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求函数的解析式、值域


求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{

y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }.

4a

4a

求下列函数的值域 类型一:整式形 例:(1) y=3x+2 (2) y=3x+2(-1 ? x ? 1)

类型二:反比例函数 例: f ( x) ? ? (1 ? x ? 3) 类型三:对勾函数 例: y ? x ?
1 (记住图像) x
2 3x

解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] 类型四:二次函数在区间上的值域(最值): 例 求下列函数的最大值、最小值与值域: 例:① y ? x 2 ? 4x ? 1; ③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ; ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ; ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ;
y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

解:∵ y ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标 ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ? -3 }.
1

为 2.

②∵顶点横坐标 2 ? [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, ymin =-2, ymax =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 ? [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, ymin =-2, ymax =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 ? [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, ymin =-3, ymax =6;值域为[-3,6].

变式练习:(1)求函数 x 2 -2x ? 5=0 的值域

(2)求函数 y ? x 2 ? 2x ? 5 , x ? ?0,5? 的值域 解: ? 对称轴 x ? 1 ? ?0,5?

? x ? 1时 , y min ? 4 ? 值域为 ?4,20?
类型五:换元法 例4 求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域

x ? 5时 , y max ? 20

解:(换元法)设 1 ? x ? t ,则 y ? ?t 2 ? 2t ? 1 (t ? 0)

? 对称轴 t ? 1 ? ?0,??? , 且开口向下 ? 当t ? 1时 , y max ? 2 ? 值域为 ?? ?,2?

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函 数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 变式练习: 1、求函数 y=3+√(2-3x)的值域

2

解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为

?3,???

.

2、求函数 y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 解:法一:(单调性法)设 f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数, 从而 y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x 在定义域为 x≤1/3 上也为增函数,而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y≤4/3} 3、求函数 y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 4、求函数 y=3+√4-x 类型六:多个绝对值型 例: 求 y ? x ? 3 ? x ?1 的值域
-1 0 1 3 x

的值域。(答案:{y|y≥3})
y 4

, x ? ?1 ?4 ? 解法一:(图象法)可化为 y ? ?2 ? 2 x , ? 1 ? x ? 3 ?? 4 , x?3 ?

如图,
-4

观察得值域 ?y ? 4 ? y ? 4? 解法二:(零点法)画数轴 利用 a ? b 表示实数a, b在数轴上的距离 可得。

-1

x

0

3

变式练习:求 y ? x ? x ? 1 的值域 4、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.

( ?1, ? ? ? )(三种方法均可

?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? 解法 1:将函数化为分段函数形式: y ? ?3( ?1 ? x ? 2) ,画出它的图象(下图),由图象可知, ?2 x ? 1( x ? 2) ?

函数的值域是{y|y ? 3}. 解法 2:∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的距离之和,∴易见 y 的最小值 是 3,∴函数的值域是[3,+ ? ]. 如图
3

x -1 O 1

2

-1 Ox 1

2

-1

O

1

2x

类型七:分离常数,形如 y ? 例: 求函数 y ?
x ?1 的值域 x?2

ax ? b ( c ? 0) cx ? d

解法一:(逆求法) 解出 x , x ? 解法二:(分离常数法)由 y ? 小结:已知分式函数 y ?

1? 2y ?y y ? 1? 观察得 原函数值域为 1? y
x?2?3 3 ? 1? ? 1 ,可得值域 ?y y ? 1? x?2 x?2

ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内, cx ? d

? 值域为 ? y y ? ?

a? ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函 c? ad b? a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 数化为 y ? ? c cx ? d
求函数解析式的常用方法

函数是中学数学乃至大学数学的主要研究对象,解析法是表示函数的最常见也最重要的方法,下 面就介绍求函数解析式的常用方法。

1.配凑法:对已知 f[g(x)]=h(x)求 f(x)的问题,若 h(x)容易用 g(x)表示出来就用此法求出 f(x) 的解析式。配凑法主要适用于 f[g(x)]的表达式较为简单的情形,但要注意只能由 g(x)的值域确定出 f(x)的定义域来。 例:已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x) 的解析式。 分析:? x ? 2 x 可配凑成
? 可用配凑法

解:由 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x ?)2 ?1 令 t ? x ?1

?x ?0 ?t ? 1
则 f (t ) ? t 2 ?1 即 f ( x) ? x2 ?1( x ? 1)
4

变式练习:
1 1 1、已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) . x x

分析:此题直接用换元法比较繁锁,而且不易求出来,但用配凑法比较方便。
1 1 1 解析:由 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 x x x

令t ? x ?

1 ? x 2 ? tx ? 1 ? 0 x

由 ? ? 0 即 t2 ? 4 ? 0 得 t ? R

? f (t ) ? t 2 ? 2
即: f ( x) ? x2 ? 2( x ? R)

1 1 2、已知 f (1+ ) = 2 -1 ,求 f(x). x x

1 1 1 解:? -1=(1+ ) -2(1+ )且1+ ? 1 x x x x
1
2

2

?( f x )= x -2 x (x ? 1)

2

2.换元法:对已知 f[g(x)]=h(x)求 f(x)的问题,若用配凑法难求,可采用换元法求出 f(x)的解析 式。其方法是令 g(x)=t ? x= ? (t) ? f (t)=h[? (x)] ,然后再将 t 换成 x 即可。 例:已知 f ( 解: 令
x +2 )=3x +1 ,求 f(x). x

x +2 2 =t ,则得x= (t ? 1) x t -1 2 t +5 +1= t -1 t -1

? 3 x +1=3 ?

? f (t )=

t +5 x +5 (t ? 1)从而得f(x)= (x ? 1) 。 t -1 x-1

变式练习:1、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x) 的解析式。 令 t ? x ? 1 ,则 t ? x ? 1 ,得 ,即 f ( x) ? x2 ?1( x ? 1) 2 2 ? f (t ) ? (t ? 1) ? 2(t ? 1) ? t ? 1 2.已知 f(

x ? (t ? 1)2

x2 ?1 1 x ?1 ? ,求 f(x)的解析式. )= x x2 x

5

解: 设

x ?1 1 = t ,则 x= (t≠1), x t ?1

(
∴f(t)=

1 2 ) ?1 1 t ?1 = 1+ (t ? 1) 2 +(t-1)= t2-t+1 ? 1 2 1 ( ) t ?1 t ?1



f(x)=x2-x+1 (x≠1).

3 待定系数法:若事先已知函数的结构,可先设出 f(x)的函数解析式,再利用已知条件列出方程 组,然后通过解方程组求出各待定系数值,即可求出函数的解析式来。 例:已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2)=-3,f(-2)=-7,求 f(x). 解:令 f (x)=a x +bx +c ,则依题意得:
1 ? a=? c =-3 ? 2 ? ? ?4a +2b+c =-3 解之得 ?b=1 ?4a-2b+c =-7 ?c =-3 ? ? ?
故得f (x)=1 2 +x-3 。 2x
2

变式练习:1、已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x)的解析式. 解:设二次函数 f(x)= ax2+bx+c,则 f(0)= c= 0 f(x+1)= a ( x ? 1) 2 +b(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b 由 f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得 ① ②

?2a ? b ? b ? 2 ? ?a ? b ? 8

?a ? 1, 解得 ? ?b ? 7.

故 f(x)= x2+7x.

2、已知 f ( x) 是二次函数,若 f (0) ? 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 试求 f ( x) 的表达式。 解析:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0),由 f (0) ? 0, 得 c=0,由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 得

a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? ax2 ? bx ? c ? x ? 1 ,整理得 ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ? ax2 ? (b ? c) x ? c ? 1

6



1 ? ?a ? 2 ? 2a ? b ? b ? 1 ? 1 ? ? ?a ? b ? c ? c ? 1 ? ?b ? 2 ?c ? 0 ? ? ?c ? 0 ? ? 1 1 ? f ( x) ? x 2 ? x 2 2
1 )(或同时出现 f(x)与 f(-x)),通常用消去法 x

4 消去法:若在一个式子中同时出现了 f(x)与 f( 求 f(x)的解析式。其方法是将原式子中的 x 用

1 (或用-x)替换得到新式子,再与原来的式子联立组成 x 方程组,通过解方程组即可求得 f(x)的解析式。

1 例:⑴设函数 f (x) 满足 f (x)+2 f ( )=x ,求 f(x); x

⑵设对任意的 x ? R 都有 f (x)+3 f (-x)=x ,求 f(x).
1 1 1 解:⑴由 f (x)+2 f ( )=x ①得 f ( )+2 f (x)= ② x x x

2 2 x ②×2-①得 3 f (x)= -x解之得f(x)= x 3x 3

⑵由 f (x)+3 f (-x)=x ①得 f (-x)+3f(x)=-x ② 由 ②×3-①得 8f(x)=-4x
x 故 f(x) =- . 2

1 变式练习:1、设 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) 的解析式。 x 1 1 分析:要求 f ( x) 可消去 f ( ) ,为此,可根据题中的条件再找一个关于 f ( x) 与 f ( ) 的等式,通过解 x x 方程组达到消元的目的。
1 解析:? f ( x) ? 2 f ( ) ? x ………………………① x

显然, x ? 0 ,将 x 换成

1 得 x

1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? ……………………………..② x x

7

1 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? ? x 由? ? f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x ? x
1 消去 f ( ) ,得 x

1 2 f ( x) ? ? x ? 3 3x 1 小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如 f(x)、 f ( ) ;互为相反数,如 f(x)、f(-x), x 通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组

2、设函数 f(x)满足 f(x)+2 f(

1 )= x (x≠0),求 f(x)函数解析式. x 1 1 ),若用 去代替已知中 x,便可得到另一个方程, x x

分析:欲求 f(x),必须消去已知中的 f( 联立方程组求解即可. 解:∵ f(x)+2 f( 由
1 代入得 x 1 )= x (x≠0) x



2f(x)+f(

1 1 )= (x≠0) ② x x

解 ①② 构成的方程组,得 f(x)= 拓展练习: 求函数的值域
y ? x? 1 x

2 x - (x≠0). 3 3x

1、

2、求函数 x 2 -2x ? 5=0 的值域 3、求函数 y ? x 2 ? 2x ? 5 , x ? ?0,5? 的值域 4、求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域 5、 y ? x ? 3 ? x ? 1 作图

求解析式:
8

1、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x) 的解析式。 2、已知 f (
x +2 )=3x +1 ,求 f(x). x

3、已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2)=-3,f(-2)=-7,求 f(x).
1 设 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) 的解析式。 4、 x

9


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