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42东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间位置关系—垂直B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 042B

空间位置关系—垂直(学案)B 一、知识梳理
1.线线垂直 判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条, 必垂直于另一条。 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平 P 面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:在

平面内的一条直线,如果和 O 这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂 A a 直。 ?

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO 。 a ? ? , a ? AP ? ?
王新敞
奎屯 新疆

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内 一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用。 2.线面垂直 定义:如果一条直线 l 和一个平面 α 相交,并且和平面 α 内的任 意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面 α 互相垂直 其中直线 l 叫 做平面的垂线, 平面 α 叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。 直线 l 与平面 α 垂直记作:l⊥ α。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 平行。 3.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在 一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。 二、题型探究 [题型探究 1]:线线垂直问题 例 1.如图 1 所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H、L、M、N 分别为 A1D1,A1B1,BC,CD,DA,DE,CL 的中点,求证:EF⊥GF。

1

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 042B

变 式 1 : 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 。

?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD ,证明: PA ? BD

[题型探究 2]:线面垂直问题 例 2. (2006 北京文,17)如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,求证:BD⊥ (1) 平面 ACC1A1。
D1 A1 B1 C1

D A

C B

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变式 2、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB ⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中 点. (1)求证:CD⊥AE; (2)求证:PD⊥面 ABE

[题型探究 3]:面面垂直问题 例 3. 如图, △ABC 为正三角形, ⊥平面 ABC , ∥ EC BD CE ,CE =CA =2 BD ,M 是 EA 的中点,求证: (1)DE = DA ; 2) ( 平面 BDM ⊥平面 ECA ; 3) ( 平面 DEA ⊥平面 ECA。

变式 3 :3、 如图,平 行四 边形 ABCD 中 ,

?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 将
?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平 面 EDB ? 平面 ABD 求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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三、方法提升: 1、证明线线垂直:如果一条直线 l 和一个平面α 垂直,那么 l 和平面α 内的任意一条 直线都垂直。(线面垂直 ? 线线垂直) 2、线面垂直:方法一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面。 (线线垂直 ?线面垂直) 方法二:若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直 于另一个平面。 (面面垂直+线线垂直 ? 线面垂直) 3.面面垂直:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (线面垂直 ? 面面垂直) 4、垂直 ?平行:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 5、证明空间线面平行或垂直需注意以下几点: ①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的 常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出 相应结论。 四、:反思感悟

五、课时作业: 1、 (2007 江西理,7)如图,正方体 AC1 的棱长 为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.则 以下命题中,错误的命题是( ) .. A. H 是△A1BD 的垂心 点 B. 垂直平面 CB1D1 AH C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45°. 2、 (2008 上海,13) 给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 l 与平面?内无 数条直线都垂直”是“直线 l 与平面?垂直”的( )条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 3 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 l 是异面直线 AB1 和 A1D 的公垂线, 则直线 l 与直线 BD1 的关系为( ) A.l⊥BD1 B.l∥BD1 C.l 与 BD1 相交 D.不确定 4、α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线.给出四

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个论断:①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个 论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: 。 .. 5. 如图, 在四面体 ABCD 中,AD ? 面ABC ,AB ? AD ? 3 ,

D

AC ? 5,BC ? 4 ,
(1)四面体 ABCD 的各面中有几个直角三角形?为什么?

E A C B

(2)四面体 ABCD 的各面中有几组平面互相垂直?为什 么?

(3)你能找出 A 在面 BCD 上的射影吗?为什么?

6. 如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥

CE ,CE =CA =2 BD ,M 是 EA 的中点,求证: (1)DE = DA ; 2) ( 平面 BDM ⊥平面 ECA ; 3) ( 平面 DEA ⊥平面 ECA。

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