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数学竞赛平面几何


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1 、 如 图 , 给 凸 四 边 形 ABCD , ∠B + ∠D < 180°, P 是 平 面 上 的 动 点 , 令
f ? P ? ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB . (2008 年全国高中数学联赛)

(1)求证:当 f ? P ? 达到最小值时,P、A、B、C 四点共圆;
AE AB 3 2

(2) E 是△ ABC 外接圆 O 的弧弧 AB 上一点, 设 满足:
BC EC ? 3 ? 1 ,? ECB ? 1 2

?



? ECA ,又已知 DA、DC 是⊙O 的切线,

AC ?

2 ,求 f ? P ? 的最小值.

2、在凸四边形 ABCD 的外部分别作正三角形 ABQ、正三角形 BCR、正三角形 CDS、 正三角形 DAP, 记四边形 ABCD 的对角线之和为 x , 四边形 PQRS 的对边中点连线之和为 y , 求
y x

的最大值. (2008 年第 7 届中国女子数学奥林匹克) 3、已知凸边形 ABCD 满足 AB=BC,AD=DC.E 是线段 AB 上一点,F 是线段 AD 上

一点, 满足 B、 F、 四点共圆. DPE 顺向相似于△ ADC; BQF 顺向相似于△ ABC. E、 D 作△ 作△ 求 证:A、P、Q 三点共线. (注:两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或 同按逆时针方向排列) (2008 年第 7 届中国女子数学奥林匹克) 4、在△ ABC 中,AB=AC,其内切圆⊙I 切边 BC、CA、AB 于点 D、E、F,P 为弧 EF(不含点 D 的弧)上一点.设线段 BP 交⊙I 于另一点 Q,直线 EP、EQ 分别交直线 BC 于点 M、N.证 明: (1)P、F、B、M 四点共圆; (2)
EM EN ? BD BP

. (2008 年第 8 届中国西部数学奥林匹克)

5、圆 ? 与圆 ? 内切于点 S,圆 ? 的弦 AB 与圆 ? 相切于点 T,设 圆 ? 的圆心为 O,P 为直线 AO 上一点.求证:PB⊥AB 的充分必要 条件是 PS⊥TS. (2009 年中国国家集训队测试) 6、在凸五边形 ABCDE 中,AD 与 BE 相交于 F,BE 与 CA 相交于 G,CA 与 DB 相交于 H,DB 与 EC 相交于 I,EC 与 AD 相交于 J.设 A ? 、 B ? 、 C ? 、 D ? 、 E ? 分别为 AI 与 BE、 BJ 与 CA、CF 与 DB、DG 与 EC、EH 与 AD 的交点,求证:

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AB ? CD ? EA? BC ? DE ? ? ? ? ? ?1. (2009 年中国国家集训队 B ?C D ?E A ? B C ?D E ?A

测试) 7、在凸四边形 ABCD 中,∠DCA 与∠CDB 的外角平分线分别 是边 CB 与 DA,E、F 分别为 AC、BD 的延长线上的点,且 C、E、 F、D 四点共圆.平布的一点 P 使得 DA 是∠PDE 的外角平分线, CB 是∠PCF 的外角平分线. AD 与 BC 所在直线交于点 Q. 边 求证: 点 P 在边 AB 上的充分必要条件是点 Q 在线段 EF 上.2009 年中国 ( 国家集训队测试)

8、设 D、E 分别为△ ABC 的边 AB、BC 上的点,P 是三角形 ABC 内一点,使得 PE=PC,且△ PAD 的外接圆的切线. (2009 年中国 国家集训队测试) 9、在锐角△ ABC 中,点 P、Q 分别是边 AB 和 AC 上的点.△ ABC 的外接圆和△ APQ 的外接圆交于异于点 A 的另一点 X. Y 是 X 关于直线 PQ 的对称点. 点 已知 PX>PB, 求证: △ XPQ 的面积大于△ YBC 的面积. (2009 年中国国家集训队测试) 10、设 D 是三角形 ABC 的 BC 边一上点,满足∠CAD=∠CBA.圆 O 经过 B、D 两点, 并分别与线段 AB、AD 交于 E、F 两点,BF、DE 相交于点 G.M 是 AG 的中点. 求证 CM⊥AO. (2009 年中国国家队选拔考试)

11、 设圆 ? 1 和 ? 2 交于点 X、 过 ? 1 的圆心的直线 l 1 交圆 ? 2 于 Y. 点 P、Q,过 ? 2 的圆心的直线 l 2 交 ? 1 于点 R、S.证明:若 P、Q、 R、S 四点共圆,则该圆的圆心在直线 XY 上. (2009 年美国数学奥 林匹克)

12、BD 是三角形 ABC 的角平分线(点 D 位于线段 AC 上) .直线 BD 交三角形 ABC 外接圆 ? 于点 B 和 E. 以线段 DE 为直径的圆 ? 交圆
? 于点 E 和 F. (2009 年俄罗斯数学奥林匹克)

A 13、 1 和 C 1 分别是平行四边形 ABCD 边 AB 和 BC 上的点. 线段 AC 1

和 CA 1 交于点 P.三角形 AA 1 P 和 CC 1 P 的外接圆的第二个交点 Q 位于三角形 ACD 的内 部.证明:∠PDA=∠QBA. (2009 年俄罗斯数学奥林匹克)
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14、设 O 是三角形 ABC 的外心.点 P 和 Q 分别是边 CA 和 AB 的内点.设 K、L 和 M 分别是线段 BP、CQ 和 PQ 的中点, ? 是过点 K、L 和 M 的圆.若直线 PQ 与圆 ? 相切,证 明:OP=OQ. (2009 年国际数学奥林匹克) 15、在三角形 ABC 中,AB=AC,∠CAB 和∠ABC 的内角平分线分别与边 BC 和 CA 相 交于点 D 和 E. K 是三角形 ADC 的内心. 设 若∠BEK=45° 求∠CAB 所有可能的值. , (2009 年国际数学奥林匹克) 16、△ ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分
AA 1 ? cos A 2 ? BB 1 ? cos B 2 ? CC
1

? cos

C 2

别交此圆于 A 1 、B 1 、C 1 .则 的值为( A、2

sin A ? sin B ? sin C

)(2005 年全国高中数学联赛) . B、4 C、6 D、8
1 6

17、如图,四硕体 DABC 的体积为
AD ? BC ? AC 2 ? 3 ,则 CD=

,且满足∠ACB=45° ,

. (2005 年全国高中数学联赛)

18、 如图, 在△ ABC 中, AB>AC, A 作△ ABC 的外接圆的切线 l. 设 过 又 以 A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段 AB 于 D,交直线 l 于 E、F. 19、在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,△ ABC 的内切圆 O 分别与 边 BC、CA、AB 相切于点 D、E、F,连接 AD,与内切圆 O 相交于点 P,连接 BP,CP,若 ∠BPC=90° ,求证:AE+AP=PD. (2006 年中国数学奥林匹克) 20、如图,设点 P 在△ ABC 的外接圆上,直线 CP 和 AB 相交于点 E, 直线 BP 和 AC 相交于点 F,边 AC 的垂直平分线交边 AB 于点 J,边 AB 的垂直平分线交边 AC 于点 K.求证: 届中国女子数学奥林匹克)
CE BF
2 2

?

AJ ? JE AK ? KF

. (2005 年第 4

21、如图,过圆外一点 P 作圆的两条切线 PA、PB,A、B 为切点,再过点 P 作圆的一 条割线分别交圆于 C、D 两点,过切点 B 作 PA 的平行线分别交 直线 AC、AD 于 E、F.求证 BE=BF. (2005 年第 5 届中国西 部数学奥林匹克)

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22、如图,圆 O 1 与圆 O 2 交于 A、B 两点.过点 O 1 的直线 DC 交圆 O 1 于 D 且切圆 O 2 于 C,CA 切圆 O 1 于 A,圆 O 1 的弦 AE 与 直线 DC 垂直.过 A 作 AF 垂直于 DE,F 为垂足.求证:BD 平 分线段 AF. (2005 年第 5 届中国西部数学奥林匹克) 23、如图所示,在△ ABC 中,∠ABC=90° ,D、G 是边 CA 上 的两点,连接 BD、BG.过点 A、G 分别作 BD 的垂线,垂足分别 为 E、F,连接 CF.已知 BE=EF,求证:∠ABG=∠DFC. (2006 年第 3 届中国东南地区数学奥林匹克) 24、如图,在△ ABC 中,∠=60° ,△ ABC 的内切圆 I 分别切 边 AB、AC 于点 D、E,直线 DE 分别与直线 BI、CI 相交于点 F、 G,证明: FG ? 匹克) 25、 ABCD 是一个梯形并且 AB∥CD, 设 ABCD 内 部有两个圆 ? 1 和 ? 2 满足:圆 ? 1 与三边 DA、AB、BC 相切,圆 ? 2 与三边 BC、CD、DA 相切.令 l 1 是过点 A 的异于直线 AD 的圆 ? 2 的另一条切线,l 2 是过点 C 的 异 于 直 线 CB 的 圆 ? 1 的 另 一 条 切 线 . 证 明 :
l1 ∥ l 2 . (2006 年中国国家集训队测试)
1 2 BC . (2006 年第 3 届中国东南地区数学奥林

26、 设四边形 ABCD 内接于⊙O, 且圆心 O 不在四边形的边上, 对角线 AC 与 BD 交于点 P,△ OAB、△ OBC、△ OCD、△ ODA 的 外心分别为 O 1 、 O 2 、 O 3 、 O 4 .求证:三条直线 O 1 O 3 、 O 2 O 4 与 OP 共点. (2006 年中国国家集训队测试) 27、设 K、M 是△ ABC 的边 AB 上的两点,L、N 是边 AC 上的 两点,K 在 M、B 之间,L 在 N、C 之间,且
BK KM ? CL LN

.求证:△ ABC、△ AKL、△ AMN

的垂心在一条直线上. (2006 年中国国家集训队测试)

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28、设⊙ O 1 与⊙ O 2 交于两点 A、B.点 R 在⊙ O 1 的弧 AB 上,点 T 在⊙ O 2 的弧 AB 上(如图) .AR、BR 与⊙ O 2 交于 C、 D,AT、BT 交⊙ O 1 于 Q、P.若 PR 与 TD 交于 E,TC 与 RQ 交 于 F.求证: AE ? BT ? BR ? BF ? AT ? AR . (2006 年中国国家 集训队测试) 29、设 H 为△ ABC 的垂心,D、E、F 为△ ABC 的外接圆上三点使得 AD∥BE∥CF,S、 T、U 分别为 D、E、F 关于边 BC、CA、AB 的对称点.求证:S、T、U、H 四点共圆. (2006 年中国国家队选拔考试) 30、在△ ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O 1 、O 2 分别是△ ABD、 △ ACD 的外心, O ? 是经过 A、 O 1 、 O 2 三点的圆之圆心.求证:
O ?D ? BC 的充要条件是:AD 恰好经过△ ABC 的九点圆心. (2006

年中国国家队培训)

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