tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理


宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年度第二学期高二年级期中考试试 卷 数学(理科)试 题
考试时间:2015 年 4 月 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确。请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。 ) 1.复数 ? i ? = A. ? 2 i B.

1 i

/>




1 i C.0 D. 2 i 2 2 2.一个物体的运动方程为 s ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体,在 3 秒末的瞬时
速度是( A.2 )米/秒 B.4
2

C.6 )

D.8

3. 函数 y ? 4 x ? A. (0,??) 4.若 A. 6

1 单调递增区间是( x
B. (??,1)

C. ( ,?? ) ) D. 2.
2

1 2

D. (1,??)

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2 ,则 a 的值为( x
B. 4 C. 3

5. 在用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n ? k 的基础上加上的项是( 2 A. k ? 1
C.

n4 ? n2 (n ? N * ) 时,则当 n ? k ? 1 时左端应在 2
2

) B. (k ? 1)
2

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

D. (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (k ? 1)
2

2

6.在弹性限度内, 弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F ? kl 计算.今有一弹簧原 长 80cm ,每压缩 1cm 需 0.049N 的压缩力,若把这根弹簧从 70cm 压缩至 50cm (在弹性限度 内) ,外力克服弹簧的弹力做了( )功(单位: J ) A. 0.196 B. 0.294 C.0.686 D.0.98 7.直线 y ? kx ? b 与曲线 y ? x ? ax ? 1相切于点(2,3) ,则 b 的值为(
3



A.-3

B.9

C.-15
1 x

D.-7
4 x x 4 ? ? ? 2 ?3 , 2 2 2 x x

, ?, ) 观 察 下 列 各 式 : x? ?2 , x? 8. 已 知 x ? ( 0 ?
x? 27 x
3

?

x x x 27 ? ? ? ?4, . . . ,类比有 x ? 3 3 3 x3

A. n

B. 2 n )

a ? n ? 1 ( n ? N ? ),则 a ? ( xn 2 n C. n D. n

)

9.下列说法正确的有几个(

(1)回归直线过样本点的中心 x, y ;

? ?

-1-

?x ? a ( 2 )线性回归方程对应的直线 y ? ?b ? 至少经过其样本数据点 ?x1 , y1 ? , ?x2 , y2 ? ,
?, ?xn , y n ? 中的一个点;
(3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越宽,其模型拟合的精度越高; (4)在回归分析中, R 2 为0.98的模型比 R 2 为0.80的模型拟合的效果好. A.1 B.2 C.3 D. 4

1 3 2 10.已知实数 a,b 满足 ?1≤a≤1, ?1≤b≤1,则函数 y= x -ax +bx+5 有极值的概率为 3 ( 1 A. 4 ) 1 B. 2 2 C. 3 D. 3 4

11. 定义在 R 上的可导函数 f(x),且 f(x)图像连续,当 x≠0 时, f '( x) ? x?1 f ( x) ? 0 ,则函数

g ( x) ? f ( x) ? x?1 的零点的个数为(
A.1 B.2
3 2

) C.0 D.0 或 2[.Co

12. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x ) 是函数 y ? f ( x ) 的 导数, f ??( x ) 是 f '( x ) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数

y ? f ( x) 的“拐点”。某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三 1 3 1 2 5 次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数 g ( x) ? x ? x ? 3 x ? ,则 3 2 12 ? 1 ? ? 2 ? ? 2012? ) g? ? ? g? ? ? ... ? g ? ? =( ? 2013? ? 2013? ? 2013? A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 请把答案填在答题卡中相应的位置上。 ) 11.若

m?i 1? i

是纯虚数,则实数 m 的值为_______

12.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 7 个等式为 。 13.如右图,是定义域为 R 的函数 f ( x) 的图象, f '( x ) 是 函数 f ( x) 的导函数,则不等式 xf ?( x) ? 0 的解集为

y
4 2 1 -2
-1

O

1

x

-2

14.已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数取 ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 极值 1;若对任意的 x1,x2 ? ? ?11 均有 , ?,

( f x1) ?( f x2)? s 成立, 则 s 的最小值为__________

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分。 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤。 ) 15. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1
-2-

⑴求 f ( x ) 的最小正周期及对称中心; ⑵若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

16.(本小题满分 10 分) 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各 项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . b2

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

17. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD的底面 ABCD 是平行四边形, AD ? 2, AB ? 1 ,?ABC ? 60? ,PA ? 面

ABCD,设 E 为 PC 中点,点 F 在线段 PD 上且 PF ? 2FD.
(1)求证: BE // 平面 ACF ; (2)设二面角 A ? CF ? D 的大小为 ? , 若 | cos ? |?
42 ,求 PA 的长. 14
A B

P

E

F
D

C
(第 17 题)

18. (本小题满分 12 分) 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体 2 2 面朝下的数字分别为 x1,x2,记 X=(x1-3) +(x2-3) . (1)分别求出 X 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 X 的分布列及数学期望.

-3-

19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 2 a b 2

线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大值

20. (本小题满分 14 分)

a ln x ? ln x , g ( x) ? , x ? ?0, e? ,其中 e 是无理数且 e=2.71828? ,a ? R . x x (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间与极值; 1 (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ? ; 2 (3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 ?1?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
已知 f ( x ) ?

题号 答案

1 A

2 C

3 C

4 A

5 D

6 A

7 C

8 D

9 B

10 C

11 C

12 B

11.___1__ 12. 7 ? 8 ? 9 ? ? ? 19 ? 169 13. (1,??) ? (?1,0) 14. 2 15.解:⑴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ? 令 sin(2 x ?

?

?
6

) ? 0 ,则 x ?

k? ? ? (k ? Z ) , 2 12
-4-

2? ?? , 2

6

k? ? ? , 0), (k ? Z ) ; 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? ⑵∵ x ? [ ? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ∴ ?1 ? f ( x) ? 2 6 3 6 6 6 2 6 ? ? ∴当 x ? ? 时, f ( x ) 的最小值为 ?1;当 x ? 时, f ( x ) 的最大值为 2 6 6 16.解(1)设 ?an ? 的公差为 d .
∴ f ( x ) 的对称中心为 (

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ????????3 分 ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) , d ? 3.
故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3 ????????5 分
n ?1

. ????????7 分

n ? 3 ? 3n ? (2)由(1)可知, Sn ? , 2 ????????8 分 1 2 2?1 1 ? 所以 cn ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?
故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

17.解: (Ⅰ)由 AD ? 2, AB ? 1 , ?ABC ? 60? 得 AC ? 3 , AB ? AC . 又 PA ? 面 ABCD,所以以 AB , AC , AP 分别为 x, y, z 轴建立坐标系如图. 则 A(0,0,0), B(1,0,0), C (0, 3 ,0), D(?1, 3 ,0),
3 c , ) . 设 P (0,0, c ) ,则 E (0, 2 2

z
P

设 F ( x , y , z ) , PF ? 2FD 得: . ( x, y, z ? c) ? 2(?1 ? x, 3 ? y,? z) 解得: x ? ? 所以 F ( ?
2 3 2 c ,y? ,z? , 3 3 3
B A

E

F
D

2 2 3 c , , ). 3 3 3

??..5 C分
y

x 2 2 3 c 3 c , ) , AC ? (0, 3 ,0) , BE ? ( ?1, , ). 所以 AF ? ( ? , 3 3 3 2 2

? 2 2 3 c ?? x ? y? z?0 ? ? 3 3 设面 ACF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? 3 ,取 n ? (c , 0, 2) . ?y ? 0 ?
? 因为 n ? BE ? ?c ? c ? 0 ,且 BE ? 面 ACF ,所以 BE // 平面 ACF . ??..9 分

-5-

(Ⅱ)设面 PCD 法向量为 m ? ( x, y, z ) , 因为 PC ? (0, 3 , ? c) , PD ? (?1, 3 , ? c) ,

? ? ? 3 y ? cz ? 0 所以 ? ,取 m ? (0, c, 3 ) . ? ?? x ? 3 y ? cz ? 0
n?m nm 42 2 3 42 ,得 . ? 2 2 14 14 c ?4 c ?3

??.. 11 分

由 | cos ? |?

?

c 4 ? 7c 2 ? 44 ? 0 , c ? 2 ,所以 PA ? 2 .

18.解:(1)掷出点数 x 可能是:1,2,3,4.则 x-3 分别得:-2,-1,0,1.于是(x-3) 的所有取值分别为:0,1,4. 因此 X 的所有取值为 0,1,2,4,5,8. 1 1 1 2 2 当 x1=1 且 x2=1 时,X=(x1-3) +(x2-3) 可取得最大值 8,P(X=8)= × = . 4 4 16 2 2 当 x1=3 且 x2=3 时,X=(x1-3) +(x2-3) 可取得最小值 0, 1 1 1 P(X=0)= × = . ?????4 分 4 4 16 (2)由(1)知 X 的所有取值为 0,1,2,4,5,8. ?????5 分 1 P(X=0)=P(X=8)= ; 16 当 X=1 时,(x1,x2)的所有取值为(2,3),(4,3),(3,2),(3,4), 4 1 即 P(X=1)= = ; 16 4 当 X=2 时,(x1,x2)的所有取值为(2,2),(4,4),(4,2),(2,4), 4 1 即 P(X=2)= = ; 16 4 当 X=4 时,(x1,x2)的所有取值为(1,3),(3,1), 2 1 即 P(X=4)= = ; 16 8 当 X=5 时,(x1,x2)的所有取值为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1), 4 1 即 P(X=5)= = . 16 4 所以 X 的分布列为 0 1 2 4 5 8 X 1 1 1 1 1 1 P 16 4 4 8 4 16

2

? E( X ) ? 3
19.过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

( ?c ) 2 y 2 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? b. 2 2 a b
于是 2b ?

2 ,解得 b ? 1 .

-6-

又 a ? c ? b ,从而 a ?
2 2 2

2, c ? 1 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ?????????????(4 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

? y ? kx ? 2, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
由 ? ? (8k ) 2 ? 24(2k 2 ? 1) ? 0 ,得 k ?
2

3 . 2

8k 6 , x1 x 2 ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1 2 2 2 , AB ? ?1 ? k ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? , ? 点 O 到直线 AB 的距离为 d ? ? ? 2 1? k
由韦达定理,得 x1 ? x 2 ? ?

? S ?AOB ?

1 8(2k 2 ? 3) | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2
3 ,知 t ? 0 . 2 8t 8 . ? 2 16 (t ? 4) t ? ?8 t
2

2 设 t ? 2k ? 3 ,由 k ?

于是 S ?AOB ?

16 7 2 2 ? 8 ,得 S ?AOB ? .当且仅当 t ? 4, k ? 时等号成立. t 2 2 2 所以△ AO B 面积的最大值为 2 1 x ?1 20.解: (1)当 a=1 时, f ( x) ? ? ln x , f ?( x) ? 2 , x ? ?0, e? (1 分) x x x ?1 令 f ?( x) ? 2 ? 0 ,得 x=1. x 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减; (2 分) 当 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增. (3 分) 所以 f ( x) 的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1,e) , f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 .
由t ? (4 分) (2)由(1)知 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为 1. (5 分) (6 分) (7 分)

1 ? ln x 1 ln x 1 ? ? , x ? ?0, e? ,所以 h ?( x) ? . 2 x 2 x2 当 x ? (0, e) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 ?0, e?上单调递增, 1 1 1 1 所以 h( x) max ? h(e) ? ? ? ? ? 1 ? f ( x) min . e 2 2 2
令 h( x ) ? g ( x ) ?

-7-

1 . (8 分) 2 a (3)假设存在实数 a,使 f ( x ) ? ? ln x ( x ? ?0, e? )有最小值-1. x a 1 x?a 因为 f ?( x) ? ? 2 ? ? , (9 分) x x x2 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ?0, e?上单调递增,此时 f ( x) 无最小值; (10 分) ②当 0 ? a ? e 时, 当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在(0, a)单调递减;当 x ? (a, e) 时, (11 分) f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在(a,e)单调递增; 1 a 所以 f ( x) min ? f (a ) ? ? ln a ? ?1 ,得 a ? 2 ,满足条件; (12 分) a e ③当 a ? e 时,因为 0 ? x ? e ,所以 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ?0, e?上单调递减. a f ( x) min ? f (e) ? ? ln e ? ?1 ,得 a ? ?2e (舍去) ; (13 分) e 1 综上,存在实数 a ? 2 ,使得 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为-1. (14 分) e
故在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

-8-


推荐相关:

湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理

湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 _数学_高中教育_教育专区。宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年度第二学期高二年级期中考试试 卷 数学(...


湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文(新)

湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文(新)_数学_高中教育_教育专区。宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第二学期高二年级期中考试试卷数学 (...


湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

宜昌市葛洲坝中学 2015~2016 学年第二学期高二年级期中考试 ()考试时间:2016.4.28 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 数学试题 1.已知 ...


湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第一学期 高二年级期中考试 文科数学试题...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com