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江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(理科)(Word版含解析)


江西省赣州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每一小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位, (2+i)z=1+2i,则 z 的共轭复数 =() A. + i B. ﹣ i C. +i D. ﹣i

>2. (5 分) 用数学归纳法证明某命题时, 左式为 +cosα+cos3α+…+cos (2n﹣1) α (α≠kπ, k∈Z, n∈N )在验证 n=1 时,左边所得的代数式为() A. C. +cosα+cos3α B. +cosα D. +cosα+cos3α+cos5α
*

3. (5 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到 了如表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 25 10 35 女生 5 10 15 合计 30 20 50 根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是() 参考数据: 临界值表: 2 P(Χ ≥k) k A.97.5% .

0.100 2.706

0.050 3.841 B.99%

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 D.99.9%

C.99.5%

4. (5 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) ,则 a 的 值为() A. B. C. 5 D.3

5. (5 分) 一牧场有 10 头牛, 因误食含有病毒的饲料而被感染, 已知该病的发病率为 0.02. 设 发病的牛的头数为 ξ,则 Dξ 等于() A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 6. (5 分)由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为()
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A.

B. 4

C.

D.6

7. (5 分)从 0,1,2,3,4,5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数,其中能 被 5 整除的有() A.40 个 B.36 个 C.28 个 D.60 个 8. (5 分)由抛物线 y =4x 与直线 y=x﹣3 围成的平面图形的面积为() A. B. C.64 D.32
2

9. (5 分)设

,那么

的值为()

A.﹣

B. ﹣

C. ﹣

D.﹣1

10. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)= () A.﹣e B.﹣1 C. 1 D.e 11. (5 分)将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其 余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号 码为 b.则使不等式 a﹣2b+10>0 成立的事件发生的概率等于() A. B. C. D.

12. (5 分)下列命题中 ①若 f′(x0)=0,则函数 y=f(x)在 x=x0 取得极值; ②直线 5x﹣2y+1=0 与函数 f(x)=sin(2x+ )的图象不相切;

③若 z∈C(C 为复数集) ,且|z+2﹣2i|=1,则|z﹣2﹣2i|的最小值是 3; ④定积分 正确的有() A.①④ dx=4π.

B.③④

C.②④

D.②③④

二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 13. (5 分)复数 在复平面中的第象限.

14. (5 分)有 5 名数学实习老师,现将他们分配到 2014-2015 学年高二年级的三个班实习, 每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有种(用数字作答) .
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15. (5 分)如图所示,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随 机地扔到该圆内, 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内”,则 P(B|A)=.

16. (5 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx﹣ax(a> ) ,当 x∈(﹣ 2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系. 已 知曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +x﹣16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,6)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 19. (12 分)给出四个等式:1=1;1﹣4=﹣(1+2) ;1﹣4+9=1+2+3;1﹣4+9﹣16=﹣ * (1+2+3+4)….猜测第 n(n∈N )个等式,并用数学归纳法证明. 20. (12 分)某同学参加高校自主招生 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成 绩的概率 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p<q) ,且不同课程是否 取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3 p x y
3

,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率及求 p,q 的值; (Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望 Eξ.

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21. (12 分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名 男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. 随机抽出 8 位, 他们的数学分数从小到大 排序是:60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排序是:72、77、80、84、 88、90、93、95. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? (Ⅱ)若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具有 线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果不 具有线性相关性,请说明理由.

参考公式:相关系数

;回归直线的方程是:

=bx+a.

其中对应的回归估计值 b=

,a= ﹣b ;

参考数据: =77.5, =85, ﹣ )≈688, ≈32.4,

(x1﹣ ) ≈1050, ≈21.4,
2

2

(y1﹣ ) ≈456;

2

(x1﹣ ) (y1

≈23.5. (a∈R)

22. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣alnx+ (Ⅰ)求函数 f(x)单调区间;

(Ⅱ)若 a=﹣1,求证:当 x>1 时,f(x)< x .

3

江西省赣州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每一小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位, (2+i)z=1+2i,则 z 的共轭复数 =() A. + i B. ﹣ i C. +i D. ﹣i

考点: 专题: 分析: 解答: 可得 z=

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的除法运算法则化简求解即可. 解:i 为虚数单位, (2+i)z=1+2i, = = + i.

z 的共轭复数 = ﹣ i. 故选:B. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的定义,基本知识的考查. 2. (5 分) 用数学归纳法证明某命题时, 左式为 +cosα+cos3α+…+cos (2n﹣1) α (α≠kπ, k∈Z, n∈N )在验证 n=1 时,左边所得的代数式为() A. C. +cosα+cos3α B. +cosα D. +cosα+cos3α+cos5α
*

考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 在验证 n=1 时,令左边 n=1 可得:所得的代数式为: .
*

解答: 解:由于左式为 +cosα+cos3α+…+cos(2n﹣1)α(α≠kπ,k∈Z,n∈N ) , 因此在验证 n=1 时,左边所得的代数式为: .

故选:B. 点评: 本题考查了数学归纳法的应用,考查了推理能力,属于基础题. 3. (5 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到 了如表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 25 10 35 女生 5 10 15 合计 30 20 50 根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是()

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参考数据: 临界值表: 2 P(Χ ≥k) k A.97.5%



0.100 2.706

0.050 3.841 B.99%

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 D.99.9%

C.99.5%

考点: 线性回归方程. 分析: 根据所给的列联表得到求观测值所用的数据, 把数据代入观测值公式中, 做出观测 值,同所给的临界值表进行比较,得到结论. 解答: 解:根据所给的列联表,得到 Χ =
2

≈6.349>5.024,

对照临界值表可知有 97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. 故选:A. 点评: 本题考查独立性检验的应用, 考查根据列联表做出观测值, 根据所给的临界值表进 行比较,本题是一个基础题. 4. (5 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) ,则 a 的 值为() A. B. C. 5 D.3

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题. 分析: 根据随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x=3 对称,得到两个概率相等的 区间关于 x=3 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) , ∵P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) , ∴2a﹣3 与 a+2 关于 x=3 对称, ∴2a﹣3+a+2=6, ∴3a=7, ∴a= , 故选 A. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题主要考查曲线关于 x=3 对称,考查关于直线对称的点的特点,本题是一个基础题,若出现是一个得分题目. 5. (5 分) 一牧场有 10 头牛, 因误食含有病毒的饲料而被感染, 已知该病的发病率为 0.02. 设 发病的牛的头数为 ξ,则 Dξ 等于() A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804

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考点: 离散型随机变量的期望与方差. 分析: 把每个牛是否得病作为一个实验, 牛发病的概率是 0.02, 且牛是否发病相互之间没 有影响,得到发病的牛的头数为 ξ 服从二项分布,根据方差的公式 Dξ=npq,得到结果. 解答: 解:∵由题意知该病的发病率为 0.02,且每次实验结果都是相互独立的, ∴ξ~B(10,0.02) , ∴由二项分布的方差公式得到 Dξ=10×0.02×0.98=0.196. 故选 C 点评: 解决离散型随机变量分布列问题时, 主要依据概率的有关概念和运算, 同时还要注 意题目中离散型随机变量服从什么分布,若服从特殊的分布则运算要简单得多. 6. (5 分)由曲线 y= A. ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为() B. 4 C. D.6

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键, 要确定出曲线 y= , 直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 解答: 解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为: .故选 C.

点评: 本题考查曲边图形面积的计算问题, 考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考 查学生的转化与化归能力和运算能力, 考查学生对定积分与导数的联系的认识, 求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 7. (5 分)从 0,1,2,3,4,5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数,其中能 被 5 整除的有() A.40 个 B.36 个 C.28 个 D.60 个
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考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 由题意知能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5.当末位是 0 时,没有问题,但当末 位是 5 时,注意 0 不能放在第一位,所以要分类解决,①末位为 0 的三位数其首次两位从 1~5 的 5 个数中任取 2 个排列②末位为 5 的三位数,首位从非 0,5 的 4 个数中选 1 个, 再挑十位,相加得到结果. 解答: 解:其中能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5. 2 ①末位为 0 的三位数其首次两位从 1~5 的 5 个数中任取 2 个排列而成方法数为 A5 =20, 1 ②末位为 5 的三位数,首位从非 0,5 的 4 个数中选 1 个,有 C4 种挑法,再挑十位,还有 1 C4 种挑法, 1 1 ∴合要求的数有 C4 ?C4 =16 种. ∴共有 20+16=36 个合要求的数, 故选:B. 点评: 本题考查排列组合、计数原理,是一个综合题,本题主要抓住能被 5 整除的三位数 的特征(末位数为 0,5) ,还要注意分类讨论及排数字时对首位非 0 的限制. 8. (5 分)由抛物线 y =4x 与直线 y=x﹣3 围成的平面图形的面积为() A. B. C.64 D.32
2

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: 由题设条件,需要先求出抛物线 y =2x 与直线 y=4﹣x 的交点坐标,积分时可以以 x 作为积分变量,也可以 y 作为积分变量,故本题法一以 x 为积分变量,法 2 以 y 作为积分 变量分别计算出两曲线所围成的图形的面 解答: 解:联立方程组
2

,得,y1=﹣2,y2=6,

∵抛物线 y =4x 与直线 y=x﹣3 所围成的平面图形的面积, ∴S= =( y +3y﹣
2

)|

=



故选:A. 点评: 本题考查定积分, 解答本题关键是确定积分变量与积分区间, 有些类型的题积分时 选择不同的积分变量,故求解时 要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的.

9. (5 分)设

,那么

的值为()

A.﹣

B. ﹣

C. ﹣

D.﹣1

考点: 二项式定理.
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专题: 计算题. 分析: 令 x=1, 可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1, 再令 x=﹣1 可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=3 . 解 得 a0+a2+a4 和 a1+a3 的值,即可求得要求式子的值. 5 解答: 解: 令 x=1, 可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1, 再令 x=﹣1 可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=3 . 两式相加除以 2 求得 a0+a2+a4=122,两式相减除以 2 可得 a1+a3=﹣121, 故 = ,
5

故选 A. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果, 选择合适的数值代入,属于中档题. 10. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)= () A.﹣e B.﹣1 C. 1 D.e 考点: 导数的乘法与除法法则;导数的加法与减法法则. 专题: 计算题. 分析: 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,利用求导公式对 f(x)进行求导,再把 x=1 代入,即可求解; 解答: 解:∵函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, (x>0) ∴f′(x)=2f′(1)+ ,把 x=1 代入 f′(x)可得 f′(1)=2f′(1)+1, 解得 f′(1)=﹣1, 故选 B; 点评: 此题主要考查导数的加法与减法的法则,解决此题的关键是对 f(x)进行正确求 导,把 f′(1)看成一个常数,就比较简单了; 11. (5 分)将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其 余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号 码为 b.则使不等式 a﹣2b+10>0 成立的事件发生的概率等于() A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球, 共有 9×9 种结果,满足条件的事件是使不等式 a﹣2b+10>0 成立的,即 2b﹣a<10,列举出当当 b=1,2,3,4,5,6,7,8,9 时的所有的结果,得到概率. 解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球,共有 9×9=81 种结果, 满足条件的事件是使不等式 a﹣2b+10>0 成立的,即 2b﹣a<10 当 b=1,2,3,4,5 时,a 有 9 种结果,共有 45 种结果, 当 b=6 时,a 有 7 种结果
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当 b=7 时,a 有 5 种结果 当 b=8 时,a 有 3 种结果 当 b=9 时,a 有 1 种结果 ∴共有 45+7+5+3+1=61 种结果 ∴所求的概率是 故选 D. 点评: 本题考查等可能事件的概率, 在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数 时,因为包含的情况比较多,又是一个数字问题,注意做到不重不漏. 12. (5 分)下列命题中 ①若 f′(x0)=0,则函数 y=f(x)在 x=x0 取得极值; ②直线 5x﹣2y+1=0 与函数 f(x)=sin(2x+ )的图象不相切;

③若 z∈C(C 为复数集) ,且|z+2﹣2i|=1,则|z﹣2﹣2i|的最小值是 3; ④定积分 正确的有() A.①④ dx=4π.

B.③④

C.②④

D.②③④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: ①若 f′(x0)=0,且在 x=x0 的左右附近导数的符号改变,则函数 y=f(x)在 x=x0 取得极值判断即可; ②求出导数 f′(x) ,由切线的斜率等于 f′(x0) ,根据三角函数的值域加以判断即可; ③|z+2﹣2i|=1 表示圆,|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离,通过连接两定点,由原定特性即 可求出最小值; ④令 y= 面积的 . 解答: 解:①若 f′(x0)=0,且在 x=x0 的左右附近导数的符号改变,则函数 y=f(x)在 x=x0 取得极值,故不正确; ②若直线与函数的图象相切,则 f′(x0)=2.5,即 2cos(2x0+ )=2.5,显然 x0 不存在, ,则 x +y =16(y≥0) ,点(x,y)的轨迹表示半圆,则该积分表示该圆
2 2

故②正确; ③|z+2﹣2i|=1 的几何意义是以 A(﹣2,2)为圆心,半径为 1 的圆,|z﹣2﹣2i|的几何意义 是圆上一点到点 B(2,2)的距离,连接 AB 并延长,显然最小值为 AB﹣1=4﹣1=3,故③ 正确; ④令 y= , 则 x +y =16 (y≥0) , 点 (x, y) 的轨迹表示半圆, 定积分
2 2 2

dx

表示以原点为圆心,4 为半径的圆面积的 ,故定积分 ④正确.

dx= ×π×4 =4π,故

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故选:D 点评: 本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念, 导数的应用于求切线方程, 以及复 数的几何意义,定积分的几何意义及求法,是一道中档题. 二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 13. (5 分)复数 在复平面中的第四象限.

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简复数为 a+bi 的形式,然后判断即可. 解答: 解:复数 即复数对应点为: ( = )在第四象限. = = .

故答案为:四. 点评: 本题考查复数的代数形式混合运算,复数的几何意义,考查计算能力. 14. (5 分)有 5 名数学实习老师,现将他们分配到 2014-2015 学年高二年级的三个班实习, 每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有 90 种(用数字作答) . 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 根据题意,先把 5 名实习老师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,计算其分组 的方法种数,进而将三个组分到 3 个班,即进行全排列,计算可得答案. 解答: 解:把 5 名实习老师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有 =15 种方法,

再将 3 组分到 3 个班,共有

?A3 =90 种不同的分配方案,

3

故答案为:90. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,注意此类题目一般顺序为先组合、再排列. 15. (5 分)如图所示,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随 机地扔到该圆内, 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内”,则 P(B|A)= .

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考点: 条件概率与独立事件. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据几何概型计算公式,分别算出 P(AB)与 P(A) ,再由条件概率计算公式即 可算出 P(B|A)的值. 解答: 解:根据题意,得 P(AB)= = =

∵P(A)=

=

∴P(B|A)= 故答案为:

=

点评: 本题给出圆内接正方形,求条件概率 P(B|A) ,着重考查了几何概型和条件概率计 算公式等知识,属于中档题. 16. (5 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx﹣ax(a> ) ,当 x∈(﹣ 2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于 1. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性,确定 f(x)在(0,2)上的最大值为﹣1,求导函数,确定函 数的单调性,求出最值,即可求得 a 的值. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,x∈(﹣2,0)时,f(x)的最小值为 1, ∴f(x)在(0,2)上的最大值为﹣1, 当 x∈(0,2)时,f′(x)= ﹣a, 令 f′(x)=0 得 x= ,又 a> ,∴0< <2, 令 f′(x)>0,则 x< ,∴f(x)在(0, )上递增;令 f′(x)<0,则 x> , ∴f(x)在( ,2)上递减,∴f(x)max=f( )=ln ﹣a? =﹣1,∴ln =0,得 a=1.

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故答案为:1. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合, 考查导数知识的运用, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系. 已 知曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)曲线 C1: (t 为参数) ,利用 sin t+cos t=1 即可化为普通方
2 2 2 2

,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

程;C2: (Ⅱ)当 t=

(θ 为参数) ,利用 cos θ+sin θ=1 化为普通方程. 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1: ∴C1 为圆心是(﹣4,3) ,半径是 1 的圆. C2: (θ 为参数) ,化为 . (t 为参数) ,化为(x+4) +(y﹣3) =1,
2 2

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)当 t= 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7, M 到 C3 的距离 d= 从而当 cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 = |5sin(θ+φ)+13|, .

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、 点到直线的距离公式公式、 三角函数的单调性、 椭圆与圆的参数与标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +x﹣16.
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3

(1)求曲线 y=f(x)在点(2,6)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出原函数的导函数,得到函数在 x=2 时的导数,即切线的斜率,然后由直 线方程的点斜式得答案; (2)设出切点坐标,求出函数过切点的切线方程,由切线过原点求得切点横坐标,则直线 方程与切点坐标可求. 3 解答: 解: (1)由 f(x)=x +x﹣16,得 2 2 f′(x)=3x +1,∴f′(2)=3×2 +1=13, ∴曲线 y=f(x)在点(2,6)处的切线方程为 y﹣6=13(x﹣2) ,即 13x﹣y﹣20=0; (2)设切点为( ∴切线方程为 ∵切线经过原点, ∴ ∴ ,x0=﹣2. , ) , , ,

则 f′(﹣2)=13, ∴所求的切线方程为 y=13x; 切点为(﹣2,﹣26) . 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 关键是区分切线所经过的点 是否为切点,是中档题. 19. (12 分)给出四个等式:1=1;1﹣4=﹣(1+2) ;1﹣4+9=1+2+3;1﹣4+9﹣16=﹣ * (1+2+3+4)….猜测第 n(n∈N )个等式,并用数学归纳法证明. 考点: 数学归纳法;归纳推理. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由已知猜测:第 n(n∈N )个等式为:1﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)
1 * 2 2 2 n﹣1

?n =(﹣1)

2

n﹣

(1+2+…+n)=(﹣1)
*

n﹣1

.利用数学归纳法证明即可.

解答: 解:1=1;1﹣4=﹣(1+2) ;1﹣4+9=1+2+3;1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4)…. 猜测第 n(n∈N )个等式为:1﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1) 1)
n﹣1 2 2 2 n﹣1

?n =(﹣1)

2

n﹣1

(1+2+…+n)=(﹣



下面利用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,1=1,成立; (2) 假设当 n=k (k∈N ) 时, 等式 1﹣2 +3 ﹣4 +…+ (﹣1) ?k = 成立.
* 2 2 2 k﹣1 2

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则当 n=k+1 时,左边=1﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)
2

2

2

2

k﹣1

?k +(﹣1) ?(k+1)
k

2

k

=
k

+(﹣1) ?(k+1) =(﹣1) =右边,
* 2 2 2

k

2

=(﹣

1) ? ∴当 n=k+1 时,等式成立.

综上可得:第 n(n∈N )个等式为:1﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1) =(﹣1)
n﹣1

n﹣1

?n =(﹣1)

2

n ﹣1

(1+2+…+n)

成立.

点评: 本题考查了数学归纳法应用, 考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力, 属于中档 题. 20. (12 分)某同学参加高校自主招生 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成 绩的概率 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p<q) ,且不同课程是否 取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3 p x y

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率及求 p,q 的值; (Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)用 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.由题意得 P(A1) = ,P( )= ,由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率.从而能

够求出 p,q 的值. (Ⅱ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出其概率,由此能够求出数学期望 Eξ. 解答: 解:用 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3. 由题意得得 P(A1)= ,P( )= , )=1﹣ =

(Ⅰ)该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为 P=1﹣P( P(

)=(1﹣P(A1) ) (1﹣P(A2) ) (1﹣P(A3) )= (1﹣p) (1﹣q)= 得 p= ,q= .

及 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)= pq= (Ⅱ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= ,

P(ξ=1)= × × + × × + × × = ξ 0 1 2

,P(ξ=2)= × × + × × + × × = 3



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pi ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .

∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为 . 点评: 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望,是历年 2015 届高考的必考题型 之一.解题时要认真审题,注意排列组合知识和概率知识的灵活运用. 21. (12 分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名 男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. 随机抽出 8 位, 他们的数学分数从小到大 排序是:60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排序是:72、77、80、84、 88、90、93、95. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? (Ⅱ)若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具有 线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果不 具有线性相关性,请说明理由.

参考公式:相关系数

;回归直线的方程是:

=bx+a.

其中对应的回归估计值 b=

,a= ﹣b ;

参考数据: =77.5, =85, ﹣ )≈688, ≈32.4,

(x1﹣ ) ≈1050, ≈21.4, ≈23.5.

2

(y1﹣ ) ≈456;

2

(x1﹣ ) (y1

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)按分层抽样原理,计算应抽取的男生、女生各是多少; (Ⅱ)根据题目中的公式,计算相关系数 r,判断线性相关性;求出线性回归方程中的系数, 得出回归方程. 解答: 解: (Ⅰ)按男女生分层抽样的结果是,
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女生应抽取 男生应抽取

(人) , (人) ;…(4 分)

(Ⅱ)变量 y 与 x 的相关系数是

r=

=

=

≈0.99;…(6 分)

可以看出,物理与数学成绩是高度正相关;…(8 分) 【若以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标做散点图, 从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近,并且在逐步上升, 所以物理与数学成绩是高度正相关; 】 设 y 与 x 的线性回归方程是 根据所给的数据,可以计算出 ,

b=

=

=0.66,

a= ﹣b =85﹣0.66×77.5=33.85;…(10 分) 所以 y 与 x 的回归方程是 .…(12 分)

点评: 本题考查了线性回归方程的应用问题, 也考查了线性相关系数的计算问题, 是基础 题目.
2

22. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣alnx+ (Ⅰ)求函数 f(x)单调区间;

(a∈R)

(Ⅱ)若 a=﹣1,求证:当 x>1 时,f(x)< x .

3

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,分类讨论,利用导数的正负求函数 f(x)单调区间; (Ⅱ)设 ,证明 F(x)在(1,+∞)上为增函数,即

可得出结论. 解答: (Ⅰ)解:f(x)的定义域为 x>0…(1 分) …(2 分)

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若 a≤0 时,f'(x)≥0 恒成立,即 f(x)的单调区间为(0,+∞)…(4 分) 若 a>0 时,令 f'(x)>0,得 即 f(x)的单调区间为 (Ⅱ)证明:设 …(5 分) ,减区间为 …(6 分) …(7 分)

则 ∴F(x)在(1,+∞)上为增函数,且 即 F(x)>0 在(1,+∞)上恒成立…(11 分) ∴当 x>1, …(12 分)

…(8 分) …(10 分)

点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确构造 函数,求导数是关键.

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