。 解方程组的步骤:①消元;②按一元一次方程步骤。 消元的方法:①加减消元;②代入消元。

35、不定方程 一次不定方程:含有两个未知数的一个方程,叫做二元一次方程,由于 它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程; 常规方法:观察法、试验法、枚举法; 多元不定方程:含有三个未知数的方程叫三元一次方程,它的解也不唯 一; 多元不定方程解法:根据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个 未知数,这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程,按照二元一次 不定方程解即可; 涉及知识点:列方程、数的整除、大小比较; 解不定方程的步骤:①列方程;②消元;③写出表达式;④确定范围; ⑤确定特征;⑥确定答案; 技巧总结:A、写出表达式的技巧:用特征不明显的未知数表示特征明 显的未知数,同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消 元技巧:消掉范围大的未知数;

36、循环小数

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数: 将一个循环节的数字组成的数作为分 子,分母的各位都是 9,9 的个数与循环节的位数相同,最后能约分的 再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数: 分子是第二个循环节以前的小数部分 的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差, 分母的头几位数 字是 9,9 的个数与一个循环节的位数相同,末几位是 0,0 的个数与不 循环部分的位数相同。 二、分数转化成循环小数的判断方法: ①一个最简分数,如果分母中既含有质因数 2 和 5,又含有 2 和 5 以外 的质因数,那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数,如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因数,那么这个分 数化成的小数必定是纯循环小数。



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