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等差数列与等比数列解题技巧


等差数列与等比数列解题技巧
【摘要】在高中数学课程内容中,数列作为离散函数的典型代表之一,不仅在高中数学中具有重要 位置,而且,在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧,在我们高中数学中是很 有必要的. 引言:数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前 n 项 和公式和性质及常见的数列的求和方法. 一、求数列通向公式的方法

1、分析法 通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系,求 出数列的通向公式. 例 1、写出数列的一个通向公式 (1)、0.7,0.77,0.777.0.7777,... 解: (1)原列各项可以写成有数列 (2) 、2,

5 13 33 81 , , , ,... 2 4 8 16

?an ?: 0.9,0.99,0.999,...的每一项除以 乘7得到,而 9

7 7 an ? 1 ? 0.1n 9 9 1 1 1 1 1 (2) 、原数列可改写为 1 ? 0 ,2 ? 1 ,3 ? 2 ,4 ? 3 ,5 ? 4 ,..., 2 2 2 2 2 1 故其通向公式为 a n ? n ? n ?1 2

an ? 1 ? 0.1n , 故原数列的一个通向公式为 bn ?

?

?

例 2、根据下面各个数列的首项和递推公式,写出它的前 4 项并归纳出数列的一个通向公式 (1)、 a1

? 1, an?1 ? 2an ? (n ? N ? ) ; (2)a1 ? 1, an?1 ?

2an (n ? N ? ) an ? 2

解:分析:写出前 4 项,找出规律,然后归纳出通向公式. (1)、由已知,得

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 1 ? 3

a3 ? 2a2 ? 1 ? 7, a4 ? 2a3 ? 1 ? 15,
即 a1

? 2 ?1, a2 ? 22 ?1,

a3 ? 23 ?1, a4 ? 24 ?1,
故数列的一个通向公式为 an

? 2n ?1(n ? N ? )
1

(2)、由已知,得 a1

? 1, a2 ?

2a1 2 ? , a1 ? 2 3

a3 ?

2a3 2a2 1 2 ? , a4 ? ? , a2 ? 2 2 a3 ? 2 5

2 2 1 2 2 , a2 ? , a3 ? ? , a4 ? . 2 3 2 4 5 2 (n ? N ? ) 故数列的一个通向公式为 an ? n ?1
即 a1

?1?

注:上述题设给出,数列的前 n 项或给出递推公式和初始条件,分析数列的特征,找出规律,写出通 向公式. 2、待定系数法 例 1、已知数列 向公式. (1)、 a1 、 、 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7; (2) a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 8; (3) a1 ? 3, a2 ? a3 ? 0.

?an ?的通向公式是关于 n 的二次多项式,按照下列条件,写出数列 ?an ?的一个通

分析:设出 an

? an2 ? bn ? c, 然后将 a1、a2、a3 代入求出系数 a、b、c, 即得通向公式.

?a ? b ? c ? 1, ?a ? 1, ? ? 解: 、 an ? an ? bn ? c, 依题意,得 ?4a ? 2b ? c ? 3, 解得 ?b ? ?1, (1) ?9a ? 3b ? c ? 7, ?c ? 1, ? ?
2

? an ? n2 ? n ? 1.
?a ? b ? c ? 2, ?a ? 1, ? ? (2)、设 an ? an ? bn ? c, 依题意,得 ?4a ? 2b ? c ? 4, 解得 ?b ? ?1, ?9a ? 3b ? c ? 8, ?c ? 2, ? ?
2

?an ? n2 ? n ? 2.
(3)、? a2 设 ? a3 ? 0,?2、 3是方程an ? 0的两个根。 an ? a(n ? 2)(n ? 3),

3 ?当n ? 1时, a1 ? 3,? a ? , 2 3 ? an ? (n ? 2)( n ? 3). 2
2

注:由 n 个独立条可确定 n 个参数的值,因此,当已知数列

?an ?中 m 项数值时,可设通项为(m-1)

次多项式,并应用待定系数法,求出这一多项式个项系数的值,进而写出 an 的表达式。 3、换元法 换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式,构造出等差数列或等比数列,这种被构造出来的数 列称为辅助数列,借助辅助数列便可求得原数列的通向公式. 例 1、已知数列 分析:将 an? 2

?an ?中, a1 ? p, a2 ? q, 且an?2 ? 2an?1 ? an ? d , 求数列 ?an ?的通向公式.

? 2an?1 ? an ? d 变形为 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? d , 换元后转化为求等差

数列的通向公式. 解:将已知条件改写为 (an?2 令 un 数列

? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? d ,

? an?1 ? an , 则un?1 ? un ? d.

?u n ?是以 u1 ? a2 ? a1 ? q ? p 为首项,公差为 d 的等差数列,

? un ? u1 ? (n ? 1)d ? (q ? p) ? (n ? 1)d . 又a2 ? a1 ? u1 , a3 ? a2 ? u2 , a4 ? a3 ? u3, ...,an ? an ?1 ? un ?1 ,
将上述(n-1)个式子相加,得:

1 an ? a1 ? u1 ? u2 ? ? ? un ?1 ? (n ? 1)(q ? p) ? (n ? 1)(n ? 2)d 2
1 ? an ? p ? (n ? 1)( q ? p) ? (n ? 1)( n ? 2)d . 2
例 2、数列

?an ?满足a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1, 求数列?an ?的通向公式。
? 2an ? 1变形为an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 转化为求等比数列的通向公式.

分析:将 an?1 解:? an?1

? 2an ? 1 ?an?1 ? 1 ? (an ? 1 . , 2 )

令un ? an ? 1, 则un?1 ? 2un , u1 ? a1 ? 1 ? 2,
? 数列 ?u n ?是以 u1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.
3

?un ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,即an ?1 ? 2n ,?an ? 2n ?1.
4、累加法 例 1、求数列

?an ?:6,9,14,21,30,...的通向公式. ?bn ?:3,5,7,9,...是首项为 3,

分析:观察数列的特征,后面一项减去前面一项的差组成的数列 公差为 2 的等差数列,故可先求出数列

?bn ?的通向公式,再推出 ?an ?的通向公式. ?bn ?,则 bn ? 2n ? 1 ,

解:设原数列中相邻两项(后项减去前项)的差所组成的数列 显然, a2

? a1 ? b1 ? 3, a3 ? a2 ? b2 ? 5, a4 ? a3 ? b3 ? 7,?, an ? an?1 ? bn?1 ? 2n ?1,

各式相加,得:

an ? a1 ? 3 ? 5 ??? 2n ?1 ? n2 ?1, ?an ? 6 ? n2 ?1 ? n2 ? 5.
5、乘约法 例 1、已知数列

?an ?满足 an?1 ? 2n an ,且 a1 ? 2 ,求通向公式 an .
an ?1 ? 2 n ,当 n ? 1,2,3,...,(n-1)时得到 an
n-1 个关系式,将这

分析:由 an?1

? 2n an 得

n-1 个关系式连乘可得 an 的通向公式.

解:由 an?1

? 2n an 得

an ?1 ? 2n , an

当n

? 1 时,有

a a a2 a ? 2, 3 ? 22 , 4 ? 23 ,? n ? 2n?1 , a1 a2 a3 an ?1

将以上各式左右两端分别相乘得 an 又 a1 也满足上式,

? 21?2???( n?1) a1 ? 2

n ( n ?1) 2

?2 ? 2

n ( n ?1) ?1 2



??an ? 的通向公式为 n ? 2 a

n ( n ?1) ?1 2

.

注:必须对 a1 进行验证,若 a1 满足关系式,则统一写成 an 的形式;若 a1 不满足,要写成分段形式. 6、构造数列法 4

由已知递推公式进行变形,构造出新的等比数列,然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出 通向公式. 例 1、已知数列

?an ? 满 足 ?

?a1 ? b, ?an?1 ? can ? d

其中

c ? 0,1. 证 明 这 个 数 列 的 通 向 公 式 是

an ?

bcn ? (d ? b)c n ?1 ? d . c ?1

分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明. 证法 1(累加法)? an?1

? can ? d ,两边同除以 c n ?1 得:

an ?1 an d ? n ? n ?1 , n ?1 c c c
当n

? 1 时,有: an an ?1 d a2 a1 d a3 a2 d ? ? 2 , 3 ? 2 ? 3 ,? , n ? n ?1 ? n 2 c c c c c c c c c

,

将以上各式分别相加,得

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 an a1 1 1 1 c ? ? d ( 2 ? 3 ?? ? n ) ? d c n 1 c c c c c , 1? c
bcn ? (d ? b)c n ?1 ? d . ? an ? c ?1
证法 2: (构造法)设 an?1 由待定系数法可得:

? can ? d 可化为 an?1 ? r ? c(an ? r ) ,

an ?1 ?

d d ? c ( an ? ), c ?1 c ?1

可知数列 ?an

? ?

?

d d ? 为首项,以 c 为公比的等比数列, ? 为以 b ? c ?1 c ? 1?

? an ?

d d ? (b ? )c n ?1 , c ?1 c ?1

? an ?

bcn ? (d ? b)c n ?1 ? d . c ?1

7、递推法 例 1、已知数列

?an ?中, a1 ? 2 , an?1 ? (

2 ?1)(an ? 2) , n ? 1,2,3,?, 求 ?a n ?的通向公
5

式; 解:? an?1

? ( 2 ?1)(an ? 2) ,

?an ? ( 2 ?1)an?1 ? (2 2 ? 2)
?
?

?

2 ?1

? ??

2 ?1 an?2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2

?
?

2 ? 1 an ? 2
2 ?1

?

2

?? ? ? ? ? 2 ? 1??2 2 ? 2?? ?2 2 ? 2? ? ?
? ? ?
2 ?1 ?

??

?

?

n ?1

a1 ? 2 2 ? 2 ?1 ? ? ?

? ?

2 ?1 ??

?

2

?

2 ?1

?

n?2

? ? ?

? 2 2 ?1

?
?

?

n ?1

1 ? 2 ?1 ? 2 2 ?1 1? 2 ?1
? 2? 2

?

? ?
?
.

?

n ?1

? 2 2 ?1

?

n ?1

2 ?1

?

n ?1

? 2 ? 2? 2

?

??

2 ?1

?

n ?1

二、简单的递推数列即处理策略 (1)、对 an

? an?1 ? f ?n ?或

an ? f ?n ? 型数列通项的求法可用累加法或乘约法. an?1

(2)、对 an

? Aan?1 ? f ?n? 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法. ? Aan?1 ? Ban 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.

(3)、对 an? 2

(4)对

an ?

Can?1 ? D Aan?1 ? B

型数列通项的求法两边同加上一个常数,这个常数是方程

Ax2 ? ?C ? B?x ? D ? 0 的根,然后构造数列求解.
(5)、对

f ?an , sn ? ? 0 型数列通项的求法由 an ? sn ? sn?1 ?n ? 2? 代入原关系式中化只含有

an 或 s n 的关系式,然后求解.
1、有关“ a1

? a , an ? an?1 ? f ?n ?或

an ? f ?n ? ”型数列通项公式的求法. an?1
6

例 1、数列

?an ?中, a1 ? 2 an?1 ? an ? cn ( c 为常数, n ? 1,2,3,? )且 a1, a2 , a3 成公比 ,

不为 1 的等比数列. (1)、求 c 的值; 分析: (1)由 a1 , a2 , a3 成等比数列可求出 c ; (2)用累加法可求通向公式. 解(1) a1

? 2 , a2 ? 2 ? c, a3 ? 2 ? 3c ,

因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以

?2 ? c?2 ? 2?2 ? 3c? ,
? 0 或, c ? 2

解得 c 当c

? 0 时, a1 ? a2 ? a3 不符合题意,舍去,故 c ? 2 . ? 2 时,由于 a2 ? a1 ? c, a3 ? a2 ? 2c,?? an ? an?1 ? ?n ? 1?c ,

(2)当 n 所以 an 又 a1

? a1 ? ?1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1??c ?

n?n ? 1? c. 2

? 2 , c ? 2 故 an ? n2 ? n ? 2 ?n ? 2,3,?? .当 n =1 时,上式也成立.

所以 an

? n2 ? n ? 2?n ? 1,2,??.
? a , an ? Aan?1 ? f ?n? ? A ? 0? ”型数列通项公式的求法.

2、有关“ a1 例 1、在数列 (1)、设 bn

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n .
? an 2 n ?1
,证明:数列

?bn ?是等差数列.

(2)、求数列

?an ?的前 n 项和 Sn .

分析:此题可先求出 an ,也可通过变形直接证明,求出 bn ,再求出 an ,进而求出 Sn . (1)证明:? an?1

? 2an ? 2n ,?

an ?1 a ? nn 1 ? 1 n 2 2?

? bn ?
故数列

an 2 n ?1

,?bn?1

? bn ? 1 ,即 bn?1 ? bn ? 1 , b1 ? 1 ,

?bn ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列。
7

(2)解:由(1)知 bn

? n , an ? n2n?1 ,则

Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ?? ?n ?1?? 2n?2 ? n ? 2n?1 , 2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ??? ?n ?1?? 2n?1 ? n ? 2n ,
两式相减,得

Sn ? n ? 2n ?1? 20 ? 21 ??? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1.
3、有关“ a1

? a, a2 ? b , an?2 ? Aan?1 ? Ban ?A、B为常数? ”型数列通项公式的求法.

例 1、已知数列 (1)、设 bn

?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 ? ?1 ? q?an ? qan?1 ( n ? 2 , q ? 0 ).
?

? an?1 ? an ?n ? N

?,证明 ?b ?是等比数列;
n

(2)、求数列

?an ?的通向公式;
? q?an ? an?1 ? ,构造出新的数列可证明 bn 为等比数列,

分析:首先将原关系式变形为 an?1 ? an 且 an 可求. (1)证明:由题设 an?1

,得 ? ?1 ? q ?an ? qan?1 ( n ? 2 )

an?1 ? an ? q?an ? an?1 ? ,即 bn ? qbn?1 , ?n ? 2? 。
由 b1

? a2 ? a1 ? 1, q ? 0, 所以?bn ?是 首项为 1,公比为 q 的等比数列。

(2)解:由(1) ,

a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? q,?,

an ? an?1 ? qn?2 ?n ? 2?.
将以上各式相加,得 an 即 an

? a1 ? 1 ? q ??? qn?2 ?n ? 2? ,

? a1 ?1 ? q ??? qn?2 ?n ? 2?
? 2 时,

所以当 n

8

? 1 ? q n ?1 , q ? 1, ?1 ? an ? 上式对 n ? 1 显然成立. 1? q ?n,??? , q ? 1. ?
4、有关“ a1 公式的求法. 例 1、已知数列 数列. 证明:? an ?1

? a, an ?

Can?1 ? D (其中 A、B、C、D 为不同时为零的常数) ”型数列通项 Aan?1 ? B

?an ?的首项 a1 ? 2 , an?1 ?
3

?1 ? 2an , n ? 1,2,?. 证明:数列 ? ?1? 是等比 an ? 1 ? an ?

?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an?1 2an 2 2 an

?

1 1 1 ? 1 ? ( ? 1). an ?1 2 an
? 2 1 1 ?1 ? , ,? 3 a1 2
为首项,

又 a1

?1 ? 1 ? 数列 ? ?1? 是以 2 ? an ?
5、有关“ a1 例 1、设数列

1 2

为公比的等比数列.

? a, f ?an , sn ? ? 0 ”型数列通项公式的求法.

?an ?的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n .

(1)、求 a 3 、 a4 ; (2)、证明: (3)、求

?an?1 ? 2an ? 是等比数列;

?an ?的通向公式.
Sn ? 2an ? 2n


分析:可通过递推关系

a1 , 由 2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1 得

an?1 ? Sn ? 2n?1 可得出 a2 、 a 3 、 a 3 要注意 an ? Sn ? Sn?1 ?n ? 2? 的关系.
解(1)? a1

? S1 ,2a1 ? S1 ? 2, ? a1 ? 2, S1 ? 2 .
9

由 2an

? Sn ? 2n 知 2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1 ,得 an?1 ? Sn ? 2n?1.?1?
a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6
,

?

S2 ? 8, a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S3 ? 24, a4 ? S3 ? 24 ? 40 (2) 、 由 题 意和 ( 1 ) 式 知 an?1 ? 2an ? Sn ? 2n?1 ? Sn ? 2n ? 2n?1 ? 2n ? 2n ,
所以

?

? ?

?

?an?1 ? 2an ?是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
? ?an ? 2an?1 ? ? 2?an?1 ? an?2 ? ??? 2n?2 ?a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1

(3)、 an

? ?n ? 1?? 2n?1 .
三、数列求和 对于数列的求和问题,一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点,在分析通项的基础上再来确定 是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列, 用分组法。 若数列 的每一项变为两数之差,可以使大部分项能“正、负抵消” ,只剩下有限的几项,此时可用裂项法; 若一个数列距首末等距离的和相等,可采用倒序相加法;若数列的各项是由一等差数列和一等比数 列组成的,可用错位相减法;若数列的通项 an 中含

?? 1?n ,可分类讨论或错位相减法.
?an ? bn ?

1、错位相减法:这是在推倒等比数列前 n 项和公式所用的方法, 这种方法主要用于求数列 的前 n 项和,其中 例 1、求和 Sn 解:当 x 当x

?an ?、 ?bn ?

分别是等差数列和等比数列.

? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7 x3 ??? ?2n ?1?xn?1

? 1 时, S n ? n 2 ;

? 1 时,? Sn ? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7 x3 ??? ?2n ?1?xn?1

? xSn ? x ? 3x2 ? 5x3 ? 7 x4 ??? ?2n ?1?xn
两式相减得:

?1 ? x?Sn ? 1 ? ?2n ? 1?x n ? 2 x?1 ? x
?

? 1 ? 2 x 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ?2 ? ?2n ? 1? ? x n
n ?1

?

?

?

?2n ? 1?x

n ?1

1? x ? ?2n ? 1?x n ? ?1 ? x ? , 1? x
10

? Sn ?

?2n ?1?x n?1 ? ?2n ? 1?x n ? ?1 ? x? . ?1 ? x ?2
? n?a1 ? an ? 就是 2

2、倒序相加法:将一个数列倒过来排列(倒序) ,当它与原数列相加时, ,若有公因式可提并且剩余 的项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式 S n 用倒序相加法推倒出来的. 例 1、求和: S
1 2 3 n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn , 1

分析在:注意到 Cn 求和。 解: S

n 2 n ? Cn ?1 , Cn ? Cn ?2 ,?, 且相等项的系数之和都为 n ,故可用“倒序相加法”

1 2 3 n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn ,

n n n 1 S ? nCn ? ?n ?1?Cn ?1 ? ?n ? 2?Cn ?2 ??? Cn , 0 1 2 n n ?2S ? nCn ? nCn ? nCn ??? nCn ?1 ? nCn 0 1 2 n ? n(Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? n ? 2n ,

? S ? n ? 2n?1
3、分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列。若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比 或常见的数列,分别求和,然后再合并. 例 1、求数列 解:? an

?n?n ? 1??2n ? 1??的前 n 项和.

? n?n ? 1??2n ? 1? ? 2n3 ? 3n3 ? n,

?Sn ? 2 13 ? 23 ??? n3 ? 3 12 ? 22 ??? n2 ? ?1 ? 2 ??? n?
n 2 ?n ? 1? n?n ? 1??2n ? 1? n?n ? 1? ? ? ? 2 2 2
2

?

? ?

?

?

n?n ? 1? ?n ? 2? . 2
2

3、裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用, 裂项法的实质是将数列中的某些项分解, 然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 11

例 1、 an

?

1 1 1 1 ? ( ? ), n?n ? 2? 2 n n ? 2

bn ?

?2n?2 ?2n ? 1??2n ? 1?

1 1 1 ? 1? ( ? ). 2 2n ? 1 2n ? 1
例 2、求数列 ?

? ?n ? 1?2 ? 1? ? 的前 n 项和. ?n ? 1?2 ? 1? ?

分析:变换通向公式,将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项. 解:?

?n ? 1?2 ? 1 ? ?n ? 1?2 ?1 ? 2 ? 1 ? 2 ?n ? 1?2 ?1 ?n ? 1?2 ?1 ?n ? 1?2 ?1

? 1?

2 1 1 , ? 1? ? n?n ? 2? n n?2
2

?n ? 1? ? 1 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ?1 3 ?1 4 ?1 ?n ? 1?2 ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) 1 3 2 4 3 5 n n?2
1 1 1 ? ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ????? ? ? 2 n ?1 n ? 2
n个1

? n?

3 1 1 ? ? . 2 n ?1 n ? 2

注:将通项进行变换,构造两项之差,这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有

?1?
?3?

1 1 1 ? ? n?n ? 1? n n ? 1



?2?

1 1 1 1 ? ( ? ) n ?1 2 n ?1 n ?1
2



1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ]; ?4? ? ( ? ); n?n ? 1??n ? 2? 2 n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? n?n ? k ? k n n ? k 1 1 m m m ? ( n ? k ? n ); ?6?n ? n!? ?n ? 1?!?n!; ?7?Cn ?1 ? Cn?1Cn ; n?k ? n k

?5?

?8?an ? Sn ? Sn?1 ?n ? 2?.
12

4、并项法 例 1、求 S100

? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?99 ?100的值.

分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和, 但运算量较大。 若用并项求和法轻而易举就可以解决。 解: S100

? ?1 ? 2? ? ?3 ? 4? ? ? ? ?99 ?100? ? ?50 .

5、降次递推法 例 1、求和 Sn

? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2

分析:可利用公式
3

?k ?1?3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ?1,

??k ? 1? ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1, 令 k ? 1,2,3,?, n,
分别代入上式,得 2
3

?13 ? 3?12 ? 3?1 ? 1; 33 ? 23 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1;
3

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将以上各式分别相加,得:

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参考文献:

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[1]张环、胡剑涛、杨玉蓉主编。 《高中数学综合能力培养》上册 1991 年 3 月印刷。 [2]刘宗贤责任主编。 《高中代数疑难解析》1984 年 8 月第 2 次印刷。 [3]王兴旺主编。 《高考完全解读》2007 年 7 月湖北第 1 次印刷。 [4]欧阳维诚主编。 《高中数学考试解题精典》1995 年 6 月第 2 次印刷。 [5]袁桐、金立建主编《新编高中数学大观》1991 年 2 月第 1 次印刷。 [6]彭士元、朱铁夫主编。 《数列求和》1989 年 6 月第一次印刷。

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