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广东2016高三数学教学研讨--解析几何(47张)


2016高考趋势分析 解析几何部分

1. 知识点分布表 2. 近两年试题回顾 3. 备考认识及建议

理科
全国高考数学新课标Ⅰ卷知识点分布表:
年份 知识点 椭圆的方程,离心率 2012 年 双曲线,抛物线,两点间的距离 抛物线,圆,切线 双曲线的离心率和渐近线 2013 年 椭圆,弦中点 圆与圆的位置关系,椭圆

的方程,弦长 双曲线的焦点和渐近线,点到直线的距离公式 2014 年 抛物线,向量共线 直线、椭圆和不等式的综合应用 双曲线,向量的数量积 2015 年 椭圆和圆的方程 直线与抛物线的位置关系,角度问题 题型 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 填空题 解答题 分值 5 5 12 5 5 12 5 5 12 5 5 12 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 试题难度 容易 √ √ √ 中等 较难

理科
全国高考数学广东卷知识点分布表:
年份 2012 年 知识点 题型 分值 14 5 14 5 14 5 5 14 √ √ √ √ √ √ √ 试题难度 容易 中等 较难 √

椭圆的方程,离心率,直线与圆相交所得的三角 解答题 形的面积最大值问题 双曲线的离心率及其方程 选择题

2013 年 抛物线的切线,点到直线的距离,抛物线的切点 解答题 弦方程等 2014 年 双曲线及其方程 椭圆及其方程,椭圆的切线及其交点轨迹问题 直线与直线,直线与圆的位置关系 2015 年 双曲线及其方程 直线与圆的位置关系,弦中点轨迹问题 选择题 解答题 选择题 填空题 解答题

1. 分值 2. 考查内容 3. 难度

文科
全国高考数学新课标Ⅰ卷知识点分布表:
年份 知识点 题型 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 分值 5 5 12 5 5 12 5 5 12 5 5 12 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 试题难度 容易 √ √ √ 中等 较难

2012 年 椭圆的方程,离心率 双曲线,抛物线,两点间的距离 抛物线,圆,切线 2013 年 双曲线的离心率和渐近线 抛物线及其定义,焦半径,三角形面积 圆与圆的位置关系,椭圆的方程,弦长 2014 年 双曲线的离心率 抛物线及其定义,焦半径 直线、圆和弦中点 2015 年 椭圆及其焦点,抛物线及其焦点和准线

双曲线的定义, 直线与双曲线的位置关系, 三角 填空题 形的周长与面积等计算 直线与圆的位置关系,向量的数量积 解答题

文科
全国高考数学广东卷知识点分布表:
年份 知识点 题型 选择题 解答题 选择题 选择题 分值 5 14 5 5 14 5 14 5 14 √ √ √ √ √ √ √ 试题难度 容易 √ √ 中等 较难

2012 年 直线与圆的相交弦长 抛物线,椭圆,切线 2013 年 直线与直线,直线与圆的位置关系 椭圆及其方程

抛物线的切线,点到直线的距离,抛物线的切点 解答题 弦方程等 2014 年 双曲线及其方程 椭圆及其方程,椭圆的切线及其交点轨迹问题 2015 年 椭圆及其方程 直线与圆的位置关系,弦中点轨迹问题 选择题 解答题 选择题 解答题

1. 分值 2. 考查内容 3. 难度

2014、2015年试题回顾(理科)
(2014 年全国高考新课标Ⅰ卷第 4 题)已知 F 是双曲线 C : 则点 F 到 C x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,
2 2

的一条渐近线的距离为

A. 3
【答案】A

B .3

C . 3m

D . 3m

x2 y 2 【解析】由 C : x ? my ? 3m(m ? 0) ,得 ? ? 1 , c2 ? 3m ? 3, c ? 3m ? 3 , 3m 3
2 2

设F

?

3m ? 3, 0 ,一条渐近线 y ?

?

3 x ,即 x ? my ? 0 ,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 3m

d?

3m ? 3 = 3. 1? m

(2014 年全国高考新课标Ⅰ卷第 10 题)已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF |? A.

??? ?

??? ?

7 2

B.

5 2

C.. 3

D. 2

【答案】C

??? ? ??? ? PQ 3 l M 【解析】 :过 Q 作 QM ? 直线 于 ,∵ FP ? 4FQ ,∴ ? . PF 4


QM 4

?

PQ PF

?

3 ,∴ QM ? 3 .由抛物线的定义知 QF ? QM ? 3 . 4

x2 y2 (2014 年全国高考广东卷第 4 题)若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 ? ?1 25 9 ? k
x2 y2 ? ? 1的 与曲线 25 ? k 9
A.离心率相等 【答案】D B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等

x2 (2015 年全国高考新课标Ⅰ卷第 5 题)已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C : ? y 2 ? 1 上的一点, 2 ???? ? ???? ? F1 , F2 是 C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是
A. (?

3 3 , ) 3 3

B. (?

3 3 , ) 6 6

C. (?

2 2 2 2 , ) 3 3

D. (?

2 3 2 3 , ) 3 3

【答案】A 【解析】 :由题意,

???? ? ???? ? F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) , MF1 ? (? 3 ? x0 , ? y0 ) , MF2 ? ( 3 ? x0 , ? y0 ) .

2 ???? ? ???? ? x 2 2 2 2 0 ? y y ? (3 ? x ) ? 0 MF ? MF ? 0 ? ( ? 3 ? x )( 3 ? x ) ? y ? 0 ,即 0 ,又 0 ?1, 0 1 2 0 0 0 2

2 所以 3 y0 ? 1 ,即 ?

3 3 . ? y0 ? 3 3

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x (2015 年全国高考新课标Ⅰ卷第 14 题)一个圆经过椭圆 16 4
轴正半轴上,则该圆的标准方程为 ________
2 2 【答案】 ( x ? ) ? y ?

.

3 2

25 . 4

【解析】 : 由 对 称 性 易 知 该 圆 经 过 椭 圆 的 上 , 下 顶 点 和 右 顶 点 , 设 圆 心 为 (t , 0) , 则

(4 ? t )2 ? t 2 ? 4 ,解得 t ?

5 3 ,所以半径 r ? 4 ? t ? . 2 2

(2015 年全国高考广东卷第 5 题)平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是 A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 【答案】D B. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

x2 y 2 5 (2015 年全国高考广东卷第 7 题)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? ,则 a b 4
双曲线 C 的方程为

x2 y2 A. ? ?1 4 3
【答案】B

x2 y2 B. ? ?1 16 9

x2 y2 C. ? ?1 9 16

x2 y2 D. ? ?1 3 4

2014、2015年试题回顾(文科)
x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a ? (2014 年全国高考新课标Ⅰ卷第 4 题)已知双曲线 2 ? a 3
A. 2 【答案】D B.

6 2

C.

5 2

D.1

a2 ? 3 ? 2 ,解得 a ? 1 . 【解析】由双曲线的离心率可得 a

(2014 年全国高考新课标Ⅰ卷第 10 题)已知抛物线 C : y 2 ? x 的焦点为 F , A( x0 , y0 ) 是 C 上 一点, | AF |? A. 1 【答案】A
2 【 解 析 】 易 知 F ( , 0) , 抛 物 线 C : y ? x 的 准 线 为 x ? ?

5 x0 ,则 x0 ? 4
B. 2 C. 4 D. 8

1 4

1 .根据抛物线的定义可知 4

1 1 5 AF ?| x0 ? (? ) |? x0 ? ? x0 ,解得 x0 ? 1 . 4 4 4

x2 y2 ? ?1 (2014 年全国高考广东卷第 8 题)若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线 16 5 ? k
x2 y2 ? ? 1的 与曲线 16 ? k 5
A.实半轴长相等 【答案】D B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

(2015 年全国高考新课标Ⅰ卷第 5 题)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 , E 的右焦点与抛物线 2

C : y 2 ? 8x 的焦点重合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?
A. 3 【答案】B 【解析】易知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 (2, 0) ,准线方程为 x ? ?2 ,则椭圆 E 的右焦点为 (2, 0) , B. 6 C. 9 D. 12

x2 y 2 2 2 从而椭圆 E 的焦点在 x 轴上,设方程为 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,记 c ? a ? b ,则 c ? 2 . a b

x2 y 2 c 1 2 2 2 ? ? 1. 由椭圆的离心率 e ? ? ,知 a ? 4 ,从而 b ? a ? c ? 12 ,则椭圆 E 的方程为 a 2 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ,易得 A(?2,3) , B(?2, ?3) ,故 | AB |? 6 . 将 x ? ?2 代入椭圆 E 的方程 16 12

y2 (2015 年全国高考新课标Ⅰ卷第 16 题)已知 F 是双曲线 C : x ? ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点, 8 A 0, 6 6 ,当 ?APF 周长最小时,该三角形的面积为________ .
2

?

?

【答案】 12 6

?APF 的周长为 【解析】记双曲线的左焦点为 F1 ,由双曲线定义知 | PF |? 2a? | PF 1 | ,所以
则 | PA | ? | PF | ? | AF |?| PA | ?2a? | PF1 | ? | AF |?| PA | ? | PF1 | ? | AF | ?2a ,由于 | AF | ?2a 是定值, 要使 ?APF 的周长最小,只需 | PA | ? | PF 1 | 最小,即 P, A, F 1 三点共线.

y2 x y y 2 ? ? 1 ,即 x ? ? 3 ,代入 C : x ? ? 1 消去 x 由 A 0, 6 6 , F1 (?3,0) ,得 AF1 的方程为 8 ?3 6 6 2 6
整理得 y 2 ? 6 6 y ? 96 ? 0 ,解得 y ? 2 6 (舍去负值),所以 P 点的纵坐标为 2 6 . 故 ?APF 的面积 S ?APF ? S ?AFF1 ? S ?PFF1 ?

?

?

1 1 ? 6 ? 6 6 ? ? 6 ? 2 6 ? 12 6 . 2 2

x2 y 2 (2015 年全国高考广东卷第 8 题)已知椭圆 ? 2 ? 1(m ? 0) 的左焦点为 F1 ? ?4,0? ,则 m ? 25 m

A. 9
【答案】C

B. 4

C. 3

D. 2

2014、2015年大题对比(理科)
x2 y 2 3 (2014 年全国高考新课标Ⅰ卷第 20 题) 已知点 A(0, ?2) , 椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , a b 2 2 3 F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 , O 为坐标原点. 3
(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【解析】 :(1)设 F ? c,0? ,由条件知

2 2 3 ,得 c ? 3 . ? c 3

x2 c 3 2 2 2 ? y 2 ? 1. 又 ? ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程 4 a 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 联立直线与椭圆方程: ? 4 ,化简得: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 . ? y ? kx ? 2 ?
2 ∵ ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,∴ k ?

3 . 4

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
2 2

16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

2 4 4k 2 ? 3 ∴ PQ = 1 ? k x1 ? x2 = 1 ? k ? ,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d ? . 2 2 1+4k k ?1
因此 S?OPQ
2 1 2 4 4k 2 ? 3 2 4 4k ? 3 , ? 1? k ? ? ? 2 2 2 2 1+4k 1+4k k ?1

令 t ? 4k 2 ? 3 (t ? 0) ,则 S?OPQ ?

4t 4 ? ,t ? 0 . t ?4 t? 4 t
2

∵t ?

4 4 ? 4 ,当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时,等号成立,∴ S?OPQ ? 1 . t t

故当 t ? 2 ,即 4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ?

7 时 ?OPQ 的面积最大. 2

此时,直线 l 的方程为 y ? ?

7 x ? 2. 2

x2 y 2 (2014 年全国高考广东卷第 20 题)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a b
5 . 3
(1)求椭圆 C 的标准方程;

?

5, 0 ,离心率为

?

(2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 【解析】(1)记 c ? a ? b ,则 c ? 5 .又
2 2

c ? 5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , a 3

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C 的标准方程为 9 4

(2)设两切线为 l1 , l2 , ①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ; ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

k

x2 y 2 ? 1 ,消去 y 得 l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立 ? 9 4

(9k 2 ? 4) x2 ?18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 .
因 为 直 线 与 椭 圆 相 切 , 所 以 ? ? 0 , 得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 , 化 简 整 理 得

?36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 . ?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0 .
所以 k 是关于 x 的方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的一个根, 同理 ? 1 是关于 x 的方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根.

k

y0 2 ? 4 1 ? k ? (? ) ? 2 ? ?1 ,即 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 . k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 ( x ? ?3 ). 因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 .

x2 (2015 年全国高考新课标Ⅰ卷第 20 题) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C : y ? 与直线 y ? kx ? a(a ? 0) 交 4
于 M , N 两点. (1) 当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由. 【解析】 : (1)由题设可得 M (2 a , a) , N (?2 a , a) 或 M (?2 a , a) , N (2 a , a) .

x2 x 又 y?= ,故 y ? 在 x ? 2 a 处的导数值为 a . 2 4 在点 (2 a , a) 处的切线方程为 y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 . x2 y ? 在x ? ?2 a 处的导数值为 ? a . 4 在点 (?2 a , a) 处的切线方程为 y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 和 ax ? y ? a ? 0 .

(2)存在符合题意的点 P .证明如下: 设 P(0, b) 为符合题意的点, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 PM , PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 的方程,消去 y 整理得 x 2 ? 4kx ? 4a ? 0 ,则 x1 , x2 是该方程的两根. 故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a.

y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k (a ? b) . ? ? ? x1 x2 x1 x2 a 当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 ? 0 ,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故 ?OPM ? ?OPN .
从而 k1 ? k2 ? 所以点 P(0, ?a) 符合题意.

(2015 年全国高考广东卷第 20 题)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A ,

B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y ? k(x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由.
2 【解析】 (1)由 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y ? 4 , 2

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 , x ?3 x
2

3? 9?5 ? ? ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; 2? 4? 3 ? ?

(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF (如下图所示,不包括两端 2

点) ,且 E ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5 ? , F ? ,? ? ? ?3 3 ? ?3 ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4 ? 过定点 D ? 4,0 ? , 3 ? ? ? ?

当直线 L 与圆 C 相切时,由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k 2 ? 12

?

3 3 得 k ? ? ,又 k DE ? ? k DF 2 4

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? ,结合 ?? ? 5 7 4? 3

上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ?

? 3 3? ? 2 5 2 5 ? , ? 时,直线 L : y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点. 7 ? ? 4 4? ? 7

2014、2015年大题对比(文科)
(2014 年全国高考新课标Ⅰ卷第 20 题) 已知点 P(2,2) , 圆 C : x2 ? y 2 ? 8 y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积. 【解析】(1)圆 C 的方程可化为 x ? ( y ? 4) ? 16 ,所以圆心为 C (0, 4) ,半径为 4 .
2 2

???? ? ???? ???? ? ???? 设 M ( x, y) ,则 CM ? ( x, y ? 4) , MP ? (2 ? x,2 ? y) ,由圆的对称性知 CM ? MP ,即 CM ?MP ? 0 ,
从而 x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4?? 2 ? y ? ? 0 ,化简得 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 .
2 2

所以 M 的轨迹方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 .
2 2

(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N (1,3) 为圆心, 2 为半径的圆. 由 OP ? OM 知点 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON ? PM . 因为 ON 的斜率为 3 ,所以 PM 即直线 l 的斜率为 ?

1 1 8 ,从而 l 的方程为 y ? ? x ? . 3 3 3

8 |0?0? | 3 ? 4 10 ,则 PM ? 4 10 . 又 OM ? OP ? 2 2 , O 到 l 的距离为 d ? 5 5 1 2 2 ( ) ?1 3
所以 ?POM 的面积为: S? POM

1 16 ? | PM | ?d ? . 2 5

x2 y 2 (2014 年全国高考广东卷第 20 题)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a b
5 . 3
(1)求椭圆 C 的标准方程;

?

5, 0 ,离心率为

?

(2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 【解析】(1)记 c ? a ? b ,则 c ? 5 .又
2 2

c ? 5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , a 3

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C 的标准方程为 9 4

(2)设两切线为 l1 , l2 , ①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ; ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

k

x2 y 2 ? 1 ,消去 y 得 l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立 ? 9 4

(9k 2 ? 4) x2 ?18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 .
因 为 直 线 与 椭 圆 相 切 , 所 以 ? ? 0 , 得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 , 化 简 整 理 得

?36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 . ?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0 .
所以 k 是关于 x 的方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的一个根, 同理 ? 1 是关于 x 的方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根.

k

y0 2 ? 4 1 ? k ? (? ) ? 2 ? ?1 ,即 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 . k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 ( x ? ?3 ). 因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 .

(2015 年全国高考新课标Ⅰ卷第 20 题)已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与 圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M , N 两点.
2 2

(1)求 k 的取值范围;

???? ? ???? (2)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .
【解析】 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 因为 l 与 C 交于两点,所以

2k ? 3 ? 1 1? k 2

? 1 ,解得

4? 7 4? 7 . ?k? 3 3

所以 k 的取值范围为 (

4? 7 4? 7 , ). 3 3

(2)设 M ? x1 , y1 ? , N ( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? 1 代入方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,消去 y 整理得

(1 ? k 2 ) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0 ,由题意知 x1 , x2 是该方程的两相异实根.
? x1 ? x2 ? 4(1 ? k ) 7 , x x ? . 1 2 1? k 2 1? k 2
2

4k ?1 ? k ? ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?1 ? k ? x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ?8. 2 1? k

???? ? ???? 4k ?1 ? k ? 4? 7 4? 7 k ? 1 ? 8 ? 12 由题设可得 OM ? ON ? ,解得 ,显然 k ? ( , ) 符合题意 1? k 2 3 3
所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 故圆心 C (2,3) 在直线 y ? x ? 1 上,所以 MN 是圆 C 的直径,从而 MN ? 2 .

(2015 年全国高考广东卷第 20 题)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A ,

B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y ? k(x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由.
2 【解析】 (1)由 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y ? 4 , 2

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 , x ?3 x
2

3? 9?5 ? ? ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; 2? 4? 3 ? ?

(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF (如下图所示,不包括两端 2

点) ,且 E ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5 ? , F ? ,? ? ? ?3 3 ? ?3 ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4 ? 过定点 D ? 4,0 ? , 3 ? ? ? ?

当直线 L 与圆 C 相切时,由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k 2 ? 12

?

3 3 得 k ? ? ,又 k DE ? ? k DF 2 4

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? ,结合 ?? ? 5 7 4? 3

上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ?

? 3 3? ? 2 5 2 5 ? , ? 时,直线 L : y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点. 7 ? ? 4 4? ? 7

备考认识及建议

1.知识理解 几何里研究的最基本问题无疑是几何中基本量的度量, 即长度、面积、角度等,基本的位置关系,即直线与 曲线、曲线与曲线的位置关系等,解析几何就是用代数 方法研究几何问题,在这里,几何是问题,代数是工具, 而沟通几何和代数的桥梁是方程,所以,解析几何问题 最忌变为一个纯代数问题.

2.能力要求 (1)逻辑推理能力 (2)分析问题、解决问题的能力 (3)计算求解能力

3.得分要求 (1)尖子生两道小题必须拿下,解答题至少拿 10 分(文科第二道小题难度颇大 (2)中等生两道小题必须拿下,解答题第一问做好,第二问尽量做好 (3)基础薄弱的学生两道小题尽量拿下,解答题第一问做好,第二问能做就做

4.难点突破 (1)转化与化归 分析已知条件与所求问题的联系,转化为我们熟悉的基本问题 举例:2013 年天津高考
3 x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过 3 a b 4 3 点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (Ⅰ)求椭圆的方程.

(Ⅱ)设 A , B 分别为椭圆的左右顶点,过点 F 且斜率为 k 的
??? ? ??? ? ???? ??? ? DB ? AD· CB ? 8 ,求 k 的值. 直线与椭圆交于 C , D 两点.若 AC·

x2 y 2 ? ? 1 (过程略). (1)椭圆的方程为 3 2
(2)由(1)知 A(? 3,0) , B( 3,0) ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则

??? ? ??? ? AC ? DB ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( 3 ? x2 , ? y2 ) ? ( x1 ? 3)( 3 ? x2 ) ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3 ??? ? ??? ? 由对称性,同理可得 AD ? CB ? ?x1x2 ? y1 y2 ? 3( x2 ? x1 ) ? 3 .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AC· DB ? AD· CB ? ?2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? 6

(2)从“数”到“形” 结合解析几何的特点恰当使用几何图形的性质,合理应用几何条件 举例:①钝角问题? ②等腰 ? 问题?底边在 x 轴,底边不在 x 轴.

x2 y2 ? ? 1 的左,右顶点, P 为直线 x ? 4 上 ③设 A, B 分别为椭圆 4 3
不同于点 (4, 0) 的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的 点 M ,N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内.

(3)计算推理 (1)和(2)都是解析几何做题的准备工作, 最终的解决还是落在计算推理. 做解析几何时有人算得很轻松,有人算得很辛苦.为什么? 例如: 若直线 l 过定点 (?1, 0) , 直线方程可设为 y ? k ( x ? 1) 或者 x ? my ? 1 . 你到底选择 哪种? .. 2013 年天津高考题

我的看法

1.重视基础,包括基础知识,基本能力的训练.

2.研究学生,帮助学生突破解析几何中的难点. 3.勤于板书,必要的难的运算步骤根据学生 情况进行展示.

祝大家身体健康,工作顺利!

谢谢大家!


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