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北师大高二数学下学期期中考试试卷(答案)


高二下学期 3 月份能力检测试卷 数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 函数 f ? x ? ? A. ?0,?? ? 2.复数 z=
2x ? 1 的定义域为( log 2 x

) D. ?0,1? ? ?1,?? ?

/>
B. ?1,?? ?

C. ?0,1?

-3+i 的共轭复数是( ) 2+i A.2+i B.2-i C.-1+i

D.-1-i )

π? ? 3.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 6? ?
π 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6

A.向右平移

π 个单位 3 π D.向右平移 个单位 3

B.向左平移

1? 处的切线方程为( 4.曲线 y ? e x ? x 在点 ? 0,
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? x ? 1

) D. y ? ? x ? 1

5. 执行如右图所示的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为( A.2 ) B.3 C.4 D.5 )

6.命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为( A. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0

B. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0

7. 某人向一个半径为 6 的圆形靶射击,假设他每次射击必定 会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射中的靶点与靶心的距离小于 2 的概率为( A.
1 2

) B.
1 3

C.

1 4

D.

1 9

8.设 a, b 是平面 ? 内两条不同的直线,l 是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a ,

l ? b ”是“ l ? ? ”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 2 2 9.方程 x ? 1 lg ? x ? y ? 1? ? 0 所表示的曲线的图形是( )
y y y y

O

1 x

O

1 2

x

O

1 2

x D

1 2

x

B C 图 5 B 10.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图,侧 B 视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接 B 三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积 B 为( ) B B 2 1 4 1 A. B. π+ π+ 3 2 3 6 C.
2 1 π+ 6 6

A

D.

2 1 π+ 3 2

11.函数 y ? f ( x) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) lim 等于( ) ?x ?0 ?x A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4 12. 如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的直线交抛 物线于点 A、B,交其准线于点 C,若 BC ? 2 BF , 且 AF ? 3 ,则此抛物线方程为( A. y 2 ? 9 x C. y 2 ? 3 x B. y 2 ? 6 x D. y 2 ? 3x )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答 题卷相应位置上.
13.设向量 a,b 的夹角为 ? ,且 a = ? 3,3? , 2b ? a = ? ?1,1? ,则 cos ? ? 14.已知正项等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 .

S6 ?

.

15. 观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个 不等式为______________. ...

16.如果直线 2ax ? by ? 14 ? 0 ? a ? 0, b ? 0 ? 和函数 f ? x ? ? m x ?1 ? 1? m ? 0, m ? 1? 的图 象恒过同一个定点, 且该定点始终落在圆 ? x ? a ? 1? ? ? y ? b ? 2 ? ? 25 的内部或圆
2 2

上,那么

b 的取值范围是_______________. a

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 满分 70 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)

在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,点 (a, b) 在直线
x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上,

(1)求角 C 的值; (2)若 a 2 ? b 2 ? 6(a ? b) ? 18 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)

某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这 些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

19.(本小题满分 12 分)

如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC.

20.(本小题满分 12 分)
* 2 2 各项均为正数的数列 {an } ,满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 ( n ? N ). (1)求数列 {an } 的
[来

? an 2 ? 通项公式;(2)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n . ?2 ?

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B. (1) 若 (2) 求
AB ?
AB

16 ,求直线 l 的方程. 3

的最小值.

22.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? x 3 ? ?1 ? a ? x 2 ? a ? a ? 2 ? x

? a ? R ? , f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导数.

(1)当 a ? ?3 时,证明 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上不是单调 函数; .... (2)设 g ? x ? ?
19 1 x ? ,是否存在实数 a ,对于任意的 x1 ? ? ?1,1? ,存在 6 3

x2 ? ? 0, 2? ,使得 f ? ? x1 ? ? 2ax1 ? g ? x2 ? 成立?若存在,求出 a 的取值范
围;若不存在,说明理由.

武陟一中东区高二下学期 3 月份能力检测试卷 数学试题答案
1. D【解析】由 log x ? 0 ,得 x ? 1 ,又 x ? 0 ,故函数 2

f ? x? ?

2 x ? 1 的定义域为 log 2 x

?0,1? ? ?1,?? ? .
-3+i ?-3+i??2-i? 2. D【解析】因为 z= = =-1+i,所以 z =-1-i.故选 D. 2+i ?2+i??2-i? 3. D【解析】将 y ? cos 2 x ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象向右平移 个单位得 3 2?

?

? ? ?? ?? ?? ? y ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象,所以选择 D. 3 ? 2? 6? ? ? ?
4.A 【解析】 y? ? e x ? 1 ,k ? y? |x ?0 ? e0 ? 1 ? 2 , 则切线方程为 y ? 1 ? 2 x , 即 y ? 2 x ? 1. 5.B【解析】当 n=0 时,P=1,Q=3,P<Q 成立,执行循环;当 n=1 时,P=5,Q=7, P<Q 成立,执行循环;当 n=2 时,P=21,Q=15,P<Q 不成立,但执行 n=2+1=3 后,再输出. 6. B【解析】全称性命题的否定一要否量词,二要否结论,所以原命题的否定为:

?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0
7. D【解析】由几何概型得,所求概率为 P ?

π ? 22 1 ? . π ? 62 9

8. C【解析】由线面垂直的定义可知 l ? ? ? l ? a, l ? b ,反之只有当 a 与 b 是两条相 交直线时才成立,故“ l ? a , l ? b ”是“ l ? ? ” 必要而不充分的条件. 9.D【解析】由题意可得 x ? 1 ? 0 或 lg x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 或 x 2 ? y 2 ? 2 .但是要使 得该方程有意义还要满足 ?

?

?

? x ? 1,
2 2 ? x ? y ? 1 ? 0,

综上可知图象选 D.

10. C【解析】由三视图可知,该几何体的上方是一个直三棱锥(三棱锥的底面是腰长为 1 的等腰直角三角形,高为 1);下方是一个半径为 ? 12 ? 12 ?

1 2

2 的半球.故所求几 2

? 2? 2π 1 1 1 1 4 何体的体积为 V ? ? ? 1? 1? 1 ? ? ? π ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 3 6 6 ? 2 ?

3

11.D【解析】由导数的定义得

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) 1 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) ? 2, 所以 ? ? lim ?x ? 0 2?x 2 ?x ?0 ?x f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) lim ?4. ?x ? 0 ?x f ?( x0 ) ? lim
12. C【解析】作 BD ? 准线交准线于点 D ,由抛物线的定义得 BD ? BF .故由

BC ? 2 BF ,得 BC ? 2 BD ,所以 ?BCD ? 30? .故直线的倾斜角为 60? .所以直线的
? p? ? p? ?y ? 3 ? x ? ?, ? 2 ? 消去 y 得 12 x 2 ? 20 px ? 3 p 2 ? 0 ,解得 方程为 y ? 3 ? x ? ? .联立 ? ? 2 ? ? ? y 2 ? 2 px, ?
xA ? 3p p 3p ? p ? , xB ? .故由抛物线的定义得 AF ? ? ? ? ? ? 2 p ? 3 .所以此抛物线的方 2 6 2 ? 2?

程为 y 2 ? 3 x .

13.

3 10 【解析】设 b = ? x, y ? .由 2b ? a ? ? ?1,1? ? ? 2 x ? 3, 2 y ? 3? ,得 x ? 1, y ? 2 , 10

所以 cos ? ?

a ?b 9 3 10 ? ? a b 3 10 10

14. 9【解析】此题运用等比数列的性质 S m , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m 仍然构成等比,即相隔 m 的连续项的和构成等比,故可以列式为 ? S6 ? S3 ? ? S3 ? S9 ? S6 ? ,解得 S6 ? 9 .
2

1 1 1 1 1 11 15. 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 【解析】从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的左 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 边为:1+22+32+42+52+62,对几个不等式右边分析,其分母依次为:2,3,4,所以第 5 个式子的分母应为 6,而其分子依次为: 3,5,7,所以第 5 个式子的分子应为 11,所以 1 1 1 1 1 11 第 5 个式子应为:1+22+32+42+52+62< 6 . 16. ? , ? ?4 3? 过定点

?3 4?

【解析】根据指数函数的性质,可知函数

f ? x ? ? m x ?1 ? 1? m ? 0, m ? 1? 恒
由于点

? ?1, 2 ? .将点 ? ?1, 2 ? 代入 2ax ? by ? 14 ? 0 ,可得 a ? b ? 7 .
? 2 2 ?a ? b ? 25,

? ?1, 2 ? 始终
? ?b ? 3,

落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 ? b 2 ? 25 . 由 a ? b ? 7, ?

解得 a ? 3, 或 a ? 4, , ? ?

? ?b ? 4,

这说明点 . ?3 4? , ? ?4 3? ?

? a, b ? 在以 A ? 3, 4 ? 和 B ? 4,3? 为端点的线段上运动, b 所以的取值范围是
a

17.解:(1)由题得 a ? sin A ? sin B ? ? b sin B ? c sin C , 由正弦定理
2 2 a b c ,得 a ? a ? b ? ? b ? c 2 , a 2 ? b ? c 2 ? ab .???2 分 ? ? sin A sin B sin C

由余弦定理得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,结合 0 ? C ? ? ,得 C ? .??????5 分 2ab 2 3

(2)由 a 2 ? b 2 ? 6(a ? b) ? 18 ,得 (a ? 3) 2 ? (b ? 3) 2 ? 0 ,从而 a ? b ? 3 .????7 分 所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 ? 9 3 . ??????10 分 ab sin C ? ? 32 ? sin ? 2 2 3 4

18.解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5,大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4}, {A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3, A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1,A2}, 3 1 {A1,A3},{A2,A3},共 3 种.所以 P(B)= = . 15 5 19.解:(1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,AD⊥平面 CDD1C1, 1 1 所以点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1,又 S ?MCC1 = CC1×CD= ×2×1=1, 2 2 1 1 所以 VA??MCC1 = AD· S ?MCC1 = . 3 3 (2)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图),

当 A1,M,C 共线时,A1M+MC 取得最小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2. 2 2 所以 CC2 1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°,即 CM⊥MC1. 又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1,所以 B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1,所以 CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M; 同理可证,B1M⊥AM,又 AM∩MC=M,所以 B1M⊥平面 MAC.
2 20.解:(1)因为 a n ?1 ? a n ? 2 ,所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

2

2

? ?

2 所以 a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .因为 a n ? 0 ,所以 an ? 2n ? 1 n ? N* .

?

?

an 2 2n ? 1 ? n . 2n 2 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 所以 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ,① 2 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 则 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 ? 2n ? 1 1 4 2 ? 2n ? 1 ? 1 1 1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ? 1 2 2 2 2 ? 2 ?2 2 2 1? 2 3 2n ? 3 2n ? 3 ? ? n ?1 .所以 S n ? 3 ? n . 2 2 2
(2)由(1)知, an ? 2n ? 1 ,所以

21、【解析】(1)设直线 l 的方程为: x ? my ? 1 ? 0 代入 y 2 ? 4 x 整理得, y 2 ? 4my ? 4 ? 0 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 则 y1, y2 是上述关于 y 的方程的两个不同实根,所以 y1 ? y2 ? ?4m 根据抛物线的定义知:| AB |= x1 ? x 2 ? 2 = (1 ? my1 ) ? (1 ? my 2 ) ? 2 ? 4(m 2 ? 1) 若 | AB |? 16 ,则 4(m 2 ? 1) ? 16 , m ? ?
3

3

3 3

即直线 l 有两条,其方程分别为:
x? 3 3 y ? 1 ? 0, x ? y ?1 ? 0 3 3

(2) 由(1)知, | AB |? 4(m 2 ? 1) ? 4 当且仅当 m ? 0 时,|AB|有最小值 4.
3 2 2 22.解:(1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ? x ? 4 x ? 3 x, f ? ? x ? ? 3 x ? 8 x ? 3 ,其对标轴为

4 x?? . 3
当 x ? ? ?1,1? 时, f ? ? x ? 是单调增函数, 又 f ? ? ?1? ? ?8 ? 0, f ? ?1? ? 8 ? 0 , 在 ? ?1,1? 上,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x =

1 ; 3

在 ? ?1, ? 上 f ?( x) <0, f ? x ? 为减函数; 在 ? ,1? 上 f ?( x) >0, f ? x ? 为增函数. 由上得出在 ? ?1,1? 上, f ? x ? 不是单调函数. (2)在 ? 0, 2? 上 g ? x ? ? ??????5 分

? ?

1? 3?

?1 ? ?3 ?

19 1 x ? 是增函数,故对于 x2 ? ? 0, 2? , 6 3

? 1 ? g ? x2 ? ? ? ? , 6 ? . ? 3 ?

???6 分

2 设 h ? x1 ? ? f ? ? x1 ? ? 2ax1 ? 3x1 ? 2 x1 ? a ? a ? 2 ? , x1 ? ? ?1,1? .

h? ? x1 ? ? 6 x1 ? 2 ,
由 h? ? x1 ? ? 0 ,得 x1 ? ? .

1 3

???????7 分

要使对于任意的 x1 ? [?1,1] ,存在 x2 ? [0,2] 使得 h ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,只需在 ? ?1,1? 上, -

1 ? h ? x1 ? ? 6 , ????9 分 3

在 ? ?1, ? ? 上 h ' ? x1 ? ? 0 ;在 ? ? ,1? 上 h ' ? x1 ? ? 0 , 所以 x1 ? ? 时, h ? x1 ? 有极小值 h ? ? ? ? ? ? a 2 ? 2a .
2 2 又 h ? ?1? ? 1 ? a ? 2a, h ?1? ? 5 ? a ? 2a ,

? ?

1? 3?

? 1 ? ? 3 ?

1 3

? 1? ? 3?

1 3

因为在 ? ?1,1? 上 h ? x1 ? 只有一个极小值,故 h ? x1 ? 的最小值为 ?

1 ? a 2 ? 2a . 3

? ?1 ? a 2 ? 2a ? 6, ? 2 ?5 ? a ? 2a ? 6, ? 1 1 ? ? ? a 2 ? 2a ? ? , 3 ? 3

解得 ? 2 ? a ? 0 .

????????????12 分


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