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山东省德州一中2015届高三上学期1月月考数学试卷(文科)


山东省德州一中 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},N={2,3,6},则?U(M∪N)=() A.{1,2,3} B.{5} C.{1,3,4} D.{2} 2

. (5 分)已知 a∈R,则“a <a”是“a<1”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)正项等比数列{an}的公比为 2,若 a2a10=16,则 a9 的值是() A.8 B.16 C.32 D.64 4. (5 分)已知命题 p:?x>0,x+ ≥4:命题 q:?x0∈R ,2 = ,则下列判断正确的是() A.p 是假命题 命题 B.q 是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D. (¬p) ∧q 是真
+ x0 2

5. (5 分)已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是() A.m?α,n∥m?n∥α B. m?α,n⊥m?n⊥α C. m?α,n?β,m∥n?α∥β D.n?β,n⊥α?α⊥β

6. (5 分)若变量 x,y 满足条件

,则 x+2y 的最小值为()

A.

B. 0

C.

D.

7. (5 分)下列函数中,与函数 y=

的奇偶性相同,且在(﹣∞,0)上单调

性也相同的是() A. B.y=x +2
2

C.y=x ﹣3

3

D.

8. (5 分)设函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左 平移 个单位得函数 y=g(x)的图象,则()

A.g(x)在(0, C. g(x)在(0,

)上单调递减 )上单调递增

B. g(x)在( D.g(x)在(
x



)上单调递减

, π)上单调递增

9. (5 分)设函数 f(x)的零点为 x1,g(x)=4 +2x﹣2 的零点为 x2,若|x1﹣x2|≤0.25,则 f (x)可以是() A.f(x)=x ﹣1
2

B.f(x)=2 ﹣4

x

C.f(x)=ln(x+1) D.f(x)=8x﹣2

10. (5 分)设函数 f(x)= A.(﹣∞, ] B. [ ,+∞)

若 f(f(t) )≤2,则实数 t 的取值范围是() C.(﹣∞,﹣2] D.[﹣2,+∞)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11. (5 分)已知向量 =( ,1) , =(0,﹣1) , =(t, ) ,若 ﹣2 与 共线,则 t=.

12. (5 分)设 α 为锐角,若 cos(α+

)= ,则 sin(α﹣

)=.

13. (5 分)计算:

﹣1g25=.

14. (5 分)若椭圆

的焦点在 x 轴上,过点(2,1)作圆 x +y =4 的切线,切点分别

2

2

为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是. 15. (5 分)棱长为 4 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的体积是.

三、解答题: (本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.)

16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 2ccosA=2b﹣ (I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=2 ,b=2,求 sinA 的值.

a.

17. (12 分) 如图所示, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AC=BC, D 为 AB 的中点, 且 AB1⊥A1C (1)AB1⊥A1D; (2)证明:BC1∥平面 A1CD.

18. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足:S3=15,a5+a9=30. (I)求 an 及 Sn; (Ⅱ)数列{bn}满足 bn(Sn﹣n)=2(n∈N+) ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2. 19. (12 分)某公司生产的商品 A 每件售价为 5 元时,年销售 10 万件. (1)据市场调查,若价格每提 2014-2015 学年高一元,销量相应减少 1 万件,要使销售收入 不低于原销售收入,该商品的销售价格最多提高多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产 的商品售价提高到每件 x 元,公司拟投入 万元作为技改费用,投入 万元作为宣

传费用.试问:技术革新后生产的该商品销售量 m 至少应达到多少万件时,才可能使技术革 新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?

20. (13 分)已知椭圆

的两个焦点为 F1、F2,离心率为

,直线 l

与椭圆相交于 A、B 两点,且满足|AF1|+|AF2|=4 (1)求椭圆的方程; (2)证明:△ OAB 的面积为定值. 21. (14 分)设函数 f(x)=mlnx﹣ (I)当 m= 时,求 f(x)的极值; .

,O 为坐标原点.

(Ⅱ)设 A、B 是曲线 y=f(x)上的两个不同点,且曲线在 A、B 两点处的切线均与 x 轴平行, 直线 AB 的斜率为 k,是否存在 m,使得 m﹣k=1?若存在,请求出 m 的值,若不存在,请说 明理由.

山东省德州一中 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},N={2,3,6},则?U(M∪N)=() A.{1,2,3} B.{5} C.{1,3,4} D.{2} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由 M 与 N 求出两集合的并集,根据全集 U 求出并集的补集即可. 解答: 解:∵M={1,2,4},N={2,3,6}, ∴M∪N={1,2,3,4,6}, ∵U={1,2,3,4,5,6}, ∴?U(M∪N)={5}. 故选 B 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 a∈R,则“a <a”是“a<1”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质,进行判断即可. 2 解答: 解:由 a <a 得 0<a<1, 2 则“a <a”是“a<1”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键. 3. (5 分)正项等比数列{an}的公比为 2,若 a2a10=16,则 a9 的值是() A.8 B.16 C.32 D.64 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.
2

分析: 利用正项等比数列{an}的公比为 2,a2a10=16,求出 a1= ,再利用 a9=a1×2 ,即可得 出结论. 解答: 解:∵正项等比数列{an}的公比为 2,a2a10=16, 2 10 ∴a1 ×2 =16, ∴a1= , ∴a9=a1×2 =2 =32, 故选:C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,考查学生的计算能力,比较基础. 4. (5 分)已知命题 p:?x>0,x+ ≥4:命题 q:?x0∈R ,2 = ,则下列判断正确的是() A.p 是假命题 命题 B.q 是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D. (¬p) ∧q 是真
+ x0 8 5

8

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用基本不等式求最值判断命题 p 的真假,由指数函数的值域判断命题 q 的真假, 然后结合复合命题的真值表加以判断. 解答: 解:当 x>0,x+ ≥ ∴命题 p 为真命题,¬P 为假命题; x 当 x>0 时,2 >1, ∴命题 q:?x0∈R ,2 = 为假命题,则¬q 为真命题. ∴p∧(¬q)是真命题, (¬p)∧q 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了复合命题的真假判断,考查了利用基本 不等式求最值,是中档题. 5. (5 分)已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是() A.m?α,n∥m?n∥α B. m?α,n⊥m?n⊥α C. m?α,n?β,m∥n?α∥β D.n?β,n⊥α?α⊥β 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误; 在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误; 在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误; 在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确. 故选:D.
+ x0

,当且仅当 x=2 时等号成立,

点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养.

6. (5 分)若变量 x,y 满足条件

,则 x+2y 的最小值为()

A.

B. 0

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最小值. 解:作出不等式对应的平面区域, , ,由图象可知当直线 y=﹣ 的截距最小,此时 z 最小, 经过点 A 时,

由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 直线 y=﹣



,解得

,即 A(

,﹣1) ,

此时 z 的最小值为 z= 故选:A

+2×(﹣1)=



点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

7. (5 分)下列函数中,与函数 y=

的奇偶性相同,且在(﹣∞,0)上单调

性也相同的是() A. B.y=x +2
2

C.y=x ﹣3

3

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用奇偶性的定义 判断已知函数为偶函数,在 x<0 上递减,再由常见函数的奇偶 性和单调性及定义,即可得到满足条件的函数.

解答: 解:函数 y=



当 x=0 时,f(0)=1; 当 x>0 时,﹣x<0,f(﹣x)=( ) =e =f(x) , 当 x<0 时,﹣x>0,f(﹣x)=e =f(x) , 则有在 R 上,f(﹣x)=f(x) . 则 f(x)为偶函数,且在 x<0 上递减. 对于 A.f(﹣x)=﹣f(x) ,则为奇函数,则 A 不满足; 对于 B.则函数为偶函数,在 x<0 上递减,则 B 满足; 对于 C.f(﹣x)=(﹣x) ﹣3=﹣x ﹣3≠f(x) ,则不为偶函数,则 C 不满足; 对于 D.f(﹣x)=f(x) ,则为偶函数,当 x<0 时,y= 递增,则 D 不满足. 故选 B. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查常见函数的奇偶性和单调性及定义的 运用,考查运算能力,属于基础题和易错题. 8. (5 分)设函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左 平移 个单位得函数 y=g(x)的图象,则() )上单调递减 )上单调递增 B. g(x)在( D.g(x)在( , )上单调递减
3 3
﹣x ﹣x

x

A.g(x)在(0, C. g(x)在(0,

, π)上单调递增

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 化简解析式可得 ( f x) = 向左平移 个单位得函数 g(x)= sin (ωx+ ) , 由周期可求 ω, 从而得 ( f x) = sin (2x+ ) ,

cos2x 的图象,从而可求单调区间. sin(ωx+ ) ,

解答: 解:∵f(x)=sinωx+cosωx= ∵T= ∴ω=2, =π,

∴f(x)=

sin(2x+

) , 个单位得函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)= sin[2(x+ )

∴将 y=f(x)的图象向左平移 + ]= sin(2x+ )=

cos2x, ,k∈Z,当 k=0 时,x∈[0, ],即 g

∴令 2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z 可解得:k (x)在(0, )上单调递减.

故选:A. 点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的单调性,周期性,属 于基础题. 9. (5 分)设函数 f(x)的零点为 x1,g(x)=4 +2x﹣2 的零点为 x2,若|x1﹣x2|≤0.25,则 f (x)可以是() A.f(x)=x ﹣1
2 x

B.f(x)=2 ﹣4

x

C.f(x)=ln(x+1) D.f(x)=8x﹣2

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数 g(x)的零点的取值范围,分别求出哈思楠 f(x)的零点,判断不等式|x1 ﹣x2|≤0.25 是否成立即可. 解答: 解:∵g(1)=4+2﹣2>0,g(0)=1﹣2<0,g( )=2+1﹣2>0, g( )= ﹣2× ﹣2<0,

则 x2∈( , ) , A.函数的零点为 x1=±1,则不满足|x1﹣x2|≤0.25, B.函数的零点为 x1=2,则不满足|x1﹣x2|≤0.25, C.函数的零点为 x1=0,则不满足|x1﹣x2|≤0.25, D.函数的零点为 x1= ,则满足|x1﹣x2|≤0.25, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似,分别求出函数的零点 是解决本题的关键. .

10. (5 分)设函数 f(x)= A.(﹣∞, ] B. [ ,+∞)

若 f(f(t) )≤2,则实数 t 的取值范围是() C.(﹣∞,﹣2] D.[﹣2,+∞)

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

分析: 运用换元法,令 a=f(t) ,则 f(a)≤2,即有



,分别解出它

们,再求并集可得 a≥﹣2.即有 f(t)≥﹣2,则 们,再求并集即可得到. 解答: 解:令 a=f(t) ,则 f(a)≤2, 即有 或 ,



,分别解出它

即有﹣2≤a≤0 或 a>0, 即为 a≥﹣2.即有 f(t)≥﹣2, 则 或 ,

即有 t≤0 或 0<t , 即有 t≤ . 则实数 t 的取值范围是(﹣∞, ]. 故选 A. 点评: 本题考查分段函数的运用:解不等式,考查二次不等式的解法,考查运算能力,属 于中档题. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11. (5 分)已知向量 =( ,1) , =(0,﹣1) , =(t, ) ,若 ﹣2 与 共线,则 t=1.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若 ﹣2 的坐标, 再由向量共线的坐标表示列 式求得 t 的值. 解答: 解:∵ =( ∴ ﹣2 = 又 =(t, ) ,且 ﹣2 与 共线, ,1) , =(0,﹣1) , ,

则 ,解得:t=1. 故答案为:1. 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在 2015 届高考题中常常出现,常与向量的模、向量 的坐标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0,是基础题.

12. (5 分)设 α 为锐角,若 cos(α+

)= ,则 sin(α﹣

)=﹣



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先求出 sin(α+ )= ,再 sin(α﹣ )=sin( (α+ )﹣ ) ,利用两角和与差的

正弦函数展开即可由特殊角的三角函数值求解. 解答: 解:∵α 为锐角,cos(α+ ∴sin(α﹣ 故答案为:﹣ )=sin( (α+ . )﹣ )= ,则 sin(α+ )=sin(α+ )cos )= , ﹣cos(α+ )sin =﹣ ,

点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦公式的应用,考查了特殊角的三角函数值的应用, 属于基本知识的考查.

13. (5 分)计算:

﹣1g25=1.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 根据根式与指数幂的互化结合对数的运算性质,进行计算即可. 解答: 解:原式= ×
﹣2

×

+lg

= =

×

× ×

×

× ﹣2

+lg10

=3﹣2=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查了根式与指数幂的互化以及对数的运算性质,是一道基础题.

14. (5 分)若椭圆

的焦点在 x 轴上,过点(2,1)作圆 x +y =4 的切线,切点分别

2

2

为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设出切点坐标,利用切点与原点的连线与切线垂直,列出方程得到 AB 的方程,将右 焦点坐标及上顶点坐标代入 AB 的方程,求出参数 c,b;利用椭圆中三参数的关系求出 a,求 出椭圆方程. 解答: 解:设切点坐标为(m,n)则 =﹣1 即 m +n ﹣n﹣2m=0 ∵m +n =4 ∴2m+n﹣4=0 即 AB 的直线方程为 2x+y﹣4=0 ∵线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 ∴2c﹣4=0;b﹣4=0 解得 c=2,b=4 所以 a =b +c =20 故椭圆方程为
2 2 2 2 2 2 2

故答案为:


2 2 2

点评: 本题考查椭圆方程的求法,圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系:a =b +c ,考查 计算能力. 15. (5 分)棱长为 4 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的体积是 32.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征是什么.从而求出它的体积. 解答: 解:由三视图知余下的几何体如图示; ∵B、D 都是侧棱的中点, ∴上、下两部分的几何体相同, 即上、下两部分的体积相等, ∴该几何体的体积为 V= ×4 =32. 故答案为:32.
3

点评: 本题考查了几何体的三视图的应用问题,是基础题目. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 2ccosA=2b﹣ a. (I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=2 ,b=2,求 sinA 的值. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)已知等式利用正弦定理化简,整理后根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值,即可确 定出角 C 的大小; (Ⅱ)利用三角形面积公式列出关系式,把 b,sinC 以及已知面积代入求出 a 的值,利用余弦 定理求出 c 的值,再利用正弦定理求出 sinA 的值即可. 解答: 解: (I)由 2ccosA=2b﹣ a,利用正弦定理化简得:2sinCcosA=2sinB﹣ sinA, 即 2sinCcosA=2sin(A+C)﹣ sinA, 整理得:2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC﹣ sinA,即 sinA(2cosC﹣ )=0, ∵sinA≠0, ∴2cosC﹣ 则 C= ; , =0,即 cosC= ,

(Ⅱ)∵S△ ABC= absinC= ×a×2× = a=2 ∴a=4 ,
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=48+4﹣2 解得:c=2 由正弦定理 , = 得:sinA= = =

4

×2×

=28,



点评: 出此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 17. (12 分) 如图所示, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AC=BC, D 为 AB 的中点, 且 AB1⊥A1C

(1)AB1⊥A1D; (2)证明:BC1∥平面 A1CD.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)首先利用线面垂直的性质,转化成线线垂直,进一步利用线面垂直的判定定理 得到线面垂直进一步转化成线线垂直. (2)直接利用三角形的中位线得到线线平行,利用线面平行的判定定理转化成线面平行. 解答: 证明: (1)如图,∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴AA1⊥平面 ABC, 又 CD?平面 ABC, ∴AA1⊥CD, 由于 AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面 AB1, 又 AB1?平面 AB1,CD⊥AB1,AB1⊥A1C,CD∩A1C=C 所以:AB1⊥平面 A1CD, 又 A1D?平面 A1CD, ∴AB1⊥A1D. (2)连接 AC1 交 A1C 于点 F,连接 C1B 和 FD, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, F 是 AC1 的中点,D 是 AB 的中点, ∴在△ AC1B 中,FD∥BC1 又 BC1?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD.

点评: 本题考查的知识要点:线面垂直的判定定理和性质定理,线面平行的判定定理,属 于基础题型.

18. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足:S3=15,a5+a9=30. (I)求 an 及 Sn; (Ⅱ)数列{bn}满足 bn(Sn﹣n)=2(n∈N+) ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2. 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;等差数列的性 质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差是 d,根据题意和等差数列的通项公式、前 n 项和公式 列出方程组,求出 a1 和 d 的值,代入公式求出 an 及 Sn; (Ⅱ)由题意和(Ⅰ)求出 bn,再利用裂项相消法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,即可证明 Tn<2. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差是 d, ∵S3=15,a5+a9=30,∴ ,

解得 a1=3,d=2, ∴an=3+(n﹣1)×2=2n+1, Sn= =n +2n;
2 2

证明: (Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn(Sn﹣n)=2,则 bn(n +n)=2, ∴ = =2( ) ,

∴Tn=b1+b2+…+bn =2[(1 =2(1﹣ )+( )<2, )+…+( )]

∴对于任意正整数 n,有 Tn<2 成立. 点评: 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式,裂项相消法求数列的前 n 项和,以 及方程思想,属于中档题. 19. (12 分)某公司生产的商品 A 每件售价为 5 元时,年销售 10 万件. (1)据市场调查,若价格每提 2014-2015 学年高一元,销量相应减少 1 万件,要使销售收入 不低于原销售收入,该商品的销售价格最多提高多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产 的商品售价提高到每件 x 元,公司拟投入 万元作为技改费用,投入 万元作为宣

传费用.试问:技术革新后生产的该商品销售量 m 至少应达到多少万件时,才可能使技术革 新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件建立函数关系即可;

(2)结合基本不等式的性质即可求出函数的最值. 解答: 解: (1)设商品的销售价格提高 a 元,则销售量减少 10﹣a 万件, 则(10﹣a) (5+a)≥50,即 a ﹣5a≤0,解得 0≤a≤5, 故商品的销售价格最多提高 5 元. (2)由题意知,改革后的销售收入为 mx 万元,若使技术革新后的该商品销售收入等于原销 售收入与总投入之和, 则只需要满足 mx= (x +x)+ +50, (x>5)即可, 即 m= x+ + 当且仅当 x= ≥ +2 =10+ = ,
2 2

,即 x=10 时,取等号, 万件时,才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入

答:销售量 m 至少应达到

与总投入之和. 点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用基本不等式的性质求 最值是解决本题的关键.

20. (13 分)已知椭圆

的两个焦点为 F1、F2,离心率为

,直线 l

与椭圆相交于 A、B 两点,且满足|AF1|+|AF2|=4 (1)求椭圆的方程; (2)证明:△ OAB 的面积为定值.

,O 为坐标原点.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的离心率,结合椭圆的定义及隐含条件求得 a,b,c 的值,则椭圆方程 可求; (Ⅱ)设出直线 AB 的方程为 y=kx+m,再设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联直线方程和椭圆方 程,由根与系数的关系求得 A,B 的横坐标的和与积,结合 ,得到 A,

B 的横坐标的乘积再由 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)求得 A,B 的纵坐标的乘积,最后把△ OAB 的面积转化为含有 k,m 的代数式可得为定值. 解答: 解: (1)由椭圆的离心率为 ,即 a= 又 2a=|AF1|+|AF2|= ∴a= ,c=2, 2 ∴b =4, , , ,可得

∴椭圆方程为:



(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,再设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立
2 2


2

可得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0 2 2 2 2 2 △ =(4km) ﹣4(1+2k ) (2m ﹣8)=8(8k ﹣m +4)>0, ,









∴ 又 y1y2=(kx1+m) (kx2+m) =



=

=




2 2


2 2 2

∴﹣(m ﹣4)=m ﹣8k ,即 4k +2=m , 设原点到直线 AB 的距离为 d, 则

=

=

=

=



∴当直线斜率不存在时,有 A( S△ OAB= .

) ,B(

) ,d=2,

即△ OAB 的面积为定值 2 . 点评: 本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,直线与曲 线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的 特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是压轴题.

21. (14 分)设函数 f(x)=mlnx﹣ (I)当 m= 时,求 f(x)的极值;



(Ⅱ)设 A、B 是曲线 y=f(x)上的两个不同点,且曲线在 A、B 两点处的切线均与 x 轴平行, 直线 AB 的斜率为 k,是否存在 m,使得 m﹣k=1?若存在,请求出 m 的值,若不存在,请说 明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)当 m= 时,求函数的导数,根据函数极值和导数之间的关系即可求 f(x)的极 值; (Ⅱ)求函数的导数,根据导数的几何意义,求出直线 AB 的斜率,建立方程关系即可得到结 论. 解答: 解: (I)函数的定义域为(0,+∞) , 则 f′(x)= ,

当 m= 时,f′(x)= 令 f′(x)=0,则 x=2 或 x= , 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)变化时, x f′(x) f(x) (0, ) ﹣ 递减 0 ( ,2) + 递增 , ; 2 0



(2,+∞) ﹣ 递减

∴当 x= 时,f(x)的极小值为 f( )= 当 x=2 时,f(x)的极大值为 f(2)=

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (0<x1<x2) , 由题意得 f′(x1)=f′(x2)=0,

又 f′(x)=
2



∴x1,x2 是方程 x ﹣2mx+1=0 的两个正根, 2 2 故 x1x2=1,判别式△ =4m ﹣4>0,即 m >1, f(x1)﹣f(x2)=mlnx1﹣
1+

﹣mlnx2+

=m(lnx1﹣lnx2)﹣ (x1﹣x2)+ =m(lnx1﹣lnx2)﹣(x1﹣x2) , 若存在实数 m,使得 m﹣k=1, 则 k= ,









即 lnx1﹣lnx2=x1﹣x2, ∵x1x2=1,0<x1<x2, ∴x1﹣ ,①,

令 h(t)=t﹣ ﹣2lnt,0<t<1, h′(t)=1+ =( ) >0,
2

∴h(t)在(0,1)上单调递增, ∴h(t)<h(1)=1﹣1﹣2ln1=0, 即 x1﹣ ﹣2lnx1<0,与①矛盾,

故不存在这样的 m,使 m﹣k=1. 点评: 本题主要考查导数的综合应用,求函数的导数,利用函数的极值,最值和导数之间 是关系是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.


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