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高中数学选修2-3 范永凯精品数学习题


高中数学选修 2-3
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释) 1. (2 ? x )8 展开式中含 x 4 项的系数的为 ( A. ?1 【答案】C 【解析】 B. 0 C. 1 ) D. 2

?x 1 ? 2.二项式 ? ?2

? 3 ? ? 的展开式中的常数项是( x? ?
A. -28 【答案】C 【解析】 试题分析: B. -7 C. 7

8

) D. 28

8? r 8? r ?x 1 ? 1 1 r x ? ? 二项式 ? 的通项式为 T ? C ? ? (? 3 ) r ? (?1) r ( ) 8?r C8R ? x 3 , r ?1 8 ?2 3 ? 2 2 x? x ? 4

8

令8 ?

4 1 r ? 0 ,所以 r ? 6 .所以常数项为 (?1) 6 ( ) 2 C86 ? 7 . 3 2

考点:二项式定理 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于中档题. 3.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 【答案】C 【解析】恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然 3 2 后插空,从而共 A3A4=72 种排法,故选 C. 4.某校高中三个年级计划到城郊四个地点做调察,且到同一地点的年级不超过 2 个, 则不同的调察方案有( ) A.16 种 B.36 种 C. 42 种 D. 60 种 【答案】D 【解析】 分两类: (1)三个年级到 3 个地点, 一个年级各到一个地点, 方法有 4 ? 6 ? 24 种; (2)三个年级到 2 个地点,期中一个年级到一个地点,另 2 个年级到一个地点,方法 有

6 ? 3 ? 2 ? 36; 综上不同的调察方案有 24+36=60.故选 D

【答案】D 【解析】
2 6.如果随机变量 ? ~ N (?1, ? ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) ? (



A. 0 .4

B. 0.3

C. 0 .2
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D. 0.1

【答案】D 【解析】 试 题 分析 :由 随机 变 量 ? ~ N (?1, ? 2 ) 知 , 总体 密度 曲线 关 于 x ? ?1 对 称 ,所 以

P(?3 ? ? ? ?1) ? P(?1 ? ? ? 1) ? 0.4 , P(? ? ?3) ? P(? ? 1) ? 0.1 ,故选 D.
考点:正态曲线. 7.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 试题分析:一个小球有 4 种不同的方法,第二个小球也有 4 种不同的方法,第三个小球 也有 4 种不同的放法,即每个小球都有 4 种可能的放法,根据分步乘法原理得到结果。 解:本题是一个分步计数问题 对于第一个小球有 4 众不同的方法,第二个小球也有 4 众不同的方法,第三个小球也有 4 众不同的放法,即每个小球都有 4 种可能的放法,根据分步计数原理知共有即 4×4 ×4=64,故选 B 考点:分步计数原理 点评:本题考查分步计数原理,是一个典型的分步计数问题,本题对于盒子和小球没有 任何限制条件,可以把小球随便放置,注意与有限制条件的元素的问题的解法 8.从字母 a, b, c, d , e, f 中选出 4 个数字排成一列,其中一定要选出 a 和 b , 并且必须相邻( a 在 b 的前面) ,共有排列方法( A. 36 B. 72 C. 90 D. 144 【答案】A )种.

2 3 【解析】从 c, d , e, f 中选 2 个,有 C4 ,把 a , b 看成一个整体,则 3 个元素全排列, A3 2 3 共计 C4 A3 ? 36

9. (4 ? 2 ) 的展开式中的常数项是
x

?x 6



) (D) 20

(A) 1 【答案】C 【解析】

(B) 6

(C) 15

r Tr ?1 ? C 6 4x 试题分析:

? ? ?2 ?
6? r

?x r

r x ?12 ?3 r ? ? C6 2 , 若为常数项, 则 12 ? 3r ? 0 , 即r ? 4,

4 所以 C6 ? 15,故答案选 C.

考点:本小题主要考二项式定理展开式 10.掷两颗相同的均匀骰子(各个面分别标有 1,2,3,4,5,6),记录朝上一面的 两个数,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. “至少有一个奇数”与“都是奇数” B. “至少有一个奇数”与“至少有一个偶数” C.“至少有一个奇数”与“都是偶数” D.“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数” 【答案】D 【解析】解:至少有一个奇数包括两种情况, 一是两个奇数,一是一奇一偶,与都是奇数不是互斥事件,
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与至少有一个偶数,不是互斥事件,与都是偶数是对立事件与恰好有两个奇数是互斥事 件, 故选 D. 11.若二项式(x + A.3 B.5 【答案】B
3

1 n ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( x2
C.7 D.10
r = Cn x

)

r 【解析】展开式的通项公式是 Tr+1= Cn x

3n-3r -2r

x

3n-5r

,若二项式(x +

3

1 n ) 的展 x2

开式中含有非零常数项, 则 3n-5r=0, 即 n=

5r (r=0,1,2, ?,n),故当 r=3 时, 3

此时 n 的最小值为 5.选 B. 12.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成 一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 28 种 C. 36 种 D. 48 种 【答案】D 【解析】 5 试题分析:由题意知先使五个人的全排列,共有 A5 种结果,去掉相同颜色衣服的人都 相邻的情况,再去掉仅穿蓝色衣服的人的相邻和仅穿穿黄色衣服的人相邻两种情况,从 而求得结果.
5 由题意知先使五个人的全排列,共有 A5 种结果.

去掉同颜色衣服相的人都相邻的情况, 再去掉仅穿蓝色相邻和仅穿黄色相邻的两种情况.
2 2 3 穿相同颜色衣服的人都相邻的情况有 A2 , A2 A3 种(相邻的看成一整体) 2 2 3 当穿兰色衣服的相邻, 而穿黄色衣服的人不相邻, 共有 A2 (相邻的看成一整体, A2 A3 种

不相邻利用插空法) ,同理当穿黄色衣服的相邻,而穿兰色衣服的人不相邻,也共有
2 2 3 A2 A2 A3 种, 5 2 2 3 2 2 3 ∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是 A5 - A2 A2 A3 -2 A2 A2 A3 =48,

故答案 D 考点:排列组合的运用 点评:本题是一个简单计数问题,在解题时注意应用排除法,从正面来解题时情况比较 复杂,所以可以写出所有的结果,再把不合题意的去掉. 13.从 1 到 10 的 10 个正整数中,任意取两个数相加,所得的和为奇数的不同情况有 ( )种. A.20 B.25 C.15 D.30 【答案】B 【解析】 考点:排列、组合的实际应用. 分析:由题意知本题是一个从 1 到 10 的正整数中,任意抽取两个相加,根据偶数加上 奇数后和为奇数算出结果,根据分步计数原理知不同结果数. 解:∵从 1 到 10 的正整数中,任意抽取两个相加 ∴本题是一个从 10 个数字中选两个相加, ∵偶数加上奇数后和为奇数, ∴根据分步计数原理知不同情形有 5×5=25 种.
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故答案为:B 14.袋中装有 m 个红球和 n 个白球,m>n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色 的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n≤40 的数组(m,n)的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】 记“取出两个红球”为事件 A, “取出两个白球”为事件 B, “取出一红一白两球”事件 C, 则 P( A) ?
2 2 2 1 Cm Cn Cm ? Cn 。 , P( B) ? 2 , P(C ) ? 2 2 Cm C C ?n m? n m? n
2+ 2 1 1 2

依题得 P(A)+P(B)=P(C) ,即 Cm +Cn =Cm ·Cn 。所以 m+n=(m-n) , 从 而 m+n 为 完 全 平 方 数 , 又 由 m ? n ? 4及m ? n ? 40及m ? n ? 40 , 得

9 ? m ? n ? 40.
所以 ?

?m ? n ? 9 ?m ? n ? 16 ?m ? n ? 25 ?m ? n ? 36 , , 或? , 或? , 或? ?m ? n ? 3 ?m ? n ? 4 ?m ? n ? 5 ?m ? n ? 6

解之得(m,n)=(6,3) (舍去) ,或(10,6) ,或(15,10) ,或(21,15) 。 故符合题意的数组(m,n)有 3 个。 15.某单位有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为( ) A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】解:由题意知本题是一个分类计数问题, 首先安排三辆车的位置,假设车位是从左到右一共 7 个, 当三辆车都在最左边时,有车之间的一个排列 A3 3, 当左边两辆,最右边一辆时,有车之间的一个排列 A3 3, 当左边一辆,最右边两辆时,有车之间的一个排列 A3 3, 当最右边三辆时,有车之间的一个排列 A3 3, 总上可知共有不同的排列法 4× A3 3 =24 种结果, 故选 C. 16.从 4 名男生和 3 名女生中任选 4 人参加座谈会,若这 4 人必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有( )种 A、140 B、120 C、35 D、34 【答案】D 【解析】略 17.将 4 个不同的小球放入甲、乙两个盒子中,每盒至少放一个小球,现有不同的放置
1 1 1 2 3 方法,甲列式子: C4 ;丙列式子: 2 ? 1 ;丁列式 C3 ? 22 ;乙列式子: C4 ? C4 ? C4
4

2 2 2 子: C4 A2 A2 ,其中列式正确的是

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A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】B 【解析】 18.异面直线 a 与 b,在直线 a 上取 4 个点,在直线 b 上取 n 个点,以这些点为顶点构成 96 个三角形,则 n 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B
1 2 2 1 【解析】依题意可得 Cn C4 ? Cn C4 ? 96 ,

即 6n+2n(n-1)=96,得 n=6. 19.随机变量 ξ ~B(100,0.3),则 D(3ξ -5)等于 A.62 B.84 C.184 D.189 【答案】D 【解析】





试 题 分 析 : ξ ~ B ( 100 , 0.3 ) ? D ?? ? ? 100 ? 0.3? 0.7 ? 21 , D ( 3ξ -5 )

? 9D ?? ? ? 189
考点:二项分布方差 20.用数字 0,1,2,3 可以构成没有重复数字的偶数共有 A、10 个 B、15 个 C、27 个 D、32 个 【答案】C 【解析】略 21.有下列四个命题:①若事件 A, B 是互斥事件,则 A, B 是对立事件; ②若事件 A, B 是对立事件,则 A, B 是互斥事件; ③若事件 A 是必然事件,则 P( A) ? 1 ; ④若事件 A, B 是互斥事件,则 P( A ? B) ? 1 ; 其中正确的命题序号是: (A)①③ (B)②③ (C)①③④ (D)②③④ 【答案】B 【解析】 考点:互斥事件与对立事件. 专题:证明题. 分析:①根据对立事件与互斥事件的定义进行判断,互斥事件:不可能同时发生的两个 事件,对立事件:必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件.所以互斥不一定对立. ②对立事件:必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件,所以两件事对立则一定互斥. ③由必然事件的定义得,必然事件一定发生所以其概率为 1. ④若事件 A,B 是互斥事件,则它们的和事件不一定是必然事件. 解答:解:①由互斥事件与对立事件的定义可知①不正确 ②由互斥事件与对立事件的定义可知②正确 ③由必然事件的定义可得③正确 ④若事件 A,B 是互斥事件,则 P(A∪B)可能等于 1 也可能比 1 小.故④错误. 故选 B. 点评:本题主要考查对立事件和互斥事件的关系,不可能同时发生的两个事件叫做互斥
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事件,其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件.
2 3 22. (理科) 如果 ( ? x ) 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x2 围

1 x

成图形的面积为( A.

) C.

27 2

B. 9

9 2

D.

27 4

【答案】C 【解析】
k 3? k 2 k k 3 k ?3 试题分析:∵展开式的通项为 Tk ?1 ? C3 ( ) ( x ) ? C3 x ,所以当 3k ? 3 ? 0 时,

1 x

? y ? 3x 1 k ? 1。 即常数项为 a ? C3 所以直线方程为 y ? 3x , 由? 得 x ? 0 或 x ? 3, ? 3, 2 ?y ? x
所以曲线所围成图形的面积为

?

3 1 (3x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) 0 2 3
3

3 0

?

9 ,选 C. 2

考点:本题考查了二项式的展开式及定积分的运用 点评:熟练运用二项式的展开式处理常数项问题及利用定积分求曲线围成的面积,是此 类问题的常用方法 23.设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 . 随机变量 ? 1 取值 x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 的概率均为 0.2,随机变量 ?2 取值
x3 ? x 4 x 2 ? x3 x1 ? x 2 x5 ? x1 x 4 ? x5 、 2 、 2 、 2 的概率 2 2 、

也为 0.2.若记 D?1 、 D?2 分别为 ? 1 、 ?2 的方差,则 ( A. D?1 > D?2 B. D?1 = D?2 C. D?1 < D?2 D. D?1 与 D?2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意可知 E ??1 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? , 5



1? x ? x x ? x x ? x x ? x x ? x ? 1 E ? 2 ? ? 1 2 ? 2 3 ? 3 4 ? 4 5 ? 5 1 ? ? ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 5? 2 2 2 2 2 ? 5

? ?
















2



m

2 ?? x1 ? x2 ? x ? x 1? 1 2 2 ? ? ? 5 1 ? D ??1 ? ? ? x1 ? m ? ? ?? x5 ? m ? ? , D ?? 2 ? ? ?? ? m ? ? ?? ? m? ? ? 5? 5? ? ? 2 ? ? ?? 2 ?

? 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105
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? D?1 > D?2
考点:分布列期望方差 24.
n?1 n ?2 ?1 9.设n为偶数,则 8n ? C1 ? C2 ? ? ? Cn 10整除的余数是( n8 n8 n 8被



A.0. 【答案】C 【解析】略

B.1.

C.2.

D.-1.

25.设随机变量 X 服从二项分布 B(4, 0.8) ,且 E ( X ) ? 【答案】3.2



【解析】解:因为随机变量 X 服从二项分布 B(4, 0.8) ,则 E ( X ) ? 4 ? 0.8 ? 3.2 26.如图所示,在 A、B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致路不通.今发现 A、B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有( )种. A.9 B.11 C.13 D.15

【答案】C 【解析】一个不通导致线路不通的有2种,两个焊接点脱落导致线路不通的有 三个焊接点脱落导致线路不通的有 故总有 种. , 则 P3 0 ( 种,

种,四个焊接点都脱落导致线路不通只有1种,

27. 随机变量 ? 服从正态分布 N (40, ? 2 ) , 若 P(? ? 3 0 ) 2 0 . ? A. 0.2 【答案】 C 【解析】 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8

?? 5 0 ? )

? ( )

试题分析:根据题意,由于随机变量 ? 服从正态分布 N (40, ? 2 ) ,若 P(? ?30) ? 0.2 则可知 P(30 ? ? ? 50) ? 1-0.4=0.6,故可知答案为 C. 考点:正态分布



?x a ? 28.若 ? ? ? 展开式中的常数项是 60 ,则实数 a 的值是 x? ?2
(A) ?1 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 (B) ? 2 (C) ?2 (D) ?2 2

6

?x a ? ?2? ? x? ?

6















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? x? Tr ?1 ? C ? ? ?2?
r 6

6?r

? a ? r ?1? ?? ? ? ? ?a ? ? 2 ? x? ? ? ?
r?4

r

6?r

C x

r 6

6?

3r 2

6?

3r ?0 2
2

得 :

, 所 以 常 数 项 为 第 五 项 , 且 有

4 1? 4 4 ? ?a ? ? ? ? C6 ? 60 ? a ? 16 ? a ? ?2 ? 2?

故选 C. 考点:二项式定理. 29. n∈N 且 n<55,则乘积(54-n) (55-n) (56-n)……(69-n)等于()
?n 16 16 15 A、A 54 69 ? n B、A 69 ? n C、A 54 ? n D、A 69 ? n

【答案】B 【解析】略 2 9 2 11 30. 设(x +1)(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +?+a11(x+2) , 则 a0+a1+a2+?+a11 的值为 ( A.2 B.-1 C.1 D.-2 【答案】D 9 【解析】令 x=-1 得 (1+1)(-1) =a0+a1+a2+?+a11,∴a0+a1+a2+?+a11=-2,故选 D 31. 某班选派 6 人参加两项公益活动, 每项活动最多安排 4 人, 则不同的安排方法有 ( A.50 种 B.70 种 C.35 种 D.55 种 【答案】A 【解析】 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 当两项活动分别安排 2,4 时,有 C62A22=30 种结果, 当两项活动都安排 3 个人时,有 C63=20 种结果, ∴根据分类计数原理知共有 30+20=50 种结果 故选 A.
2





32.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在 (0,2) 内取值 的概率为 0 .8 ,则 X 在 [0,??) 内取值的概率为 A. 0 .9 【答案】A 【解析】 B. 0 . 8 C. 0 .3 D. 0 . 1

试题分析:因为 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,所以正态分布曲线关于 x ? 1 ;又
2

因为 X 在 (0,2) 内取值的概率为 0 .8 ,所以 X 在 (0,1) 内取值的概率为 0 .4 ,所以 X 在

[0,??) 内取值的概率为 0.4 ? 0.5 ? 0.9 .
考点:正态分布曲线的特点及意义. 33.若二项式 ( x ? 则 a 的值是 【答案】2 【解析】 .

a 6 ) (a ? 0) 的展开式中 x3 的系数为 A ,常数项为 B ,若 B ? 4 A , x

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试 题 分 析 : Tr ?1 ? C x
r 6
2 A ? C6 (?a)2 ,

6? r

3 6? r a r 3 r r (? ) ? C6 (?a) x 2 , 令 6 ? r ? 3 , 即 r ? 2 , ∴ 2 x

令6?

3 4 2 4 r ? 0 ,即 r ? 4 ,∴ B ? C6 (?a)4 ? 4C6 (?a)2 ,∴ (?a)4 ,∴ B ? 4 A ? C6 2

a ? 2.
考点:二项式定理.
34.高三某班有 60 名学生(其中女生有 20 名) ,三好学生占

1 ,而且三好学生中女生占一 6

半,现在从该班任选一名学生参加座谈会,则在已知没有选上女生的条件下,选上的是三好 学生的概率是( (A) )

1 6

(B)

1 8

(C)

1 10

(D)

1 12

【答案】B

5 P( AB ) 60 1 【解析】 P( B | A) ? ? ? ,故选 B。 40 8 P( A) 60

1? ? 35.在 ? x 2 ? ? 的展开式中系数最大的项是( x? ?
A.第 6 项 C.第 4、6 项 【答案】D 【解析】略 B.第 6、7 项 D.第 5、7 项

10



36.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (3, ? ) ,则 P(? ? 3) =(
2



A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【答案】D 【解析】 试题分析:正态密度曲线关于 x ? 3 对称,所以 P?? ? 3? ? 0.5 . 考点:正态分布
3 37.已知 ( x ? 1) (ax ? 1) 的展开式中, x 的系数为 56,则实数 a 的值是 (

6

2



A.6 或 5 B.-1 或 4 C.6 或-1 D.4 或 5 【答案】C 【解析】略 38.记者要为 3 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但 不排在两端,不同的排法共有( ) A.120 种 B.48 种 C.24 种 D.12 种 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 2 位老人不排在两端,所以从 3 名志愿者中选 2 名排在两端,因为 2 位 老人相邻,所以把 2 位老人看成一个整体,与其他元素进行排列,注意整体之间的排
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列.解:可分 3 步.第一步,排两端∵从 3 名志愿者中选 2 名有 A3 =6 种排法,第二步,
2 ∵2 位老人相邻, 把 2 个老人看成整体, 与剩下的 1 名志愿者全排列, 有 A2 =2 种排法,

2

第三步, 2 名老人之间的排列, 有 A2 =2 种排法,最后, 三步方法数相乘, 共有 6×2×2=24 种排法,故选 C 考点:排列组合的运用 点评:本题主要考查了有限制的排列问题的解决,掌握这些常用方法.
2 5 39.设 ? 2 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a5 x ,那么 5

2

a0 ? a2 ? a4 的值为( ) a1 ? a 3
D. ?1

A. ?

122 121

B. ?

61 60

C. ?

244 241

【答案】B 【解析】 试题分析: 由于 a5 是二项式 (2 ? x) 展开式中的 x5 的系数,所以 a5 ? ?1 ;
5

令 x ? 1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? (2 ?1)5 ? 1?①; 令 x ? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? (2 ? 1)5 ? 243?② 由①+②得: a0 ? a2 ? a4 ? 122 由①-②得: a1 ? a3 ? a5 ? ?121 ,从而 a1 ? a3 ? ?120 ; 所以

122 61 a0 ? a2 ? a4 ? ?? ?120 60 a1 ? a 3

故选 B. 考点:二项式定理及赋值法. 40. 6 本相同的数学书和 3 本相同的语文书分给 9 个人,每人 1 本,共有不同分法 ( A.C 3 9 【答案】A 【解析】 B.A 3 9
6 C.A 9 3 D.A 3 9 ·A 3



3 试题分析:首先选 3 个不同的人 C9 种方法,分得语文书,再剩下的 6 个人每人一本数 3 学书,因为是相同的数,所以是一种方法,最后是 C9 种方法.

考点:1.组合;2.分组分配. 3 2 41.(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于 A.80 B.40 C.20
5 2

D.10

2 【答案】解析:(1+2x) 的展开式中含 x 的系数等于 C5 (2x)2 ? 40x2 ,系数为 40.答案

选 B。 【解析】略

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?1 ? 42. .二项式 ? ? x x ? 的展开式中含有 x 4 的项,则 n 的一个可能值是( ?x ?
A.6 【答案】A 【解析】略 B.8 C.9 D.10

n



43.某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD (边 长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行 走的单位,如果掷出的点数为 i ( i ? 1,2, ? 6 ) ,则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位, 一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有 A. 22 种 D C B. 24 种 C. 25 种 D. 36 种

A

B

【答案】C 【解析】略 44.设 a, b, m 为整数( m ? 0 ) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同
1 2 20 余,记作 a ? b(mod m) ,已知 a ? 1 ? C20 ,且 a ? b(mod10) ,则 ? 2C20 ? ?? 219 C20

b









( )A.2012 B.2011 C.2010 D.2009 【答案】B 【解析】此题考查同余的知识 思路:虽然同余的知识没有学过,但是题目中给出了同余的概念,只要能够理解同余的 概念,根据概念去解答试题。
1 2 20 2a ? 1 ?1 ? 2C20 ? 22 C20 ? ?? 220 C20 ? 1 ? (1 ? 2)20 ? 1 ? 320 ,因为 320 的尾数为 1,

所以 2 a 的尾数为 2, a 的尾数为 1,? a ? 10 ? n ?1 只有 2011 ?10 ? 201?1 所以选 B 答案 B 45. 已知等式 x ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 ,
4 3 2

定义映射 f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (4,3, 2,1) ? ( A. (1, 2,3, 4) 【答案】C 【解析】 试题分析: B. (0,3, 4,0) C. (0, ?3, 4, ?1)



D. (?1, 0, 2, ?2)

3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 a1 ? C4 ? b1C3 , a2 ? C4 ? b1C3 ? b2C2 , a3 ? C4 ? b1C3 ? b2C2 ? b3 , a4 ? C4 ? b1C3 ? b2C2 ? b3 ? b4

,

试卷第 11 页,总 27 页

即 a1 ? 4 ? b1 , a2 ? 6 ? 3b1 ? b2 , a3 ? 4 ? 3b1 ? 2b2 ? b3 , a4 ? 1 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 , 令

a1 ? 4 ? b1 ? 4, a2 ? 6 ? 3b1 ? b2 ? 3, a3 ? 4 ? 3b1 ? 2b2 ? b3 ? 2, a4 ? 1 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 1
, 解得 b1 ? 0, b2 ? ?3, b3 ? 4, b4 ? ?1 ,所以 f ? 4,3,2,1? ? ? 0, ?3,4, ?1? .故 C 正确. 考点:1 二项式定理;2 映射. 46.设随机变量 X~N(0,1) ,已知 P( X ? ?1.96) ? 0.025 ,则 P( X ? 1.96) ? ( )

A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 【答案】C 【解析】略 47.5 名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传,每个地方至少去一名 形象大使,则不同的分派方法共有( ) 种 ( ) A.25 B.50 C.150 D.300 【答案】D 【解析】 48.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专题 讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方 法共有 ( ) A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种 【答案】B 【解析】 试题分析:先将语文、数学、英语、理综 4 科分成 3 组,每组至少 1 科,则不同的分法
2 种数为 C4 ,其中数学、理综安排在同一节的分法种数为 1,故数学、理综不安排在同 2 3 一节的分法种数为 C4 -1,再将这 3 组分给 3 节课有 A3 种不同的分配方法,根据分步计 2 3 数原理知,不同的安排方法共有( C4 -1) A3 =30,故选 B.

考点:分步计数原理,排列组合知识

二、填空题(题型注释) 49. 在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有_____ 个. 【答案】192
1 1 2 【解析】个位数字不能为 0 和 5,千位数字不能为 0,故有 C4 C4 A4 ? 192 个

50.甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两 组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 种 (用数字作答) 【答案】345 【解析】

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51.在 x(

x 2 6 ? ) 的展开式中, x 3 的系数等于 2 x



【答案】 ?

3 8
5 ,则 P(Y ? 1 )=___________. 9

【解析】略 52.设随机变量 X~B(2,p),Y~B(3,p),若 P(X ? 1 )= 【答案】 1 ? 2i 【解析】解:∵随机变量服从 X~B(2,P) , ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C2 (1-P) =
0 2

7 , 16

∴1-P=

3 1 ∴P= 4 4
2 3

∴P(Y=2)=C

(

1 2 3 9 )× = 4 4 64

故答案为:

9 64

53. 设 (2x ? 3)10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a10 ( x ? 1)10 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ? + a10 = 【答案】1 【解析】略 54. x ? 2 x
3



?

?

7

的展开式的第 4 项的二项式系数是



【答案】35.
3 【解析】第 4 项的二项式系数为 C7 ?

7?6?5 ? 35 . 3? 2

55.武汉臭豆腐闻名全国, 某人买了两串臭豆腐, 每串 3 颗(如图) .规定:每串臭豆 腐只能至左向右一颗一颗地吃, 且两串可以自由交替吃.请问:该人将这两串臭豆腐吃 完, 有 种不同的吃法. (用数字作答) A D B E C F

【答案】20 【解析】 试题分析:将思路转化一下: ,总共要吃 6 口,选 3 口给第一串的 3 颗臭豆腐,顺序不 变,剩下的 3 口给第二串,顺序不变,因此 C6 C3 ? 20
3 3

考点:排列组合 点评:本题学生不易找到入手点:将 6 口转化为顺序不变的两个 3 口问题
试卷第 13 页,总 27 页

56.将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号 l,2,?,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种. 【答案】 31 【解析】 试题分析:任意排放共有
8 A8 ? 70 种 , 红 球 编 号 与 黑 球 编 号 相 等 的 情 况 4 4 A4 ? A4

2 1 (1,8),(2,7),(3,6),(4,5) ,有 C4 ? 6 种; (3,5, 2,8),(1, 4,6,7) 有 C2 ? 2 种,所以红球的

编号之和小于黑球编号之和的排法有

70 ? 6 ? 2 ? 31 . 2

考点:排列组合. 4 3 57. (a+x) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a=_________ 【答案】2
r 4? r r 3 4?3 【解析】?Tr ?1 ? C4 a x ,?r ? 3时,C4 a =8, ?a ? 2.

【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解 能力 58. 【答案】60 的展开式中的常数项为_______.(用数字作答)

TR?1 ? C6R
【解析】 故常数项=

? x?

6? r

3? ? 2? 3r r r ? ? ? ? C6 (?2) x 2 3? ?0 2 ? x? ,令 ,得 r ? 2 。

r

3r

2 C6 (?2) 2 ? 60

59. 由 1,4,5, x 可组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各位数字之 和为 288,则 x = . 【答案】2 【解析】略 60 .安排 3 名支教教师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有 种. (用数字作答) 【答案】 210 【解析】略 61.有 A、B、C、D、E 五位同学参加比赛,决出了第一到第五的名次。A、B 两位学生 去问成绩,老师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对 B 说:你是第三名. 请你分析一下,这五位同学的名次排列的种数为 ; 【答案】18 【解析】
3 试题分析:实质是 A,C,D,E 进行排位,先排 A,有 3 种排法,C,D,E 进行全排列,有 A3 ? 6

种排法,因此共有 3 ? 6 ? 18 种排法. 考点:排列组合
3 2 6 62. (3 x ? 1)( x ? ) 的展开式中常数项为

1 x

【答案】-33

试卷第 14 页,总 27 页

r r 12 ?3 r ( x 2 ? ) 6 展开式通项为 T ? C6 ( x 2 )6? r (? ) r ? (?1) r C6 x 【解析】 , 令 12-3r=0 得:

1 x

1 x

5 4 r=4,它的常数项是 (?1)4 C6 r=5,它的 x ?3 项系数为: (?1)5 C6 ? ?6 ; ? 15, 令 12-3r=-3 得:
3 2 6 故 (3 x ? 1)( x ? ) 的展开式中常数项为: 3 ? (?6) ? (?1) ?15 ? ?33

1 x

2 63. .已知 A 2 n =7A n ? 4 ,则 n=



【答案】7 【解析】略 64.已知 X ~ N (?1, ? 2 ),若P(?3 ? X ? ?1) ? 0.4, 则P(?3 ? x ? 1) ? .

【答案】0.8 【解析】略 n 65.二项式(1+sinx) 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值 为

5 ,则 x 在[0,2π ]内的值为________. 2

【答案】

? 5 或 π 6 6
n n-1 n

【解析】二项式(1+sin x) 的展开式中,末尾两项的系数之和 Cn +Cn =1+n=7,∴ n=6,系数最大的项为第 4 项,T4=C6 (sin x) =
3 3

5 1 1 3 ,∴(sin x) = ,∴sin x= , 2 8 2

又 x∈[0,2π ],∴x=

? 5 或 π. 6 6

66.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每 位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有种 . (用数字作答) 【答案】10 【解析】 试题分析:本题是一个分类计数问题,一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就
2 行了 4 种,另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 种,根据分类

计数原理得到结果; 由题意知本题是一个分类计数问题,一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行
2 了 4 种,另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 =6 种,根据分类

计数原理知共 10 种,故答案为:10. 考点:计数原理的应用
8 7 67.设 ? x ? 2 ? ? a8 x ? a7 x ? ? a1 x ? a0 ,则 a8 ? a7 ? ? ? a0 = 8



【答案】 3 【解析】

8

试题分析:

a0 , a1, a2 ,?, a8 中 正 负 相 间 , 当 然 我 们 可 以 通 过 令 x ? ?1 求 出
试卷第 15 页,总 27 页

a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 和 a1 ? a3 ? a5 ? a7 , 此 题 我 们 还 可 以 用 另 外 一 种 方 法 , 设

( x ? 2)8 ? b8 x8 ? b7 x7 ? ?? b1x ? b0





b0 ,

b1 , ? b2 ,

全 , b8为





a2i ?1 ? ?b2i ?1 (i ? 1, 2,3, 4) , a2i ? b2i (i ? 0,1, 2,3, 4) ,所以 a8 ? a7 ?? ? a0 ?
b8 ? b7 ? ? ? b0 ? 38 .
考点:二项展开式的系数. 68 .若 为
2 3 4 a ? ?6 ,则实数 m 的值 x(1? mx)4 ? a a 5x 1 x? a 2 x ? a 3 x? a 4 x? 5 ,其中 2



a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值为

.

【答案】

3 2

1 , 16
4

【解析】利用二项展开式的通项求出(1-mx) 中 x 的指数为 1 的系数,然后求出 m 的 值;在展开式中给 x 赋值 1 求出展开式的系数和. 4 r r r 解答:解:由题意(1-mx) 的展开式的通项为 Tr+1=(-m) C4 x 令 r=1 得 a2=-4m,因为 a2=-6,所以-6=-4m, 解得 m=

3 . 2 3 4 ) =a1+a2+a3+a4+a5 2

在展开式中令 x=1 得(1即 1/16=a1+a2+a3+a4+a5 故答案为:

3 ;1/16. 2

三、解答题(题型注释) 69.在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6 只果蝇的笼子里,不 慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开 一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到 两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ 表示笼 .. 内还剩下的果蝇 的只数. ..... (Ⅰ)写出ξ 的分布列(不要求写出计算过程) ; (Ⅱ)求数学期望 Eξ ; (Ⅲ)求概率 P(ξ ≥Eξ ). 【答案】 (Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

6

7 28

6 28

5 28

4 28

3 28

2 28

1 28

2 (1? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4) ? 2 . 28 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 15 ? (Ⅲ)所求的概率为 P(? ≥ E? ) ? P(? ≥ 2) ? . 28 28
(Ⅱ)数学期望为 E? ?
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【解析】本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、 数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力. . 70. (本题满分 10 分)已知 (a ? 1) 展开式中的各项系数之和等于 (
2 n 2 n

16 2 1 5 x ? ) 的展 5 x

开式的常数项,而 (a ? 1) 的展开式的系数最大的项等于 54,求 a 的值 【答案】

【解析】略 71.在 10 件产品中有 2 件次品,连续抽 3 次,每次抽 1 件,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数 ? 的分布列; (2)放回抽样时,抽到次品数? 的分布列. 【答案】略 【解析】 (1)P( ? =0)= 所以 ? 的分布列为
3 C8 3 C10

=

C1 C 2 7 C1 C 2 1 7 ,P( ? =1)= 2 3 8 = ,P( ? =2)= 8 3 2 = , 15 15 15 C10 C10

?
P
( 2 ) P(? ? k ) ? C3 ? 0.8
k 3?k

0
7 15

1
7 15

2
1 15

0 ? 0.2k (k ? 0,1,2,3) , P(? ? 0) ? C3 ? 0.83 ? 0.512 ,

1 P(? ? 1) ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384



2 P(? ? 2) ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096



3 P(? ? 3) ? C3 ? 0.23 ? 0.008 ,所以? 的分布列为

?

0 0.512

1 0.384

2 0.096

3 0.008

P

72.某体育彩票规定:从 01 至 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元,某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,此人想把这种特殊要求的号买全,至少要花多少钱? 【答案】8640 元
试卷第 17 页,总 27 页

【解析】第一步:从 01 至 10 中选 3 个连续的号码有 01,02,03; 02,03,04;?;08,09,10 共 8 种不同的选法;二步:同理从 11 至 20 中选 2 个连续的自然数有 9 种不同的选法;第 三步:从 21 至 30 中选一个号码有 10 种不同的选法;第四步:从 31 至 36 中选一个号码有 6 种不同的选法.共可组成 8×9×10×6=4320 注.所以需要花费 2×4320=8640 元钱. 73. (本小题满分 13 分) 张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1,L2 两条路线 (如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 ;L2 路线上有 2

B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

3 3 , . 4 5

(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生分析上述两条路线中, 选择哪条上班路线更好些,并说明理由

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

【答案】解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? . 2 2 2 2
所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

1 .???????????3 分 2
????????????4 分

3 3 1 3 3 3 3 9 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 10 4 5 4 5 20 3 3 9 P ( X =2)= ? ? . 4 5 20
随机变量 X 的分布列为: 0 X ???????????????????????7 分

1

2

P

1 10

9 20

9 20

EX ?

1 9 9 27 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? .??????????????????9 分 10 20 20 20

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(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B (3, ) ,

1 2

所以 EY ? 3 ?

1 3 ? . 2 2

???????????????12 分

因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班更好.???????????????13 分 【解析】略 74.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每 名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训 的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的, 且各人的选择相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望. 【答案】见解析 【解析】任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A , “该人参加过计算 机培训”为事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P B) ? P( A)?P(B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 1 ? P( A?
所以该人参加过培训的概率是 P 2 ? 1? P 1 ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P B) ? P( A?B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 3 ? P( A?
该人参加过两项培训的概率是 P B) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 . 4 ? P( A? 所以该人参加过培训的概率是 P 5 ?P 3?P 4 ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 . (II)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ? 服从二项分布
k 1, 2, 3 ,即 ? 的分布列是 B(3, 0.9) , P(? ? k ) ? C3 ? 0.9k ? 0.13?k , k ? 0,

?
P

0 0.001

1 0.027

2 0. 243

3 0.729

? 的期望是 E? ? 1? 0.027 ? 2 ? 0.243 ? 3 ? 0.729 ? 2.7 .
(或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.9 ? 2.7 )

75.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不 同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

试卷第 19 页,总 27 页

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ,求随机变 量 ξ 的分布列. 【答案】(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C250=1225. 选出 2 人使用版本相同的方法数为 2 2 2 C20 +C2 15+C5+C10=350, 350 2 故 2 人使用版本相同的概率为:P= = . 1225 7 C215 3 (2)∵P(ξ=0)= = , C235 17 C120C115 60 C220 38 P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = , C235 119 C235 119 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 3 17 1 60 119 2 38 119

【解析】略 76.如何对语文、数学、英语、物理、化学、生物、地理、历史、政治这 9 门课程进行 分类? 【答案】见解析 【解析】 解: 可供选取的分类指标有很多, 例如可以从: 高考所考查的文、 理进行分类; 也可以由综合、与分科进行分类。如我们采用第二种分类标准时,可以将语文、数学、 英语分为一组;将物理、化学、生物分为第二组;将地理、历史、政治分为第三组等。
1 n?1 2 n ?2 n?1 77. (12 分)已知 Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ??? Cn ? 2 ?1 ( n ? N ? ) .

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除. 【答案】略
1 n?1 2 n ?2 n?1 【解析】∵ Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ?? Cn ? 2 ?1 ? (2 ?1)n ? 3n …………2 分
n ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1

……………………… ………4 分

* 2k ∵ n 为偶数,不妨设 n ? 2k ( k ? N ) ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 8k ? 1 ? (8 ? 1)k ? 8k ?1

1 k ?1 ? Ck0 8k ? Ck 8 ? ?? Ckk ?18 ? 1 ? 8k ?1 1 k ?1 ? ( Ck0 8k ? C8 8 ? ? ? Ck2 ) ? 82 ( ? )………………………………8 分

(1)当 k ? 1 时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除,……………………10 分 (2)当 k ? 2 时, ( ? )式能被 64 整除. ………………………………11 分

故当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除. ………………………………12 分 78. (本小题满分 12 分) 5 个人排成一排,按下列要求各有多少种不同的排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾;
试卷第 20 页,总 27 页

(2)其中甲、乙 2 人必须相邻; (3)其中甲、乙 2 人不能相邻; (4)其中甲、乙中间有且只有 1 人; (5)其中甲只能站在乙的左侧. 【答案】 (1) (捆绑法) 将甲、 乙二人绑在一起作为一个元素与其他 3 个元素作全排列,
4 2 4 2 共有 A4 种,甲、乙内部有 A2 种排法,故共有 A4 =48 种. A2

3分

3 (2) (插空法)先将甲、乙 2 人之外的 3 人排好,有 A3 种排法,这三人之间及两端形 2 2 3 成四个空位,再将甲、乙插入到这 4 个空中去,有 A4 种排法,故共有 A4 =72 种. A3

3分
2 1 (3)甲、乙二人有 A2 种排法,再从剩下的 3 人中选 1 人插入他们之间,有 A3 种方法, 3 2 3 1 然后将这三人看作一个元素,和其他 2 个元素做全排列,有 A3 种,故共有 A2 =36 A3 A3

种.
5 2 (4)五个人的全排列为 A5 种,这些排列中甲、乙的不同顺序的排法有 A2 ,但只有一
5 A5 =60 种 2 A2

种是符合要求的,故满足条件的排法有

【解析】略 79..(本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 12 只,其中有 9 只合格品, 3 只次品. ( 1 ) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次, 每次取一只灯泡, 求“ 3 次中 2 次 取到次品”的概率; ( 2 ) 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡, 若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求“成功更换 会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数 X ”的分布列和数学期望.
1 C3 1 ? , 1 C12 4

【答案】解:(1)每次取到一只次品的概率 P 1 ?

2 2 则有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品的概率 P ? C3 ( ) (1 ? ) ?

1 4

1 4

9 . 64

(2)依题知 X 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 . 且 P ( X ? 0) ?

9 3 ? , 12 4 3 9 9 P( X ? 1) ? ? ? , 12 11 44 3 2 9 9 P ( X ? 2) ? ? ? ? , 12 11 10 220 3 2 1 9 1 P( X ? 3) ? ? ? ? ? 12 11 10 9 220

则 X 的分布列如下表:

试卷第 21 页,总 27 页

【解析】略 80.某高校在 2014 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组: 第 1 组[75, 80), 第 2 组[80, 85), 第 3 组[85, 90), 第 4 组[90, 95), 第 5 组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二 轮面试, (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮 面试的概率; (ⅱ)学校决定在这已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 L 的面试,设第 4 组中有 ? 名学生被考官 L 面试,求 ? 的分布列和数学期望. 频率 组距

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

75

80

85

90

95

100



【答案】 (1)第 3,4,5 组的频率分别为 0.3,0.2,0.1 ; (2) (ⅰ) (ⅱ)

27 , 145

?
P

0
2 5 2 . 3

1

2

8 15

1 15

E (? ) ?

【解析】 试题分析: (1)频率分布的直方图的纵坐标是频率除以组距,了解这一点,就能正确地 求出第 3,4,5 组的频率; (2) (ⅰ)通过分析得出问题的实质就是在第 3 组 30 名学生 中选 3 人进入面试,其中的甲、乙两人中恰好有一人被选中,这样其概率计算就不难得 到, (ⅱ)6 名学生中有 2 名是第 4 组中的学生,从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受
试卷第 22 页,总 27 页

考官 L 的面试,设第 4 组中有 ? 名学生被考官 L 面试,则 ? 服从超几何分布,由超几何 分布的概率计算公式,易得 ? 的分布列和数学期望. 试题解析: (1)第三组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ;第四组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ;第五 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 . (2) (ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件 A ,第三组应有 3 人
1 2 C2 ? C28 27 进入面试,则: P( A) ? ; ? 3 C30 145

( ⅱ ) 第 四 组 应 有 2 人 进 入 面 试 , 则 随 机 变 量 ? 可 能 的 取 值 为 0 , 1, 2 且

P(? ? i) ?

i 2 ?i C2 ? C4 (i ? 0,1, 2) ,则随机变量 ? 的分布列为: 2 C6

?
P

0
2 5

1

2

8 15

1 15

2 8 1 2 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3
考点:1.统计中的频率分布的直方图;2.随机变量的概率分布及数学期望计算. 81.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、 一个公益广告, 要求最后播放的不能是商业广告, 且宣传广告与公益广告不能连续播放, 两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式? 【答案】108 【解析】 试题分析: (1)排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关,如果两个组合中的元素完 全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全 相同,才是不同的组合; (2)排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合,复杂 的问题往往是先选后排,有时是排中带选,选中带排; (3)对于排列组合的综合题,常 采用先组合(选出元素) ,再排列(将选出的这些元素按要求进行排序) 试题解析:用 1、2、3、4、5、6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法. 第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2 、 4 、 6 .分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1 、 4 、 6 ,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、3、6,同样分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 由分类加法计数原理得:6 个广告不同的播放方式有 36+36+36=108 种. 考点:排列组合的综合应用. 82.有甲,乙两班进行数学考试,按照大于等于 80 分为优秀,80 分以下为非优秀统计 成绩后,得列联表,已知全部 100 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 15 非优秀 合计

2 , 5

试卷第 23 页,总 27 页

乙班 合计

25 100

本题可以参考独立性检验临界值表

(1)请完成上面的列联表; (2) 根据列联表中数据, 若按 95%的可靠性要求, 能否认为“成绩优秀与班级有关系”? 【答案】 (1)详见解析; (2)有 95%的把握认为“成绩与班级有关 【解析】 试题分析: (1)由 100 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为

2 ,我们可以计算出优秀人数 5

为 40,易得到表中各项数据的值. (2)我们可以根据列联表中的数据,代入公式,计 算出 k 值,然后与临界值,比较即可得到答案. 试题解析:解: (1)优秀的学生人数为 100 ? 优秀 甲班 乙班 合计 15 25 40 非优秀 35 25 60

2 ? 40 ,所以列联表为 5

合计 50 50 100

100 ? (15 ? 25 ? 25 ? 35)2 ? 4.187 >3.841,因此有 95%的 (2)根据列联表的数据 k ? 50 ? 50 ? 40 ? 60
把握认为“成绩与班级有关”(4 分) 考点:独立性检验的应用.

m? ? 83.已知 ? x ? ? 展开式的二项式系数之和为 256. x? ?
(1)求 n ; (2)若展开式中常数项为
n

n

35 ,求 m 的值; 8

(3)若 ( x ? m) 展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项,求 m 的取值情况.

【答案】 (1) n ? 8 ; (2) 【解析】

m??

1 2 ; (3) m 只能等于 2.

n 试题分析: (1)根据二项式系数之和为 2 ,得 2 ? 256 ,可求 n ;
n

35 (2)令二项式展开式中未知数的指数为 0,求出第几项,再令该项等于 8 ,即可求 m
的值; (3)若 ( x ? m) 展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项,列出关于 m 的不等式组,
n

试卷第 24 页,总 27 页

即可求出 m 的取值情况. (1)二项式系数之和为 2n ? 256 ,可得 n ? 8 ;
r

4分

(2)设常数项为第 r+1 项,则 故 8-2r=0,即 r=4,

Tr ?1 ? C x
r 8

8? r

?m? r r 8? 2 r ? ? ? C8 m x x ? ? ,

5分

6分



C84 m 4 ?

1 35 m?? 2. 8 ,解得
r ?1 8 r ?1

9分 10 分

(3)易知 m ? 0 ,设第 r+1 项系数最大.

? ?C m ? C m , 8m ? 1 9m ? r r ?r? r ?1 r ?1 ? C m ? C m . 8 m ?1 . 则? 8 化简可得 m ? 1
r 8 r

13 分

由于只有第 6 项和第 7 项系数最大,

? 4? ? ? ? ?6 ? ? 所以 ?

8m ? 1 ?5 ? 5, ? m ? 2, ? ?4 m ?1 ? 9m ?2 ? m ? 7 . ? 7. ? m ?1 2 ,即 ?

15 分

所以 m 只能等于 2. 16 分 考点:二项式定理、最值问题. 84. (本小题满分 10 分) 假定某人每次射击命中目标的概率均为

1 ,现在连续射击 3 次。 2

求此人至少命中目标 2 次的概率; 若此人前 3 次射击都没有命中目标,再补射一次后结束射击;否则。射击结束。记此人 射击结束时命中目标的次数为 X,求 X 的数学期望。 【 答 案 】 ⑴ 此 人 至 少 命 中 目 标 2 次 的 概 率 为

1 . 2



E( X ) ?

1 7 3 1 25 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 16 16 8 8 16

【解析】本试题主要是考查了独立重复试验的事件发生的概率值的求解,以及随机变量 的分布列的问题和数学期望值的求解的综合运用。 (1)根据事件的概念,独立事件的乘法公式得到第一问的求解。 (2)然后结合 n 此独立重复试验的事件发生的概率公式得到各个取值的概率值,进而 得到分布列和期望值。
2 3 ⑴设此人至少命中目标 2 次的事件为 A,则 P( A) ? C3 ? ( )2 ? ( ) ? C3 ? ( )3 ?

1 2

1 2

1 2

1 , 2

即此人至少命中目标 2 次的概率为

1 .????????????????? 4 分 2

1 ? 0 1 3? 1 ?( ) ??( ) ? , ⑵由题设知 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 P( X ? 0) ? ?C3 2 ? 2 16 ? 1 1 7 1 1 3 ? 0 1 3? 1 1 2 P( X ? 1) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ?C3 ?( ) ??( ) ? , P( X ? 2) ? C3 ? ( )2 ? ( ) ? , 2 2 2 ? 2 16 2 2 8 ?

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1 1 3 P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? , ?????????????????????? 8 分 2 8 1 7 3 1 25 从而 E( X ) ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . ????????????10 分 16 16 8 8 16
85.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”,其中“9”可当“6”用,则由这 四张卡片可组成不同的四位数有多少个? 【答案】12
2 2 【解析】 先在后三位中选两个位置填写数字“0”有 C3 种方法, 再排另两张卡片有 A2 种

方法. 又数字“9”可作“6”用,
2 2 ∴四张卡片组成不同的四位数有 2 C3 =12 个 A2

86.一个盒子中装有大小相同的小球 n 个,在小球上分别标有 1,2,3, ? , n 的号码, 1 n 已知从盒子中随机的取出两个球,两球的号码最大值为 的概率为 4 , (Ⅰ)问:盒子中装有几个小球? (Ⅱ)现从盒子中随机的取出 4 个球,记所取 4 个球的号码中,连续自然数的个数的最
? ? ? ? 大值为随机变量 (如取 2468 时, =1;取 1246 时, =2,取 1235 时, =3) ,

(ⅰ)求

P(? ? 3)

? 的值; (ⅱ)求随机变量 的分 布列及均值.

【答案】 (Ⅰ)

1 Cn 1 ?1 ? ? n ? 8. 2 Cn 4

P(? ? 3) ?

(Ⅱ) (ⅰ)
P(? ? 1) ?

1 1 1 1 C2 C4 ? C4 C3 2 ? . 4 C8 7

(ⅱ)
? E? ? 1 ?

5 1 5 1 4 ? ; P(? ? 4) ? 4 ? ; P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ? . 4 C8 14 C8 14 7

1 4 2 1 33 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 14 7 7 14 14

【解析】略 87.已知随机变量 X 的分布列如图:

(1)求 a ; (2)求 P( X ? 4) 和 P(2 ? X ? 5). 【答案】 (1) a ? 【解析】 试题分析: (1)离散型随机变量的分布列具有如下性质:一是 P ,2,3?, n ,二 i ? 0, i ? 1

2 1 4 ; (2) P ? X ? 4 ? ? , P?2 ? X ? 5? ? 5 5 5

试卷第 26 页,总 27 页



(2)欲写出 ? 的分布列,要先求出 ? 的所有取值,以及 ? 取每一个值时的 ? P ? 1;
i ?1 i

n

概率,在写出 ? 的分布列之后,要及时检查所有的概率之和是否为 1,用来判断所求概 率是否正确; (3)掌握两点分布和超几何分布的分布列

2 ; 5 1 (2) P( X ? 4) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5) ? , 5
试题解析:解: (1) 由概率和为 1 求得 a ?

4 P(2 ? X ? 5) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? . 5
考点:离散型随机变量及其分布列的应用 88. (本小题满分 14 分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三 局者获冠军) .对于每局比赛,甲获胜的概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 .如果将“乙获 3 3

得冠军”的事件称为“爆出冷门” .试求此项赛事爆出冷门的概率. 【答案】

17 . 81

【解析】 解: 如果某方以 3 : 1 或 3 : 0 获胜, 则将未比的一局补上, 并不影响比赛结果. 于 是,问题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率” .????(3 分)

2 ?1? 1? 1 ? 乙胜五局的概率为 ? ? ;?(6 分)乙胜四局负一局的概率为 C5 ? ? ? ;??(9 ? 3? ? 3? 3
分)
2 乙胜三局负二局的概率为 C5 ? ? ? ? ? . ??(12 分) 3 2

5

4

?1? ? 3?

?2? ?3?

以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为

17 . ???(14 分) 81

试卷第 27 页,总 27 页


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