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【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 不等式章末检测(A)新人教A版必修5


【步步高】2014-2015 学年高中数学 第三章 不等式章末检测 (A)新人教 A 版必修 5
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.原点和点(1,1)在直线 x+y=a 两侧,则 a 的取值范围是( ) A.a<0 或 a>2 B.0<a<2 C.a=0 或 a=2 D.0≤a≤2 答案 B ? 1? 2 2.

若不等式 ax +bx-2>0 的解集为?x|-2<x<- ?,则 a+b 等于( ) 4? ? A.-18 B.8 C.-13 D.1 答案 C 1 2 解析 ∵-2 和- 是 ax +bx-2=0 的两根. 4

b ? 1? -2+?- ?=- ? ? ? 4? a ∴? ? 1? -2 ?-2?×?- ?= ? ? ? 4? a

,∴?

?a=-4 ? ? ?b=-9

.

∴a+b=-13. 2 2 2 3.如果 a∈R,且 a +a<0,那么 a,a ,-a,-a 的大小关系是( 2 2 2 2 A.a >a>-a >-a B.-a>a >-a >a 2 2 2 2 C.-a>a >a>-a D.a >-a>a>-a 答案 B 2 解析 ∵a +a<0,∴a(a+1)<0, 1 2 2 ∴-1<a<0.取 a=- ,可知-a>a >-a >a. 2 1 1 4.不等式 < 的解集是( ) x 2 A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 答案 D 1 1 1 1 2-x 解析 < ? - <0? <0 x 2 x 2 2x x-2 ? >0?x<0 或 x>2. 2x

)

x+y≤3, ? ? 5.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?y≥1,
( ) A.12 答案 B B.10 C.8 D.2

则目标函数 z=4x+2y 的最大值为

解析

画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z=4x+2y 可转化为 y=-2x+ , 2

z

作出直线 y=-2x 并平移,显然当其过点 A 时纵截距 最大. 2 解方程组?
?x+y=3, ? ?y=1 ?

z

得 A(2,1),∴zmax=10.

6.已知 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( ) 2 2 A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab >cb D.ac(a-c)<0 答案 C 解析 ∵c<b<a,且 ac<0,∴a>0,c<0. 2 2 而 b 与 0 的大小不确定,在选项 C 中,若 b=0,则 ab >cb 不成立. 2 2 7.已知集合 M={x|x -3x-28≤0},N={x|x -x-6>0},则 M∩N 为( ) A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3} 答案 A 2 解析 ∵M={x|x -3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}, N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2 或 x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}. 8.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 则( ) 1 3 3 1 A.-1<a<1 B.0<a<2 C.- <a< D.- <a< 2 2 2 2 答案 C 2 2 解析 (x-a)?(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1?-x +x+(a -a-1)<0 恒成立 1 3 2 ?Δ =1+4(a -a-1)<0?- <a< . 2 2 9.在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( ) 1 A.y=x+

x

1 π B.y=cos x+ (0<x< ) cos x 2 2 x +3 C.y= 2 x +2 4 x D.y=e + x-2 e 答案 D 解析 选项 A 中,x>0 时,y≥2,x<0 时,y≤-2; 选项 B 中,cos x≠1,故最小值不等于 2; x2+3 x2+2+1 1 2 选项 C 中, 2 = = x +2+ 2 , 2 x +2 x +2 x +2 3 2 当 x=0 时,ymin= . 2 4 4 x x 选项 D 中,e + x-2>2 e · x-2=2, e e x 当且仅当 e =2, 即 x=ln 2 时,ymin=2,适合.

x+y≥1 ? ? 10.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ? ?2x-y≤2
最小值,则 a 的取值范围是( ) A.(-1,2) B.(-4,2)

,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得

C.(-4,0]

D.(-2,4)

答案 B 解析 作出可行域如图所示, 直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值, 由图象可知-1<- <2, 2 即-4<a<2. + 11.若 x,y∈R ,且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为( A.12 B.14 C.16 D.18 答案 D 解析 由 2x+8y-xy=0,得 y(x-8)=2x, 2x ∵x>0,y>0,∴x-8>0,得到 y= , x-8 2x ?2x-16?+16 则 μ =x+y=x+ =x+ x-8 x-8 =(x-8)+ 16

a

)

x-8

+10≥2 16

?x-8?·

16

x-8

+10=18,

当且仅当 x-8=

x-8

,即 x=12,y=6 时取“=”.
? ?x-y+1≤0, ?x>0, ?

12.若实数 x,y 满足?



y 的取值范围是( x-1

)

A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1) D.[1,+∞) 答案 B

解析 或

可行域如图阴影,

y y 的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率, 易求得 >1 x-1 x-1

y <-1. x-1
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若 A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则 A、B 的大小关系为________.

答案

A<B

14.不等式

x-1 >0 的解集是 x2-x-30

________________________________________________________________________. 答案 {x|-5<x<1 或 x>6} 15.如果 a>b,给出下列不等式: 1 1 3 3 2 2 2 2 ① < ;②a >b ;③ a > b ;④2ac >2bc ;

a b a 2 2 ⑤ >1;⑥a +b +1>ab+a+b. b

其中一定成立的不等式的序号是________. 答案 ②⑥ 1 1 解析 ①若 a>0,b<0,则 > ,故①不成立;

a b

②∵y=x 在 x∈R 上单调递增,且 a>b. 3 3 ∴a >b ,故②成立; ③取 a=0,b=-1,知③不成立; 2 2 2 2 ④当 c=0 时,ac =bc =0,2ac =2bc , 故④不成立; ⑤取 a=1,b=-1,知⑤不成立; 2 2 ⑥∵a +b +1-(ab+a+b) 1 2 2 2 = [(a-b) +(a-1) +(b-1) ]>0, 2 2 2 ∴a +b +1>ab+a+b,故⑥成立. 16.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 千米,为了安全,两列货车的间距不得小于? ? 千米,那么这批货物全部运到 B 市,最快 ?20? 需要________小时. 答案 8 解析 这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t,则 400+16? ? 400 16v ?20? 400 16v t= = + ≥2 × =8(小时), v v 400 v 400 400 16v 当且仅当 = ,即 v=100 时等号成立, v 400 此时 t=8 小时. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 2 17.(12 分)若不等式(1-a)x -4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}. 2 (1)解不等式 2x +(2-a)x-a>0; 2 (2)b 为何值时,ax +bx+3≥0 的解集为 R. 2 解 (1)由题意知 1-a<0 且-3 和 1 是方程(1-a)x -4x+6=0 的两根,

3

? v ?2

? v ?2

? 4 ? =-2 1 - a ∴? 6 ? ?1-a=-3
1-a<0
2

,解得 a=3.

∴不等式 2x +(2-a)x-a>0

3 2 即为 2x -x-3>0,解得 x<-1 或 x> . 2 ? 3? ∴所求不等式的解集为?x|x<-1或x> ?. 2? ? 2 2 (2)ax +bx+3≥0,即为 3x +bx+3≥0, 2 若此不等式解集为 R,则 b -4×3×3≤0,∴-6≤b≤6. 2 2 18.(12 分)解关于 x 的不等式 56x +ax-a <0. 解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0, 即?x+ ??x- ?<0. ? 7?? 8? ①当- < ,即 a>0 时,- <x< ; 7 8 7 8 ②当- = ,即 a=0 时,原不等式解集为?; 7 8 ③当- > ,即 a<0 时, <x<- . 7 8 8 7 综上知,当 a>0 时,原不等式的解集为?x|- <x< ?; 7 8? ? 当 a=0 时,原不等式的解集为?; 当 a<0 时,原不等式的解集为?x| <x<- ?. 7? ? 8 4 4 4 19.(12 分)证明不等式:a,b,c∈R,a +b +c ≥abc(a+b+c). 4 4 2 2 4 4 2 2 证明 ∵a +b ≥2a b ,b +c ≥2b c , 4 4 2 2 c +a ≥2c a , 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ∴2(a +b +c )≥2(a b +b c +c a ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 即 a +b +c ≥a b +b c +c a . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 a b +b c ≥2ab c,b c +c a ≥2abc , c2a2+a2b2≥2a2bc. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴2(a b +b c +c a )≥2(ab c+abc +a bc), 2 2 2 2 2 2 即 a b +b c +c a ≥abc(a+b+c). 4 4 4 ∴a +b +c ≥abc(a+b+c). 20.(12 分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈 利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多 少万元,才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知
? ?

?

a??

a?

a a

a

a

a a a a

a

a

a

a?

a

a?

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0.
目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域 相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大,这里 M 点 是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. ? ?x+y=10, 解方程组? ?0.3x+0.1y=1.8, ? 得 x=4,y=6,此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的前提下,使可能的盈利最大. 2 2 21. (12 分)设 a∈R, 关于 x 的一元二次方程 7x -(a+13)x+a -a-2=0 有两实根 x1, x2,且 0<x1<1<x2<2,求 a 的取值范围. 2 2 解 设 f(x)=7x -(a+13)x+a -a-2. 因为 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根, 且 0<x1<1,1<x2<2,

f?0?>0, ? ? 所以?f?1?<0, ? ?f?2?>0 a -a-2>0, ? ? 2 ? ?a -2a-8<0, ? ?a2-3a>0
2

a -a-2>0, ? ? 2 ? ?7-?a+13?+a -a-2<0, ? ?28-2?a+13?+a2-a-2>0 a<-1或a>2, ? ? ? ?-2<a<4, ? ?a<0或a>3

2

? -2<a<-1 或 3<a<4. 所以 a 的取值范围是{a|-2<a<-1 或 3<a<4}. 22.(14 分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都 购入 x 台(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每 批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 36 解 (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 批,每批价值 20x.

x

36 由题意 f(x)= ·4+k·20x,

x

16 1 由 x=4 时,y=52,得 k= = . 80 5 144 * ∴f(x)= +4x (0<x≤36,x∈N ).

x

144 * (2)由(1)知 f(x)= +4x (0<x≤36,x∈N ).

x

∴f(x)≥2

144 ·4x=48(元).

x

144 当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立.

x

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.


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