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第24届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案


物理时空

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第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案
一.1、大爆炸 2、超新星,中子星,黑洞 3、核聚变 4、大潮时:日地月一直线,日月在地球同侧和异侧两种情况

小潮时:日地连线与月地连线垂直两种情况

5、0,4 L,L。 评分标准:

本题 25 分。 第 1 小题 3 分; 第 2 小题 6 分,每一空格 2 分; 第 3 小题 3 分; 第 4 小题 6 分,第一空格中画对一个图给 2 分,画对二个图给 3 分;第二空格中画对 一个图给 2 分,画对二个图给 3 分。 第 5 小题 7 分,第一空格 2 分,第二空格 3 分,第三空格 2 分。 二. 当光滑平板与水平面的倾角为 ? 时,无论小球 P 处在斜面上什么位置,它受的重力 在斜面上的投影总是垂直于 HH′,大小总是等于 mg sin ? 。以此作为重力的一个分力,则 重力的另一个分力即垂直于斜面的分力 mg cos ? 总是与斜面对小球 P 的支持力平衡。这 样,小球 P 在斜面内只受上述重力的分量 mg sin ? 和细绳拉力的作用。 当小球 P 运动到圆周的最高点时,细绳垂直于 HH′,绳的拉力与小球所受重力的分 量 mg sin ? 沿同一直线,这时只要细绳不松弛,小球就能保持在板面内作圆周运动,设小球 到达圆周最高点时的速度为 v ,绳的拉力为 T ,有 v2 T+mg sin ?=m l 由能量关系,有 1 1 mv02= mv2+mgl sin ? 2 2 (1) (2)

由(1) 、 (2)式得

? v2 ? T ? m ? 0 ? 3g sin ? ? ? l ?

(3)

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物理时空 细绳不松弛的条件是 由(3) 、 (4)式得 T≥0

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?≤arcsin ?

2 ? v0 ? ? ? 3lg ?

(5)

代入有关数据,得 当倾角

? ≤arcsin 6
?5? ? ?

5

(6)

? <0 时,经相同的分析可得
?≥- arcsin ? ? 6
(7)

由(6) 、 (7)两式,可知 ? 的取值范围为

?5? ?5? - arcsin ? ? ≤? ≤ arcsin ? ? ?6? ?6?

(8)

评分标准:本题 25 分。 (1)式 7 分, (2)式 7 分, (4)式 5 分, (5)式或(6)式 3 分, (7)式 3 分。 三. 以 m 表示气缸内气体的质量, ? 表示其摩尔质量。当气体处在初始状态时,已知其压 强为 p0、体积为 V0。设其温度为 T0,由理想气体状态方程有 m P0V0= RT0

?

(1)

在过程 1 中,对气体加热时,活塞 S 位置固定不动,气体体积保持不变,气体对外不 做功。根据热力学第一定律有 m Q1= c(T1-T0)

?

(2)

式中 T1 为加热后气体的温度,根据题意,这时气体的压强为 p1,由理想气体状态方程可 知 m P1V0= RT1

?

(3)

由(1) 、 (2) 、 (3)式得 c Q1= V0(p1-p0) R (4)

在过程 2 中,对气体加热时,活塞要移动,气体的压强保持 p0 不变,体积由 V0 变为 V2, 气体对外做功。根据热力学第一定律,有 m Q2= c(T2-T0)+p0(V2-V0)

?

(5)

式中 T2 为加热后气体的温度。由理想气体状态方程可知 m P0V2= RT2

?

(6)

由(1) 、 (5) 、 (6)式,得 c+R Q2= p0(V2-V0) R 由(4) 、 (7)式得 (7)

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 2 页(共 12 页)

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V0(p1-p0) Q1 c = Q2 c+R p0(V2-V0)

(8)

评分标准:本题 25 分。 (1) 式 2 分, (2)式 7 分, (3)式 2 分, (5)式 7 分, (6)式 2 分, (8)式 5 分。 四、 1.两导线排的电流产生的磁场 考察导线排 M1M2 中的电流产生的磁场,取 x 轴与导线排 M1M2 重合,y 轴与导线 排 M1M2 垂直, 如图 1 所示。 位于 x 和 x+△x (△x 为小量) 之间的细导线可以看作是 “一 I ? ? x 根”通有电流 的长直导线,它在 y 轴上 P 点产生的磁感应强度的大小为 I??x ?B=k r

(1)

r 为 P 点到此直长导线的距离,△B 的方向与 r 垂直,与电流构成右手螺旋。 将 △B 分解成沿 x 方向和 y 方向的两个分量 △Bx 和 △By ,有

?Bx ? k

I ? ?x cos ? r I ??x ?B y ? k sin ? r

(2) (3)

根据对称性,位于 -x 到 -(x+△x)之间的细导线中电流产生的磁感应强度在 y 方向的 分量与 △By 大小相等、方向相反。可见整个导线排中所有电流产生的磁场杂 y 方向的合 磁场为 0。由图 1 可看出

?x cos ? ? ?? r
把(4)式代入(2)式得

(4 )

?Bx ? kI ???
导线排上所有电流产生的磁感应强度

(5)

B ? ??Bx ? ?kI ???
注意到

(6)

? ?B ? ? ,得
第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 3 页(共 12 页)

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(7) 即每个导线排中所有电流产生的磁场是匀强磁场,磁场的方向分别与 M1M2 和 M3M4 导线 排平行。 如图 2 所示, 两导线排中电流产生的磁感应强度 B (M1M2) 与 B (M3M4) 成 120°, 它们的合磁场的磁感应强度的大小

B ? k?? I

B0 ? 2B cos60? ? k?? I
方向与 OO′平行,由 O 指向 O′。

(8)

2.半导体片两侧面间的电势差 当半导体片中通有均匀电流 I0 时,半导体片中的载流子作定向运动,N 型半导体的 载流子带负电荷,故其速度 v 的方向与 I0 方向相反,垂直纸面向里,且有

I0 ? m q v S
式中 S 为半导体片横截面的面积

( 9)

S ? ab ? l
载流子作定向运动时要受到磁场洛伦兹力 fB 的作用,其大小为

(10)

f B ? qvB0
右侧面带正电, 两侧面间出现电势差 U ? U

(11)

对带负电荷的载流子此力的方向指向左侧, 于是负电荷积聚在左侧面上, 从而左侧面带负电,


带负电荷的载流子受到静电力 fE 由 ? U左 。

左侧面指向右侧面,达到稳定时,fE 与 fB 平衡,即

fE ?

U q ? fB ab

(12)

由(8) 、 (9) 、 (10) 、 (11) 、 (12)各式得

U ?k

?? II 0 ? ql

(13)

评分标准:本题 25 分。 (7)式 8 分, (8)式 4 分, (9)式 3 分, (12)式 5 分, (13)式 5 分。 五、 1. 在线框转动过程中,三角形的 AC、CD 两边因切割磁感应线而产生感应电动势,

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 4 页(共 12 页)

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因长度为 d 的 AC 边和 CD 边都不与磁场方向垂直,每条边切割磁感应线的有效长度, 即垂直于磁场方向的长度为

l ? d sin 30? ?

1 d 2

(1)

因 AC 边上不同部分到转轴的距离不同, 它们的速度随离开转轴的距离的增大而线性增大, 故可认为 AC 边上各部分产生的总电动势, 数值上等同于整条 AC 边均以 AC 边中点处的 速度 v 运动时产生的电动势,而

1 3 v ? ? d cos 30? ? ?d 2 4

(2)

设在 t=0 至时刻 t ,三角形从平行于磁场方向的位置绕轴转过角度为 ? ,则 ? ? ?t (3) 因而边上各点速度的方向不再与磁场方向垂直, v 沿垂直磁场方向的分量

v? ? v cos?
由此得到 t 时刻 AC 边中的感应电动势

(4)

EAC ? Blv?
其方向由 A 指向 C ,由(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5)各式得

(5)

EAC ?
同理可得

3 B? d 2 cos ? t 8

(6)

ECD ?

3 B? d 2 cos ? t 8

(7)

其方向由 C 指向 D ,三角形线框中的总电动势

E ?EAC+ECD ?

3 B? d 2 cos ?t 4

(8)

其方向沿 ACDA 回路方向,因线框中的总电阻为 3R ,故 t 时刻线框中的电流

i?

E 3 ? B? B 2 cos ? t 3R 12 R

(9)

2. 对于 AP 来说, 长度为 x , 在 t=0 时刻,cos ? t ? 1 , 而以 x 代替 (6) 式中的 d , 即可得 AP 段中的感应电动势的大小

EAP ?

3 2 Bx ? 8

(10)

方向由 A 点指向 P 点。由(9)式,此时线框的电流

I?

3 B? d 2 12 R

(11)

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物理时空 根据含源电路欧姆定律,P 点的电势

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U P ?EAP ? I

R x d

(12)

把(10) 、 (11)两式代入(12)式,经整理后得

UP ?

3 2 ? ? B? ? x2 ? xd ? 8 3 ? ?

(13)

为了画出 U P ( x) 图线,先求出若干特征点的电势值: ( 13)式右侧是一个关于 x 的二次方 程,故 U P ( x) 图线为一抛物线, (13)式可改写为

3 3 1 ? ? UP ? B? d 2 ? B? ? x ? d ? 72 8 3 ? ?
由(14)式可知,此抛物线 (ⅰ)x=0 和 x=

2

(14)

2 d UP=0 3

(ⅱ)抛物线的顶点坐标为

x?

d 3 ,UP ? ? B? d 2 3 72

图线如图所示。 评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 13 分。求得(6)或 (7)式 8 分, (8)式 2 分, (9)式 3 分。 第 2 小题 12 分。 (10)式 4 分, (13)式 4 分,图线正确给 4 分。 六、 1. 2 2 m/s。 评分标准:本题 25 分 1. 图线形状正确给 10 分。横坐标 标度正确给 5 分, 纵坐标标度正 确给 5 分。 2. 求得平均速度大小给 5 分。

七. 1.

f (R ? f ) f (R ? f ) ; R R

2. 1;1 3. 对凹面镜光路图如图 1 所示;

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对凸面镜光路图如图 2 所示。

评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 10 分。每一空格 5 分。 第 2 小题 5 分。填对一个空格给 3 分,填对二个空格给 5 分。 第 3 小题 10 分。每图 5 分。 八、 解法一 1. 因 A 点位于半球形碗的最低点,等边三 角形薄板 的 BC 边一定沿水平方向。 作连线 OB 和 OC ,因 O 为半球形碗的球心,A、B、C 均 在球面上,故有

O A? O B ? OC ?
ABC 是等边三角形,

a

(1)

AB ? BC ? AC ? a

(2)

故 OABC 为正四面体,如图 1 所示。三角形薄板 所受的力有: (ⅰ)B、C 处碗面对板的作用力 NB 和 NC 均垂直于碗面,指向球心 O。又由对称 性可知, NB=NC (3) 它们的合力 NBC 沿∠COB 的角平分线 DO 方向,其大小为

NBC ? 2NB cos30? ? 3NB
第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 7 页(共 12 页)

(4)

物理时空 DO 的长度

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DO ? OB cos 30? ?

3 a 2

(5)

(ⅱ)重力 FG 的大小 FG=mg 它作用于三角形 ABC 的重心 G 。G 位于 AD 上,与 A 的距离

(6)

AG ?

2 2 3 AD ? OD ? a 3 3 3

(7)

重力的方向与 OA 平行,该力位于 OAD 平面内,与 OD 相交。用 P 表示其交点,则

OP ? AG ?

3 a 3

(8)

(ⅲ) 设碗面在 A 点作用于薄板的约束力为 NA , 薄板 (或 可看成刚性正四面体 OABC)在 NBC 、FG 和 NA 三力作用下 保持平衡,这三力应在同一平面内,且应共点,即 NA 应与 FG 和 NA 都在 OAD 平面内,且应通过 P 点,如图 2 所示。在三 角形 ODA 中

OD ? AD ?
设∠BOA=a ,则

3 a, OA ? a 2

∠ODA=π -2a 在三角形 ADO 中,由正弦定理,有

a 3a ? sin 2? 2sin ?
由此可得

cos ? ?

3 2 , sin ? ? 3 3

(9)

设∠OAP=β ,在三角形 OPA 中,由余弦定理得

AP ?
由正弦定理得

1 2 3 2 1 2 a ? a2 ? 2 a ? ? a 3 3 3 3

AP OP OA ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? )


第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 8 页(共 12 页)

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2 3 a a a 3 ? 3 ? sin ? sin ? sin(? ? ? )

(10)

FG 、NBC 和 NA 三力平衡,它们应形成封闭的三角形,如图 3 所示,由正弦定理得

N FG NA ? BC ? sin ? sin ? sin(? ? ? )
由(10) 、 (11)式和(3) 、 (4) 、 (6)各式得

(11)

NA ?

mg sin ? 6 ? mg sin(? ? ? ) 3
1 1 mg s i ? n N BC ? (?? ) 3 3 s i n?

(12)

N B ? NC ?


(13)

1 N B ? N C ? mg 3
2. 解除对 A 点的约束后,A、B、C 三顶点将从静止开 始沿碗面滑动,根据对称性可知,薄板处于水平位置时重心 最低,从而重力势能最小。根据机械能守恒定律,此时薄板 的动能最大。此时薄板的重心将移至 O 点正下方的 G′点, 如图 4 所示。由几何关系并考虑到(7)式,G′相对碗最低 点的高度

(14)

? 2 2 2? h? ? a ? OG? ? a ? OA ? AG? ? ? 1 ? ?a ? 3? ? ?

(15)

A 点被约束时薄板重心为 G 点,参阅图 1,可知 G 点相对碗最低点的高度

h ? AG cos ?DAO ? AG cos?
由(7)和(9)式可得

(16)

1 h? a 3

(17)

由(15) 、 (17)两式可求得薄板从 A 点约束解除到处于水平状态过程中,其重心高度 减少量的最大值, 从而求出重力势能的减少量的最大值, 最后即求得薄板具有的最大动能为

EK ? mg (h ? h?) ?

6 ?2 mga 3

(18)

评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 20 分。 (4)式 2 分, (10)式 7 分, (11)式 7 分, (12)式 2 分, (14)式 2 分。 第 2 小题 5 分。 (15)式 1 分, (17)式 2 分, (18)式 2 分。

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 9 页(共 12 页)

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解法二 1. 当三角形薄板处于平衡状态时,根据对称性,

BC 必位于过 B、C 两点的水平圆面内,以 O′表
示此水平圆面的圆心,如图 1 所示。碗内壁球面的球 心为 O ,则 O′以及 A、O 三点必位于同一条竖 直线上。由于 B、C 与球面接触处都是光滑的,球面 对这两点的作用力都指向球面的球心 O ,令 NB 和 NC 分别表示这两个力的大小。由对称性可知 NB=NC (1) 因球面的半径等于等边三角形的边长,三角形 OAB 和 OBC 都是等边三角形 ∠AOB=∠BOC=θ =60° (2) 把 NB 分解成沿竖直方向的分量 N B? 和位于水平面内的分量 N B // ,则有

N B ? ? N B cos ? ? N B cos 60? ?

1 NB 2

(3)

N B // ? N B sin ? ? N B sin 60? ?
同理有

3 NB 2
1 NC 2

(4)

NC ? ? NC cos ? ? N C cos 60? ?

(5)

NC // ? NC sin ? ? NC sin 60? ?

3 NC 2

(6)

N B// 与 BO′平行, NC // 与 CO′平行,都平行于以 O′为圆心的水平圆面,可以把这
两个力移到圆心为 O′的水平圆面内,如图 2 所示。 N B // 和 NC // 的合力为 N // 。 球面底部作用于三角形薄板的力 NA 也可分解成沿竖直方向的分量 N A? 和位于水平 面内的分量 N A// 。当三角形薄板达到平衡时,有

N A// ? N// ? 2NB// cos?

(7) (8)

mg ? N A? ? NB? ? NC ? ? 0

由图 1 可知,圆心为 O′的水平圆面的半径 R 即线段 O?B 是等边三角形 OAB 的 高,故有

R ? a sin ? ? a sin 60? ?

3 a 2

(9)

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物理时空 由图 2 得

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cos ? ?

O?D ? R

?a? R ?? ? 6 ? 2? ? R 3
2

2

(9)

由以上有关各式, (7) 、 (8)两式可写成

N A// ? 2NB
N A? ? mg ? N B

(11) (12)

当三角形薄板达到平衡时, 作用于三角形的各力对 BC 边的力矩总和等于零。NB,NC 通过 BC 边,对 BC 边无力矩作用,只有 N A// 、 N A? 和重力 mg 对 BC 边有力矩作用。平衡时有

a 1 N A// ? ? mg ? O?D ? N A? O?D ? 0 2 3
由(9) 、 (10)式可知

(13)

O?D ? R

6 3 6 3 ? a? ? a 3 2 3 2

(14)

把(14)式代入(13)式,得

N A// ? 2 N A? ?
由(11) 、 (12)和(15)及(1)式

2 mg 3

(15)

1 N B ? N C ? mg 3

(16)

N A// ?
N A? ?

2 mg 3
2mg 3

(17) (18)

NA ?

6 mg 3

(19)

2. 当解除对 A 点的约束,A、B、C 三顶点将在球面内从静止开始滑动。根据对称性 可知,必有一时刻薄板处于水平位置,这时板的重心最低,重力势能最小,薄板具有的动能 最大,这动能来自薄板减少的重力势能。 在图 1 中三角形 ADO′为直角三角形,一条直角边 DO′位于水平位置,另一条直角 边 AO′位于竖直位置, 根据题意及几何关系可知, 三角形薄板的重心 G 位于斜边 AD 上, 离 A 点的距离为

2 AD 。重心 G 的高度 3 2 2 a 1 h ? AO? ? ? ? a 3 3 2 3
第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 11 页(共 12 页)

(20)

物理时空

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当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时, 三 角形的重心 G′与其三边所在圆面的圆心重合, 如图 3 所 示。

BG? ?

2 2 ?a? 3 a ?? ? ? a 3 3 ?2?

2

2 2 3 6 OG? ? OB ? BG? ? a 2 ? a 2 ? a 9 3

这时,三角形薄板重心 G′的高度

h? ? a ?
薄板的最大动能

6 3? 6 a? a 3 3

(21)

EK ? mg (h ? h?) ?

6 ?2 mga 3

(22)

评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 20 分。 (11)式 6 分, (12)式 6 分, (15)式 4 分, (16)式 2 分, (19)式 2 分。 第 2 小题 5 分。 (20)1 分, (21)式 2 分, (22)式 2 分。

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案 第 12 页(共 12 页)


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