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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练21 新人教A版必修4


双基限时练(二十一)
1.已知 a=(-3,4),b=(5,2),则 a?b=( A.23 C.-23 解析 a?b=-3?5+4?2=-7,故选 D. 答案 D 2.已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a?b=1,则 x=( A.-1 C. 1 2 1 B.- 2 D.1 ) ) B.7 D.-7

解析 由 a=(1,-1),b=(2

,x)可得 a?b=2-x=1,故 x=1. 答案 D 3.若非零向量 a,b,满足|a|=|b|,(2a+b)?b=0,则 a 与 b 的夹角为( A.30° C.120° 答案 C 4.已知 A,B,C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2),B(4,1),C(0,-1), 则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 → → → → → →
2

)

B.60° D.150°

) B.等腰三角形 D.以上均不正确 → → →
2



解析 AB=(3,-1),AC=(-1,-3),BC=(-4,-2), ∴|AB|= 10,|AC|= 10,|BC|= 20. →
2

∴|AB|=|AC|,且|AB| +|AC| =|BC| =20. ∴△ABC 为等腰直角三角形,应选 C. 答案 C π 5.已知 a=(0,1),b=(3 3,x),向量 a 与 b 的夹角为 ,则 x 的值为( 3 A.±3 C.±9 π a?b x 解析 cos = = , 2 3 |a|?|b| 27+x B.± 3 D.3 )

1

∴2x= 27+x ,且 x>0,∴3x =27,∴x=3. 答案 D 6. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3), 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c=( )

2

2

?7 7? A.? , ? ?9 3? ?7 7? C.? , ? ?3 9?
对于(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n). 又 c⊥(a+b),则有 3m-n=0, 7 7 ∴m=- ,n=- . 9 3 答案 D

7? ? 7 B.?- ,- ? 3 9? ? 7? ? 7 D.?- ,- ? 3? ? 9

解析 不妨设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),

7.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥b,则 k=________. 解析 ∵a=(3,1),c=(k,2), ∴a-c=(3-k,-1). 又 b=(1,3),且(a-c)⊥b, ∴(a-c)?b=0, 即 1?(3-k)+(-1)?3=0. ∴k=0,故应填 0. 答案 0 8.已知向量 a=(1,-2),b=(2,λ ),且 a 与 b 夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围 是________.

a?b 2 解析 a?b=2-2λ ,|a|= 5,|b|= 4+λ ,由 a 与 b 的夹角为锐角,得 = |a||b|
2-2λ 5? 4+λ ∴λ <1. 当 2-2λ 5? 4+λ
2 2

>0,即 2-2λ >0,

=1 时,解得 λ =-4,此时 a 与 b 夹角为 0°,不合题意.

∴λ ≠-4.故 λ 的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,1). 答案 (-∞,-4)∪(-4,1) 9.已知向量 a=(x,y),b=(-1,2),且 a+b=(1,3),则|a-2b|等于________. 解析 a+b=(x-1,y+2)=(1,3), ∴x=2,y=1,∴a=(2,1).

2

又|a|= 5,|b|= 5,a?b=0, ∴|a-2b| =|a| -4a?b+4|b| =25. ∴|a-2b|=5. 答案 5 10.已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b?(a-b)=0,则|b|的取值范围是 ________.(用数字作答) 解析 由题意知|a|=1,设 a 与 b 的夹角为 θ ,则
2 2 2

b?(a-b)=b?a-b2=0,
∴b =b?a,∴|b| =|a||b|cosθ . ∴|b|(|b|-cosθ )=0,∴|b|=0,或|b|=cosθ . ∵θ ∈[0,π ],∴|b|∈[0,1]. 答案 [0,1] → → 11.已知点 A(-1,1),点 B(1,2),若点 C 在直线 y=3x 上,且AB⊥BC.求点 C 的坐标. → 所以 2(x-1)+3x-2=0, 4 ?4 12? 所以 x= ,所以 C? , ?. 5 ?5 5 ? 12.已知向量 a=(1,1),b=(2,-3). (1)若 λ a-2b 与 a 垂直,求 λ 的值; (2)若 a-2kb 与 a+b 平行,求 k 的值. 解 (1)∵a=(1,1),b=(2,-3), → 解 设 C(x,3x),则AB=(2,1),BC=(x-1,3x-2),
2 2

∴λ a-2b=(λ ,λ )-(4,-6)=(λ -4,λ +6). ∵(λ a-2b)⊥a,∴(λ a-2b)?a=0, ∴λ -4+λ +6=0,∴λ =-1. (2)∵a-2kb=(1,1)-(4k,-6k)=(1-4k,1+6k),

a+b=(3,-2),且(a-2kb)∥(a+b),
∴-2(1-4k)-3(1+6k)=0, 1 ∴k=- . 2 13.已知点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹的锐角的余 弦值.
3



(1)∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), → → → →

∴AB=(1,1),AD=(-3,3), 由AB?AD=1?(-3)+1?3=0, → → 得AB⊥AD.∴AB⊥AD. → → → → (2)∵AB⊥AD,四边形 ABCD 为矩形,∴AB=DC.设点 C 的坐标为(x,y),则DC=(x+1,

y-4),又AB=(1,1),
∴?
? ?x+1=1, ?y-4=1, ?

∴?

? ?x=0, ?y=5, ?

∴C(0,5). →

→ → → → →

→ →

从而AC=(-2,4),BD=(-4,2),且|AC|=2 5, |BD|=2 5,AC?BD=8+8=16. 设〈AC,BD〉=θ , → → 则 cosθ =

AC?BD
→ →

16 4 = = . 20 5

|AC|?|BD| 4 ∴矩形 ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值为 . 5

4


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