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集合与不等式难题分析


第一章

集合与命题
考点综述

集合与命题是高中数学的基石,高考对这部分知识的考查主要有三个方面:一是集合 的概念、关系和运算;二是集合语言与集合思想的运用(如求方程与不等式的解集、函数 的定义域和值域等) 三是命题之间的逻辑关系的判断和推理. ; 此外与集合有关的信息迁移 题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、 条件的判断.其核心考点有:集合的概念及相应关系,集合的运算,命题及充要条件.

考点 1
典型考法 1
典型例题

集合的概念及相应关系

与含参数的方程有关的集合问题

x a 已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0 , , ? R}
2

(1)若 A 是空集,试求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围. 解析 集合 A 是方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 在实数范围内的解集.
2 2 2

(1)若 A 是空集, 则显然 a≠0, 且方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 无解, ?=(?3) ? 4 ? a ? 2 ? 0 , 得

? a?

9 9 ,即 a 的取值范围是 {a | a ? } . 8 8

2 3 9 4 ?=(?3)2 ? 4 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? ,此时 A ? { } ,符合题意; 8 3 9 综上所述, a ? 0 或 . 8

(2) 当 a=0 时 , A ? { x | ? 3x ? 2 ? 0 }? {,}符 合 题 意 ; 当 a≠0 时 , 必 须

(3) A 中至多只有一个元素,包括 A 是空集和 A 中只有一个元素这两种情况,根据(1) 和(2)的结果,知 a=0 或 a ?

9 9 ,故 a 的取值范围是 {a | a ? 0或a ? } . 8 8

1

必杀技:

用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题
2

一般地,对于集合 {x | ax ? bx ? c ? 0 , ? R} ,其中 a , b , c 均为实数, x 当 a≠0 时, {x | ax ? bx ? c ? 0, ? R 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根的集 x }
2

2

合.须注意:若求非空集合 {x | ax ? bx ? c ? 0 , ? R} 中的元素之和,则应分 ? ? 0 与 x
2

? ? 0 这两种情形,具体为
(1)若 ? ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 有两个不等的实根,于是,非空集合
2

b {x | ax 2 ? bx ? c ? 0 , ? R} 中的元素之和为 ? ; x a
(2)若 ? ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 有两个相等的实根,于是,非空集合
2

{x | ax 2 ? bx ? c ? 0 , ? R} 中的元素之和为 ? x

b . 2a

实战演练
1. 已知 A ? {x |

x?a ? 1 , ? R} 为单元素集,则实数 a 的取值的集合为 x x2 ? 2



2.设 A={x|x2+(b+2)x+b+1=0,b∈R},求 A 中所有元素的和. 3.对于函数 f(x),设 A ? {x | f ( x) ? x} , B ? {x | f ( f ( x)) ? x} . (1) 求证: A ? B ; (2) 若 f ( x) ? ax ? 1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围.
2

参考答案
1. ?? , ? 2, 2 ? . 2.当 b≠0 时,和为-(b+2);当 b=0 时,和为-1.

? 9 ? 4

? ?

1 3 1 提示:由 A ? ? 知: a ? ? , B 中元素是方程 ,] 4 4 4 2 2 2 2 2 (ax ? x ? 1)(a x ? ax ? a ? 1) ? 0 的实根,由 A ? B 得方程 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 要么没 3 3 2 有实根,要么实根是方程 ax ? x ? 1 ? 0 的根,易得 a ? 或 a ? ,故 a 的取值范围是 4 4 1 3 [? , ] . 4 4
3.(1)略 (2) [?

2

典型考法 2
典型例题

集合对某种运算的封闭性

设 M ? {a | a ? x ? y , , ? Z } . x y
2 2

(1)属于 M 的两个整数,其积是否仍属于 M ,为什么? (2) 8 、 9 、 10 是否属于 M ,请说明理由.

y x y 解析 (1) 设 a , ? M ,则 a ? x1 ? y1 , b ? x2 ? y2 , ( x1 ,1 ,2 , 2 ? Z ) , b
2 2 2 2 2 2 a ? b ? ( x12 ? y12 ) ? ( x2 ? y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 )2 ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) 2 ,

? x1 ,1 ,2 , 2 ? Z , x1 x2 ? y1 y2 ? Z 且 x1 y2 ? x2 y1 ? Z , y x y ? 从而 a ? b ? M , 即属于 M 的两个整数,其积仍属于 M . 9 9 (2) ? 8 ? 3 ? 1 , ? 3 ? 0 ,? 8 ? M , ? M .
2 2 2 2

假设 10 ? M , 则存在整数 m , , 10 ? m ? n , (m ?n) ?(m ?n) ?10 即 n 使
2 2

, 由于 10

为偶数,注意到 m ? n 与 m ? n 具有相同的奇偶性,所以 m ? n 、 ? n 均为偶数,其乘积 m

(m ? n) ? (m ? n) 应是 4 的整数倍,但 10 不是 4 的整数倍,导致矛盾,故假设不成立,即

10 ? M .

必杀技

深刻理解集合中的元素所具有的性质

1.要证明 x0 ? M ,通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式. 2.要证明 x0 ? M ,通常用反证法. 实际上,本题还可得到进一步的结果:对任意 n ? Z, n ,n ? 1,n ? 3 均为 M 中的 4 4 4 元素,而 4n ? 2 不是 M 中的元素.

实战演练
1.设非空集合 S ? {x | m ? x ? l} 满足:当 x ? S 时,有 x 2 ? S .给出如下三个命题: ①若 m ? 1,则 S ? {1} ;②若 m ? ?

2 1 1 1 ,则 ? l ? 1 ;③若 l ? ,则 ? ? m ? 0 .其 2 2 4 2
) .

中正确命题的个数是?????????????????????????? ( A.0 B.1 C.2 D.3

3

2.已知 S ? {x | x ? m ? n , , ? Z } . m n
2 2

(1)如果 s 、? S ,那么 s ? t 是否为 S 的元素,请说明理由; t (2)当 s 、? S 且 t ? 0 时,证明: t

s 可表为两个有理数的平方和. t

? ,? 3.已知集合 A ? ?a1,a2, ,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1 2, ,k ) ,由 A 中的元
b b a 素构成两个相应的集合: S ? (a, ) a ? A, ? A, ? b ? A , T ? ?(a,) a ? A, ? A, ? b ? A? .其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素 b b a
个数分别为 m 和 n .若对于任意的 a ? A ,总有 ?a ? A ,则称集合 A 具有性质 P .

?

?

1, 3? 2, (I)检验集合 ?0,2, 与 ??1, 3? 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写
出相应的集合 S 和 T ; (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤

k (k ? 1) ; 2

(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论.

参考答案:
1.D . 2.(1) s ? t ? S ; (2)证略. 注:任意一个有理数均可表示成

b (其中 a , 为整数且 a ? 0 )的形式. b a

1, 3? 2, 3. 集合 ?0,2, 不具有性质 P . (I) 集合 ??1, 3? 具有性质 P , 其相应的集合 S 和 T ,,, ? ? 2 3? 是 S ? ?(?1 3) (3 ? 1)? , T ? ?(2, 1), , ? .
(II) 证略. 提示: A 中元素构成的有序数对 ( ai,a j ) 共有 k 个, 由 且当 (ai,a j ) ? T
2

时, (a j,ai ) ? T (i,j ? 1 2, ,k ) .从而,集合 T 中元素的个数最多为 ,?

n≤

k (k ? 1) . 2

1 2 (k ? k ) ,即 2

(III) m ? n .提示:对于 (a,b) ? S ,这里 a ? A , b ? A ,且 a ? b ? A ,从而

(a ? b,b) ? T .如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一

4

个不成立, 从而 a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立. (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 故 也是 T 的不同元素.可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n .同理可得 n ≤ m ,于是便有 m ? n .

5

考点 2

子集、集合中的图形

典型考法 1
典型例题

子集

a … a n 设 A 为集合 M 的子集,且 A ? {a1, 2, , n }(n ? N , ? 2) ,若

?

a1 ? a2 ? … ? an ? a1 ? a2 ?…? an ,则称 A 为集合 M 的 n 元“好集”.
(1)写出实数集 R 的一个二元“好集”; (2)求出正整数集 N 的所有三元“好集”; (3)证明:不存在正整数集 N 的 n(n ? 4) 元“好集”. 解析(1) {3 , } , {4 , } , {5 , } 等.
? ?

3 2

4 3

5 4

a a (2)当 n ? 3 时, A ? {a1, 2,3} ,不妨设 a1 ? a2 ? a3 ,则由 a1 ? a2 ? a3 ? a1a2 a3 可
? a 得,a1 ? a2 ? a3 ? 3a3 , ai ? N ,? a1 ? a2 ? 3 ,注意到 a1 ? a2 且 a1 , 2 ? N ,故 a1 ? 1 ,
? ?

a2 ? 2 . 因此,正整数集 N ? 的三元“好集”只有 {1,, ; 2 3} a … a (3)当 n ? 4 时, A ? {a1,2, ,n } 不妨设 A 中的最大元素为 an ,则依题设条件,得 a1 ? a2 ? a3 ?? ? an?1 ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? nan
故 ??????(※) ,

nan ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? a1 ? a2 ???? an?1 ? an ? 1? 2 ??? ? (n ? 1) ? an ,
即有 nan ? (n ? 1)!? an ,则 n ? (n ? 1)! .又因为 n ? 4 ,所以有

(n ?1)! ? (n ?1)(n ? 2)(n ? 3)?2 ?1 ? (n ?1)(n ? 2) ? n2 ? 3n ? 2 ,
即 n ? n ? 3n ? 2 ? (n ? 3n ? 2) ? n ? 0 ,但另一方面,
2 2

(n2 ? 3n ? 2) ? n ? (n ? 2)2 ? 2 ? (4 ? 2)2 ? 2 ? 2 ? 0 ,

6

即 (n ? 3n ? 2) ? n ? 0 ,矛盾!也就是说,当 n ? 4 时,满足条件的集合 A 不存在.
2

必杀技

充分利用所给条件

1.深刻理解概念并其中所给出条件; 2. A ? B ? A ? A ? B ? A ? B ? B . 在含参数的集合的问题中,往往不能遗漏 A ? ? 是 A ? B 的一种情况.实际上,在本 例中也不存在正整数集 N 的二元“好集”,读者可自行完成期证明过程.
?

实战演练
1.若规定 E = ?a1 , a2 , ? , a10 ? 的子集 ai1 , ai2 , ? , ain 为 E 的第 k 个子集,其中

?

?

k ? 2i1 ?1 ? 2i2 ?1 ? 2i3 ?1 ? ? ? 2in ?1 ,则
(1) ?a1 , a3 ? 是 E 的第 (2) E 的第 211 个子集是
2 2

个子集; .

x 2. 已知集合 A ? {x | x ? ax ? 6a ? 0 , ? R} , ? {x || x ? 2 |? a , ? R} , B ? A 当 B x

?

时,则实数 a 的取值范围是



3. 设全集为 U , 集合 A , , 满足 A ? X ? B ? X ? A ? B, ? B ? X ? A ? B , 则 B X A

X 与 A ? B 的关系为
参考答案



a a a a 1.(1)15 ;(2) { a1 ,2 , 5 ,7 ,8 } .
2. (?? , ? [2 , ?) . 提示: B ? ? (对应地 a ? 0 )也符合条件. 0] ? 3. X ? A ? B . 提示:易得 A ? B ? X ,且 X ? A ? B .现设任意 t ? X ,则 t ? A ? B ,即有 t ? A 或 t ? B .若 t ? A 但 t ? B ,则 t ? A ? X 且 t ? B ? X ,这与 A ? X ? B ? X 相违.同理可证得:若 t ? B 但 t ? A ,则仍与 A ? X ? B ? X 相违.总 之, t ? A ? B ,从而 X ? A ? B ,于是 X ? A ? B .

7

典型考法 2
典型例题

集合中的图形

设 A ? {( x , ) | x ? n , ? na ? b , ? Z } , B ? {( x , ) | x ? m , ? 3(m2 ? 5) , ? Z } , y y m y y n

C ? {( x , ) | x 2 ? y 2 ? 144 } , 问是否 存在实数 a , , 使得 同时满 足 A ? B ? ? ,且 y b

(a ,) ? C . b
解析 假设存在实数 a ,b 使得同时满足与 A ? B ? ? 且 (a ,) ? C ,由满足 b

A ? B ? ? 得,存在整数 m 与 n 使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即 n = m 且 na+b=3m2+15,消
去 m 得 na+b-(3n2+15)=0,又 (a ,) ? C 得,a2+ b2≤144,由此可知点 (a ,) 既在直线 b b nx+y-(3n2+15)=0 上又在圆 x2+ y2=144 或其内部,即直线 nx+y-(3n2+15)=0 与圆 x2+ y2=144 有公共点,因此,圆心 (0 , 到直线 nx+y-(3n2+15)=0 的距离小于或等于半径 12,即 0)

| n ? 0 ? 0 ? ? 3n 2 ? 15 | ? n2 ? 1
2

? 12 ? n4 ? 6n2 ? 9 ? 0 ? ? n 2 ? 3? ? 0 ? n 2 ? 3 ? 0 ? n2 ? 3
2

,但 n ? Z ,故 n ? 3 不成立,即假设不成立,所以,不存在实数 a ,b 使得同时满足

A ? B ? ? , (a ,) ? C . b

必杀技:

充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系

本例首先将条件化简,使得相关元素的图形特征更明朗.本题也可从代数运算的角度 求解,现介绍两种方法,读者可作对比. 另法一:假设存在实数 a ,b 使得同时满足与 A ? B ? ? 且 (a ,) ? C ,由满足 b

A ? B ? ? 得,存在整数 m 与 n 使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即 n = m 且 na+b=3m2+15,消
去 m 得 na+b-(3n2+15)=0,即 3n2- an-b+15=0,于是,它的判别式非负,即 a2+12b-180≥0, 由此得,12b-180≥ ?a ;又 (a ,) ? C 得,a2+ b2≤144,故 12b ?180 ≥ ?a ≥ b ? 144 ,即 b
2 2 2

12b-180≥ b ? 144 ,所以(b-6)2≤0,从而 b=6,现将 b=6 代入 12b ? 180 ? ?a 中得 a2≥108,
2 2

再代入 a2+ b2≤144 中得,a2≤10 因此,只有 a2=108,即 a= ?6 3 ,最后将 a= ?6 3 及 b=6 代入方程 3n2-an-(b-15)=0 得, 2 ?6 3 n+9=0, n2 ?2 3 n+3=0, 3n 即 所以有 n ? ? 3 ? Z . 综

8

上所述,不存在实数 a ,b 使得同时满足 A ? B ? ? , (a ,) ? C . b 另法二: 假设存在实数 a , 使得同时满足与 A ? B ? ? 且 (a ,) ? C , A ? B ? ? b 由 b 得 , 存 在 整 数 m 与 n 使 得 (n,na+b)=(m,3m2+15) , 即 n = m 且 na+b=3m2+15 , 即

b ? 3 n2 ? 15 ? na??(※),又 (a ,) ? C 得,a2+ b2≤144,将(※)代入 a2+ b2≤144,得 b
将 a 2 ? (3n2 ? 15 ? na)2 ? 144 ? (n2 ? 1)a 2 ? 2n(3n2 ? 15)a ? (3n2 ? 15) ? 144 ? 0 , 其看着关于 a 的一元二次不等式,又

? ? 4n2 (3n2 ? 15)2 ? 4(n2 ? 1)[(3n2 ? 15) ? 144] ? ?36(n2 ? 3)2 ,

? n ? Z ,?? ? 0 ,注意到 n2 ? 1 ? 0 ,故,不等式
(n2 ? 1)a 2 ? 2n(3n2 ? 15)a ? (3n2 ? 15) ? 144 ? 0
无实数解, 即这样的实数 a 不存在, 综上所述, 不存在实数 a , 使得同时满足 A ? B ? ? , b

(a ,) ? C . b

实战演练
1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? ?1 或x ? 1} ,集合 B ? {x | x1 ? x ? x2 } ,且 x1 与 x2 是方 程 x ? ax ? b ? 0 的 两 个 实 根 , A ? B ? {x | x ? ?2}, ? B ? {x |1 ? x ? 3} , 则 A
2

. 2.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五 分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都 不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人 问对 A、B 都赞成的学生和 都不赞成的学生各有多少人?
新疆
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a?b ?

特级教师 王新敞
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y y 3.设集合 A ? {( x , ) | y ? x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {( x , ) | 4 x ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0} ,
2 2

集合 C ? {( x , ) | y ? kx ? b},是否存在 k , b ? N ,使得 ( A ? B) ? C ? ? ?若存在, y 则求出 k , b 的值;若不存在,请说明理由.

?

9

参考答案
1. ?5 . 提示:借助于数轴分析得: x1 ? ?1 , x2 ? 3 ,故
U B X 30-X 33-X X +1 3

a ? ?2 , b ? ?3 .
2.对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. 提示: (如图 1-2-1)记 50 名学生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A,赞成事件 B 的学生全体为集合 B.设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则 (30-x)+(33-x)+x+( 得 x=21. 3.k ? 1 ,b ? 2 . 提示: 结合 4 x ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 与 y ? kx ? b 的
2

A

x +1)=50,解 3

图 1-2-1

图像(如图 1-2-2) ,并注意利用 k , b 的几何特征,易得 k ? 1 , b ? 2 .

图 1-2-2

10

第二章
考点综述

不等式

不等式是高中数学的重要内容,它渗透到了中学数学的很多章节,在实际问题中被广 泛应用,可以说是解决其它数学问题的一种有效工具.不等式是高考数学命题的重要内容 之一,其核心考点为不等式的性质与证明、不等式的解法(高频)和不等式的应用(利用 不等式求最值(高频).借助不等式的基本性质,考查函数方程思想、等价转化思想、数 ) 形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法. 含参数不等式的解法与讨论, 不等式与函数、 数列、三角等内容的综合问题,仍是高考命题的热点.

考点 1
典型考法 1
典型例题

不等式的性质与证明
不等式的性质

已知 a, b, c, d 为实数, 满足 a ? b ? c ? d ? 1 , ? bd ? 1 , 则在 a, b, c, d 中 ( ac A.有且仅有一个为负 C.至少有一个为负 解析 B.有且仅有两个为负 D.都为正数

).

取 a ? c ? 2, b ? d ? ?1 ,则可排除 A;再取 a ? 3, b ? ?2, c ? 1, d ? 0 ,则可

排除 B;假设 a, b, c, d 均非负,则由 a ? b ? c ? d ? 1 得, a, b, c, d 均在[0,1]中,所以,

ac ? bd ? a ? b ? 1,但这与已知 ac ? bd ? 1 矛盾,故假设不成立,从而 a, b, c, d 中至少
有一个为负,即 D 错误,选 C.

必杀技

利用不等式的性质

不等式的性质在高考中经常以小题出现,它是证明不等式、解不等式的基础,与函数 等知识紧密联系,应予以高度重视. (1) 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: a ? b, c ? d , a ? ?b ?d (若 若 则 c ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除, 但不能相乘:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则

n

a b ; ? ) c d n n (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 或 a ?nb;

11

(4)若 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 1 1 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? . a b a b

特别提醒:如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号 未定,要注意分类讨论.

实战演练
1.已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,且 xyz ? 0 ,设 M ? A. M ? 0 B. M ? 0 C. M ? 0

1 1 1 ? ? ,则( x y z

).

D. M 不确定 ②a<b<0

2.已知实数 a, b 满足等式 ( ) ? ( ) , 下列五个关系式:①0<b<a
a b

1 2

1 3

③0<a<b ④b<a<0 A.1 个

⑤a=b

其中不可能成立的关系式有( ... C.3 个

). D.4 个

B.2 个

3. 由不全相等的正数 xi (i ? 1, 2, ?, n) 形成 n 个数:x1 ?

1 1 1 ? ,x2 ? , ,xn ?1 ? , x2 x3 xn

xn ?

1 关于这 n 个数,下列说法正确的是 ( x1
A.这 n 个数 都不大于 2 C.至多有 n ? 1 个数不小于 2

). B.这 n 个数都不小于 2 D.至多有 n ? 1 个数不大于 2

参考答案
1.B . 2.B . 提示: a, b 均大于零时,要满足等式,必有 a ? b ; a, b 均小于零时,要满足 等式,必有 a ? b ;当 a ? b ? 0 时,显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④. 3.D .

典型考法 2
典型例题

比较大小

设 a ,b ,c 是 ?ABC 的三边, a ? b ? c 与 2(ab ? bc ? ca) 的大小关系为 则
2 2 2



解析

方法一:首先 a , b , c 均为正数,且由已知得 a ? b ? c ? 0 , b ? c ? a ? 0 ,

12

c ? a ? b ? 0 ,? a(a ? b ? c) ? 0 , b(b ? c ? a) ? 0 , c(c ? a ? b) ? 0 ,从而,
(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? a(a ? b ? c) ? b(b ? c ? a) ? c(c ? a ? b)

? 0?0?0 ? 0 ,
即 (a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? 0 ,故 a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca) .
2 2 2 2 2 2

方法二:首先 a , b , c 均为正数,且由已知得 a ? b ? c ? 0 , b ? c ? a ? 0 ,

c ? a ?b ? 0



?

(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 0



(b ? c ? a)(b ? c ? a) ? 0



(c ? a ? b)(c ? a ? b) ? 0 ,因此,
(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? a 2 ? b2 ? c 2

? [(a ? b)2 ? c 2 ] ? [(b ? c)2 ? a 2 ] ? [(c ? a) 2 ? b 2 ] ? (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? (b ? c ? a)(b ? c ? a) ? (c ? a ? b)(c ? a ? b) ? 0 ? 0 ? 0
?0,
即 (a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? 0 ,故 a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca) .
2 2 2 2 2 2

方 法 三 : 首 先 a , b , c 均 为 正 数 , 且 由 已 知 得 a ? b ? c ?0 , a ? b ? c ? 0 , a ?b ? c ? 0,

(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? (a ? b)2 ? c 2 ? 2c(a ? b) ? (a ? b)2 ? c 2 ? 2c ? c

? (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 0 ,
即 (a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? 0 ,故 a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca) .
2 2 2 2 2 2

方 法 四 : 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得 , 2ab ? 2ab ? cos C ? a ? b ? c ,
2 2 2

2bc ? 2bc ? cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , 2ca ? 2ca ? cos B ? c2 ? a 2 ? b2 ,故 2(ab ? bc ? ca) ? 2ab ? 2bc ? 2ca

? 2ab ? cos C ? 2bc ? cos A ? 2ca ? cos B
? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? a 2 ? b2 ? c2


13

即 2(ab ? bc ? ca) ? a ? b ? c ,所以, a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca) .
2 2 2 2 2 2

方法五:

(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? a 2 ? 2(b ? c)a ? (b ? c) 2 ,
在 ?ABC 中 , 显 然 , | b ? c | ? a ? b ? c , 因 此 , 可 考 虑 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2(b ? c) x ? (b ? c) 2 ,这里 x ? (| b ? c | , ? c) , b

? f (b ? c) ? (b ? c)2 ? 2(b ? c) ? (b ? c) ? (b ? c) 2 ? ?4bc ? 0 ,
f (| b ? c |) ?| b ? c |2 ?2(b ? c)? | b ? c | ? (b ? c) 2 ? 2 | b ? c |2 ?2(b ? c)? | b ? c |

? 2 | b ? c | [| b ? c | ?(b ? c)] ? 0 ,


f (b ? c) ? 0 , f (| b ? c |) ? 0 , 又 ? ? 1 bc ? 6

, 0 并 注 意 到 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2(b ? c) x ? (b ? c) 2 的图像是开口向上的抛物线,知当 a ? (| b ? c | , ? c) b
时,f (a) ? 0 , a ? 2(b ? c)a ? (b ? c) ? 0 , 即 所以 (a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) ? 0 ,
2 2 2 2 2

因而 a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca) .
2 2 2

必杀技:

利用不等式大小比较的常用方法解题

比较大小的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出 结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式) ;(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母) 有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量(一般先把要比较的代数式与“0”比,与 “1”比,然后再比较它们的大小)或放缩法 ;(8)图象法:利用有关函数的图象(指数函 数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小.其中比较法(作差、作商) 是最基本的方法.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.

实战演练
1.a 、b 、c 为互不相等的正数,a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是(
2 2

).

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. b ? a ? c

D. a ? c ? b

14

2 . (1) 定 义 在 [ 0, ] 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( 0 ) f ( 1 ) 如 果 对 任 意 不 同 的 . 1上 ?

x1 ,x2 ? [0 , ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | ,则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 与 1]
为 . 3.已知 3 ? 13 ? 17 , 5 ? 7 ? 11 ,则实数 a , b 的大小关系为
a b a a b b

1 的大小关系 2


参考答案
1.C。

1 1 . 提示: 不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,当 x2 ? x1 ? 时,显然有 2 2 1 1 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ;当 x2 ? x1 ? 时,由 f (0) ? f (1) 知, 2 2 1 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x1 ) ? f (0) ? f (1) ? f ( x2 ) | ? | x1 ? 0 | ? |1 ? x2 | ? . 2
2. | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 3. a ? b . 提示:假设 a ? b ,则 17 ?3 ?13 ?3 ? 13
a a b a a

,11 ? 5 ? 7 ? 5 ? 7 ,
b a b b b

即(

3 a 13 a 5 7 3 ) ? ( ) ? 1 ,( )b ? ( )b ? 1 ,而 f ( x) ?( ) 17 17 11 11 17

x

13 ? ) ( 17

x

与 g ( x) ? (

5 x 7 ) ? ( )x 11 11

在 R 上递减,且 f (1) ? f (a ) , g (1) ? g (b) ,故 a ? 1 , b ? 1,这与假设矛盾,故 a ? b .

典型考法 3
典型例题

算术平均数与几何平均数

(1)设 a, b ? 0 , a ? b ? 2 2 且

ab(a ? b) 2 ? 1 ,则 ab 的值为 4




(2)若 a, b, c ? R ,则

?

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc
2

解析
2

(1) 因为 a , b ? 0 ,所以由已知得, (a ? b) ? 4ab ?

4 4 ? 2 4ab ? ? 8, ab ab

即 ( a ? b) ? 8 , 进而 a ? b ? 2 2 , a ? b ? 2 2 , 又 所以有 a ? b ? 2 2 , 于是 4ab ?

4 ab

15

又 a , b ? 0 ,所以 ab ? 1 . (2) 因为 a, b, c ? R ,所以
?

1 4 1 4 (a 2 ? b2 ) ? (c 2 ? b2 ) 2a ? b ? 2c ? b a ?b ?c 5 5 ?2 5, 5 5 ? ? 5 ab ? 2bc ab ? 2bc ab ? 2bc
2 2 2

1 4 a 2 ? b2 ? c2 c 5 2 5 b 且c ? b ,即 a ? ? 当a ? 取得最小值 . b ? 0 时, 5 5 2 5 5 ab ? 2bc

必杀技:利用基本不等式求解
1.基本不等式(或称均值不等式) a ? b ? 2ab (a , ? R) ,当且仅当 a ? b 时取 : b
2 2

等号.

a 2 ? b2 2.常见变形:(1) ab ? (a , ? R) ,当且仅当 a ? b 时取等号. b 2
(2) ab ? ?

a2 ? b2 ? a?b? ? (a , ? R) ,当且仅当 a ? b 时取等号. b ? 2 ? 2 ?
2

3.结论:两个(或三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即

a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立. 2 a?b?c 3 对于任意正数 a 、 b 、 c ,有 ? abc ,当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 3
对于任意正数 a 、 b ,有 注:在利用该结论求最值时,要注意到“一正”“二定”“三相等”.

?a ? b ? 2 2 ?a ? 2 ? 1 ?a ? 2 ? 1 ? ? ? 实际上,对于题(1),可得 ?ab ? 1 ,解得 ? 或? . ?b ? 2 ? 1 ?b ? 2 ? 1 ?a , ? 0 ? ? ? b
?a? ?c? ?a? ?c? ? ? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ? 2 2 2 a ?b ?c b ? b ? ,现令 ? b ? ?b? ?k , ?? ? 题(2)的另一方法可为: a c a c ab ? 2bc ? 2? ? 2? b b b b
?? a ? 1 ? ?? c ? ? 5 2 a c ?a? ?c? 则 ? ? ? 1 ? ? ? ? k ? ( ? 2 ? ) ,所以, ?? ? ? k ? ? ?? ? ? k ? ? k ? 1 , 因为 4 b b ?b? ?b? ?? b ? 2 ? ?? b ? ?
2 2

2

2

2

2

2

2

16

其左式非负,所以右式 ?

a2 ? b2 ? c2 2 5 2 5 5 2 ,故 的最小值为 . k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 5 5 ab ? 2bc 4

实战演练
1.已知 a ? b ? c ,则

1 1 2 与 的大小关系为 ? a ?b b ?c a ?c
m3 n3 ? ,则 m ? n 与 2 的大小关系为 2 2



2.若 m ? 0 , n ? 0 且 1 ?



3.已知 m , ,均为实数,[u ] 表示不超过实数 u 的最大整数,若 n t

mx 2 ? nx ? t ? 0对 ? x ? [ x] ? 2

任 意 x ? R 恒 成 立 , 且 m(1 ? P) ? n(1 ? P) ? t ? 0 ( n ? m ? 0 ) 则 实 数 P 的 最 大 值 , 为 .

参考答案
1.

1 1 2 . 提示:令 a ? b ? x , b ? c ? y ,则 x , , ? y ? 0 ,故由 y x ? ? a ?b b?c a ?c

1 1 1 1 2 .实际上,本题还可进一步得到:若 ( x ? y )( ? ) ? 4 ? 2 即得 ? ? x y a ? b b ? c a? c

a ? b ? c ,则使不等式
2. m ? n ? 2

1 1 n ≥ 成立的 n 的最大值为 4 . ? a ?b b?c a ?c
m3 ? 13 ? 13 n3 ? 13 ? 13 ? 2. 3 3

提示:

方法一:由已知得 m ? n ? m ?1?1 ? n ?1?1 ? 方法二:注意到 mn ? (

m?n 2 n ) 及 m , ? 0 ,故 2 2 ? m3 ? n3 ? (m ? n)[(m ? n) 2 ? 3mn] 3 1 ? (m ? n)[(m ? n)2 ? (m ? n)2 ] ? (m ? n)3 , 4 4 1 3 即 2 ? ( m ? n) ? m ? n ? 2 . 4 2 3 3 方法三: (m ? n) ? 2 ? ?3 ? m ? n ?? m ? n ? ? 0 ,故 m ? n ? 2 .
方法四:令 m ? n ? a , mn ? b ,则 m,n 为 x ? ax ? b ? 0 的两实根,
2

17

2=m3+n3=a[a2 ? 3b],即

? ? a 2 ? 4b ? 0

① ,

a3 2 ② ? 3 3a ? a3 2 ? 2 ? ? ? 0 ,又 a ? 0 ,故 a ? 2 ,即 m ? n ? 2 . 将②代入①得 a ? 4 ? ? 3 3a ? b?
3.?3 . 提示: 注意到 ? x ? [ x] ? 2 ? 0 , 故原不等式变为 mx ? nx ? t ? 0 对任意 x ? R
2

均成立, Q m ? 0 ,? ? ? 0 ,因此 t ?

n2 m?n?t m?n?t ,又 P ? ? .现考虑 .令 4m n?m n?m n2 1 9 当 ?? 且t ? , 3, 4m 4 4?

1 9 3 3 3 n m ?n ? t 则 故 ? ? ?1 , ? ? 0 , ? ?? ? ? ? ? 4 4? 2 2 2 m n?m
即 ? ? 3 , ? n ? 4m 时, 取“=”, 从而有 P ? ? t

m?n?t 即实数 P 的最大值为 ?3 . ? ?3 , n?m
2

注:本题还可这样考虑:注意到原不等式等价于 mx ? nx ? t ? 0( x ? R) 恒成立,取

x ? ?2 代 入 便 得

m(? 22 ) ? n ? (? 2 t? )

? 即 m ? n ? t ? 3(n ? m) , Q n ? m , 0

?

m?n?t ? ?3 ,即 P ? ?3 . m?n

典型考法 4
典型例题

不等式证明的常用方法

已知 a ? b ? c ? 1且 a , , 均大于 0 , 求证: 13a ? 1 ? 13b ? 1 ? 13c ? 1 ? 4 3 . b c 解析

13a ? 1 ?

4 3 ? 3

( 13a ? 1) 2 ? ( 2

4 3 2 19 ) 13a ? 3 3 , ? 2



4 3 13a ? 1 ? ? 3

13a ? 2

19 3 , 同 理 可 得

4 3 13b ? 1 ? ? 3

13b ? 2

19 3 ,

18

13c ? 1 ?

4 3 ? 3

13c ? 2

19 3 ,将它们相加得

13a ? 1 ?


4 3 4 3 4 3 ? 13a ? 1 ? ? 13c ? 1 ? ? 3 3 3

13a ?

19 19 19 13a ? 13c ? 3 ? 3 ? 3 , 2 2 2

( 13a ? 1 ? 13a ? 1 ? 13c ? 1) ?

4 3 1 19 ? [13( a ? b ? c) ? 3 ? ] ? 16 , 3 2 3

? 13a ? 1 ? 13b ? 1 ? 13c ? 1 ? 4 3 .

必杀技:

掌握不等式证明的几种常用方法

(ⅰ)不等式证明的常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法. (ⅱ)不等式证明方法较多,证法灵活,其中比较法、分析法、综合法是基本方法,要 熟练掌握,其他方法作为辅助,这些方法之间不能截然分开,要综合运用各种方法;另外, 证明中有时要先对不等式作等价变形再进行证明. (ⅲ)注意 1 的灵活使用;同时要学会寻找证明的突破口,如例题中出现的 “”

4 3 的由 3

来.事实上,由于 a , b , c 的地位“平等” ,即不等式的左边是一个对称式,我们可采取 特殊化探路:先求等号成立的条件,当 13a ? 1 ? 13b ? 1 ? 13c ? 1 即 a ? b ?

1 4 3 1 ,然后再利用基本不等式变形加以证明. c ? 时, 13a ? 1 ? 13 ? ? 1 ? 3 3 3

实战演练
1.已知 a ? b ? c ? 1且 a , b , c 均大于 0 ,求证: a ? b ? c ? 3 . 2. a ,b ,c 分别为 ?ABC 的三边长, 设 求证:abc ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) . 3.已知 a>0,b>0,且 a+b=1.求证:(a+

25 1 1 )(b+ )≥ . a b 4

参考答案:
3 1.提示: 利用 x ? ? 3 x? 2 1 3 ( x ? 0) .

19

2.提示:在 ?ABC 中,? a ? b ? c 、 b ? c ? a 、 c ? a ? b 均大于 0 ,?有

0 ? (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? [

(a ? b ? c) ? (b ? c ? a) 2 ] ? b 2 ,即 2

0 ? (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? b 2 , 同 理 可 得 0 ? b ? c ? a) (c ? a ?2 ) 及 c ( b ?
2 2 将它们相乘得 [(a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b)] ? (abc) , 0 ? (a ? b ? c)(c ? a ? b) ? a 2 ,

注意到 a 、 b 、 c 、 a ? b ? c 、 b ? c ? a 、 c ? a ? b 均大于 0 ,故两边开方即得证. 注:本题可将 ?ABC 这一条件去掉.即,设 a , b , c 均大于 0 ,则有 abc 不小于

(a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) .
提示:可对 a ? b ? c , b ? c ? a , c ? a ? b 的符号进行分类讨论. 3.提示:方法一:欲证原式,即证 4(ab)2-33(ab)+8≥0,注意到 0 ? ab ? 方 法 二 : 设 a=

1 . 4

1 1 1 1 +t1 , b= +t2 , 易 得 t1+t2=0 , |t1| < , |t2| < , 2 2 2 2

25 3 2 25 ? t2 ? t2 4 1 1 25 1 ,当且仅当 t2 ? 0 即 a=b= 时,等号成立. ? (a ? )(b ? ) ? 16 2 ? 16 ? 1 1 2 a b 4 ? t2 2 4 4 1 25 1 2 方 法 三 : 易 得 0 ? ab ? , 故 (1 ? ab) ? 1 ? ,注意到 ?4 ,从而有 ab 4 16
( 1? ab 2 ? 1 2 5 ) 1 1 25 ? ,即 (a ? )(b ? ) ? . ab 4 a b 4 1 1 (4 ? sin 2 2? ) 2 ? 16 ? 方法四:令 a=sin α,b=cos α,α∈(0, ),则 (a ? )(b ? ) ? , 2 a b 4sin 2 2?
2 2

利用 0 ? sin 2? ? 1 易得证.
2

考点 2

不等式的解法

典型考法 1
典型例题

一元一次不等式 (组)

若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围.
2

20

解析

本题将 m 视为自变量,即将原不等式化为: m( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,令
2

f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) , 则 ? 2 ? m ? 2 时 , f (m) ? 0 恒 成 立 , 所 以 只 需
2 ? f (?2) ? 0 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ?1? 7 1? 3 ? , ). 即? ,所以 x 的范围是 x ? ( ? 2 2 2 ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? f ( 2) ? 0 ?

必杀技:

分类讨论与变更主元

(1)任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为 ax>b 的形式. 当 a>0 时,解集为{x|x> 况而定; (2)对于含参问题要注意分类讨论. (3)确定题中的主元,化归成初等函数求解,此方法通常化为一次函数. 给定一次函数 y ? f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , y ? f ( x) 在 [m,n] 内恒有 f ( x) ? 0 , 若 则
b b };当 a<0 时,解集为{x|x< }.当 a=0 时,须视 b 的情 a a

根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于 ?

?a ? 0 ?a ? 0 或? ,亦可合并定成 ? f ( m ) ? 0 ? f ( n) ? 0

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 ;同理,若在 [m,n] 内恒有 f ( x) ? 0 ,则有 ? . ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
本题的不等式中出现了两个变量: m, x、 并且是给出了 m 的范围, 要求 x 的相应范围. 若 直接从关于 x 的不等式正面出发求解较难,而把 m 看作自变量,x 看成参变量,即把 m 视 为主元,利用函数的观点来解决不等式问题,于是上述问题即可转化为在区间[-2,2]内关 于 m 的一次函数值小于 0 恒成立,求参变量 x 的范围的问题,进而化难为易,问题得以解 决.

实战演练
1.对于 x ?[0 , 的一切值, a ? 2b ? 0 是使 ax ? b ? 0 恒成立的( 1] A.充分且必要条件 条件
2

).

B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.非充分非必要

2. (1)不等式 m ? x ? m ? x ? 1 ? 0 对一切 x ?[0 , 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 1] 3. (2)若不等式 m2+mx+1>2m+x 对( ? 2, 2)内任意 x 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 .

21

参考答案:
1.C. 2. (?1, . 提示: 1) 方法一:设

x ? t , 则 g ( t ) ? (1 m )? (1 m t) t(? ,0 , 于 是 问 题 等 价 于 ? 2 ? [ 1] )

? g (0) ? 1 ? m 2 ? 0 ? ,解得 ?1 ? m ? 1 . ? 2 ? g (1) ? 2 ? m ? m ? 0 ?
方法二:由原不等式得

(m ? 1)[m ? (1 ? x )] ? 0 ,解之得

?1 ? m ? 1 ? x ,注

意到该不等式对 0 ? x ? 1 恒成立,故, ?1 ? m ? 1 ,得 m 取值范围是 (?1, . 1) 3 . (?? , 1] ? [3 , ?) . 提 示 : 令 f ( x) ? (a ? 1)x ? (a ? 1), 则 原 题 设 等 价 于 ? ?
2

f ( x ) ? 0对 (?2, 内任意实数 x 恒成立,故 f (?2) ? 0 ? a ? ?1 或 a ? 3 . 2)

典型考法2
典型例题

一元二次不等式

设 a 为实常数,函数 y ? 2 x ? ( x ? a) | x ? a | .
2

(1)当 x ? 0 时, y ? 1 ,试求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求 y 在 [a , ?) 上的最小值;当 a ? R 时,试写出 y 的最小值. ? (3)当 x ? (a , ?) 时,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 y ? 1 的解集. ? .... 解析 (1)因为当 x ? 0 时, y ? 1 ,故, ? a | a |? 1 ? ?
2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1 .

1 (2) 当 a ? 1 时 , y ? 3 x ? 2 x ? 1 ( x ? ? ) 故 y 在 x ? a 的 最 小 值 为 y ? 3 ?12 ? 2 ?1 ? 1 ? 2 .
当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , ? f ( x) ?min
2 2

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a , f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? 3 ? ? 3

22

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , ? f ( x ) ?min ? ?

2 ? ? f ( ? a ), a ? 0 ??2a , a ? 0 ?? 2 . ? f (a ), a ? 0 ? 2a , a ? 0 ?

综上,当 a ? R 时, ymin

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 . , a?0 ? ? 3
时 , 由

(3)



x ? ( a , ?) ?

y ?1



3x2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0



? ? 4a 2 ? 12(a 2 ? 1) ? 12 ? 8a 2
当a ? ?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ?( x ? )( x ? )?0 ?a? 当? 时, ? ? 0 ,得: ? 3 3 2 2 ?x ? a ?
讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a , ?) ; ? 2 2

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 ]?[ ,? ?) ; ,? ) 时,解集为 (a , 当 a ? (? 3 3 2 2
当 a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 2 2 ,? ?) . , ] 时,解集为 [ 3 2 2

必杀技:利用三个“二次”的关系,注意分类讨论
1.解不等式的过程,实质上是不等式等价转化过程,保持同解变形是解不等式应遵循 的基本原则.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组) 求解,这体现了转化与化归的数学思想. 2.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论,能避免讨论的应设法避免讨论.对字母 参数的逻辑划分要具体问题具体分析,必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 3. 一元二次不等式 (组) 是解不等式的基础, 一元二次不等式是解不等式的基本题型. 一 元二次不等式与相应的函数,方程紧密联系. 求一般的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集,要结合
2 2
2 c ax2 ? bx ? c ? 0 的 根 及 二 次 函 数 y ? a x ? b x? 图 象 确 定 解 集 . 一 元 二 次 方 程

a x2 ? b x? c?0 (a ? 0 ),设 ? ? b2 ? 4ac ,它的解按照 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 可分为三

23

种情况.相应地,二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图象与 x 轴的位置关系也分为三种
2

情况.因此,我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解
2

集,如图 2-2-1 .

实战演练
1.若关于 x 的不等式 1 ? kx ? 2 x ? k ? 2 有唯一实数解,则实数 k ?
2



? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 2.关于 x 的不等式组 ? 2 的整数解的集合为{-2},则实数 k ?2 x ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0 ?
的取值范围是 .
2

3.要使满足关于 x 的不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 (解集非空)的每一个 x 的值至少满足 不等式 x ? 4 x ? 3 ? 0 和 x ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个,求实数 a 的取值范围.
2 2

24

参考答案:
1. k ? 1 ? 2 或 2. [?3 , . 2) 3 . [7 , ) .

1? 5 . 2

81 8

提 示 :设 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0 或 x ? 6 x ? 8 ? 0} ? (1, , 令 4)
2 2

f ( x) ? 2 x2 ? 9 x ? a,则 B ? {x | f ( x) ? 0} ,依题设得 B ? A ,于是

?? ? (?9)2 ? 4 ? 2 ? a ? 81 ? 8a ? 0 81 ? ? 7?a? . ? f (1) ? a ? 7 ? 0 8 ? f (4) ? a ? 4 ? 0 ?

25

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26


第一章
考点 1
典型考法 1 典型考法2



集 合
集合的概念及相应关系
与含参数的方程有关的集合问题 集合对某种运算的封闭性 子集 集合中的图形

考点 2

子集、集合中的图形

典型考法 1 典型考法2

第二章 不等式
考点 1
典型考法 1 典型考法2 典型考法3 典型考法4

不等式的性质与证明
不等式的性质 比较大小 算术平均数与几何平均数 不等式证明的常用方法 一元一次不等式(组) 一元二次不等式 分式不等式 绝对值不等式 指数不等式与对数不等式 相关最值及函数的值域 方程的根的分布 实际应用问题

考点 2

不等式的解法

典型考法 1 典型考法2 典型考法 3 典型考法 4 典型考法 5

考点 3

不等式的应用

典型考法 1 典型考法2 典型考法3

第三章 函数
考点 1 函数与反函数初步
函数的概念 符号 f
?1

典型考法 1 典型考法2

( x) 的理解与应用

考点 2

定义域与函数关系式
以定义域形式出现的恒成立问题 已知函数类型,求函数关系式 已知函数满足某种关系,求函数关系式 根据实际问题,求函数关系式 函数的最值 二次函数的最值

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4

考点 3

最大值与最小值

典型考法 1 典型考法 2

27

典型考法 3 典型考法 4

双曲函数的最值 最值与值域的逆向问题 判断(或证明)含参数的函数的单调性与奇偶性. 含参数的二次函数的单调性 挖掘并利用函数的性质 函数的单调性、奇偶性、最值及值域综合 作图与识图 图像变换 函数周期性与图像对称性 函数图像与方程 周期性与抽象函数 指数方程与对数方程 指数不等式与对数不等式 幂函数、指数函数与对数函数的综合问题

考点 4

单调性与奇偶性

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4

考点 5

周期性与图像

典型考法 1 典型考法2 典型考法 3 典型考法 4 典型考法 5

考点 6

幂函数、指数函数与对数函数

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3

第四章 三角比与三角函数
考点 1 任意角的三角函数与三角变换
任意角的三角函数 同角三角函数关系式的运用 “和、差、倍、半”角的公式的运用 三角形的应用题 三角形的形状判定 三角形中的最值 与正弦函数、余弦函数的图像有关的面积问题 与正弦函数、余弦函数的图像有关的对称问题 三角函数的最值 三角中的不等关系 三角函数综合问题 含参数的三角方程 典型考法 1 典型考法2 典型考法 3

考点 2

解三角形

典型考法 1 典型考法2 典型考法 3

考点 3

三角函数的图像与性质

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4 典型考法 5 典型考法 6

第五章 数列
考点 1 等差数列
等差数列的通项与前 n 项和 判断或证明数列是等差数列 等差数列的基本性质 典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3

28

考点 2

等比数列
等比数列的通项与前 n 项和 判断或证明数列是等比数列 等比数列的基本性质 简单递推数列的通项公式 数列的最大(小)项 数列求和 数列的应用 数列与函数的交汇 数列与圆锥曲线的交汇 数列与方程的交汇 数列与不等式的交汇 数列中的恒成立问题 数表与数阵 数列中的研究性问题

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3

考点 3

数列综合

典型考法 1 典型考法 2 典型考法3 典型考法 4 典型考法 5 典型考法 6 典型考法 7 典型考法 8 典型考法 9 典型考法 10 典型考法 11

第六章 平面向量
考点 1 平面向量的基础
考查向量的数量积 判断三角形的形状 向量与三角形的“心” 向量与三角形的面积 一个模型及应用 平面向量与函数的整合 平面向量与数列的整合 平面向量与三角的整合 平面向量与圆锥曲线的整合 典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4 典型考法 5

考点 2

平面向量与其它知识的整合

典型考法 1 典型考法 2 典型考法3 典型考法 4

第七章 直线与圆
考点 1 直线方程
倾斜角和斜率 直线中的对称与折叠问题 与直线有关的最值问题 与圆有关的轨迹 与圆有关的最值 直线与圆 最值问题 典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3

考点 2

圆的方程

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3

考点 3

线性规划

典型考法 1

29

典型考法 2 典型考法 3

参数问题 与其他知识的交汇

第八章 椭圆、双曲线与抛物线
考点 1 椭圆
椭圆的最值问题 与椭圆有关的定点、定值问题 椭圆与直线 椭圆与圆 双曲线的最值问题 与双曲线有关的定点、定值问题 双曲线与直线 双曲线与圆 抛物线的最值问题 与抛物线有关的定点、定值问题 抛物线与直线 抛物线与圆 典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4

考点 2

双曲线

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4

考点 3

抛物线

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4

第九章 空间的基本图形与简单几何体
考点 1 空间点、线、面间的位置关系
基本位置关系 空间的轨迹 异面直线所成的角 线面所成的角 二面角 点、面间距离 球面距离 几何体体积 以几何体为载体,考查三视图的画法 根据三视图,还原几何体 空间图形的折叠 几何体中的最值 典型考法 1 典型考法 2

考点 2

空间的角与距离

典型考法 1 典型考法 2 典型考法 3 典型考法 4 典型考法 5 典型考法 6

考点 3

三视图

典型考法 1 典型考法 2

考点 4

折叠与最值

典型考法 1 典型考法 2

第十章 概率与统计
考点 1
典型考法 1

概率
古典概型

30

典型考法 2 典型考法 3

互斥事件与独立事件的概率 几何概型

考点 2
典型考法 1 典型考法 2

统计
频率分布直方图 离散型随机变量的分布列与数学期望

第十一章 导数的应用
考点 1
典型考法 1 典型考法 2

单调性
讨论函数的单调性、并利用单调性求参数的取值范围 借助单调性证明不等式

考点 2
典型考法 1 典型考法 2

最值与极值
求函数的最值和极值并证明不等式 已知极值(最值) ,求参数的值或取值范围

考点 3
典型考法 1 典型考法 2

曲线的切线
确定曲线方程中的参数 两曲线的公切线

考点 4
典型考法 1 典型考法 2

函数的零点与图像的交点
函数的零点 图像的交点

31



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