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吉林省吉林市第一中学校2015-2016学年高二11月月考数学(文)试题


吉林一中 14 级高二上学期月考(11 月份)

数学(文科)试卷
一.选择题: (每小题 5 分,共计 60 分)
1.若 a ? b , x ? y ,则下列不等式中不正确的是 A. a ? x ? b ? y C. | a | x ? | a | y B. y ? a ? x ? b D. ( a ? b ) x ? ( a ? b

) y

2. 若 p 的否命题是命题 q 的逆否命题,则命题 p 是命题 q 的 A.逆命题 题 3.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 A. 1 B. B.否命题 C.逆否命题 D . p 与 q 是同一命

5 3

C. 2

D. 3

?x ? y ? 1 ? 0 ? 4.如果实数 x , y 满足约束条件 ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
A. ? 3 5. F1 , F2 是椭圆 B. ? 2 C. 2 D. 1

x2 y2 ? ? 1 的两焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,若 | AB |? 8 , 25 9

则 | F2 A | ? | F2 B |? A.2 B.12 C.18 D.96

6.若条件 p : x ? 1 ? 4 ,条件 q : 2 ? x ? 3 ,则 ?q 是 ?p 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 7.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 2a ? b ? 4 ,则 A. 4 B. B.必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

1 的最小值为 ab
C. 2 D.

1 4

1 2

8.在各项为正数的等比数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,前三项的和 S3 ? 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 的值 为

A.33

B.72

C.84

D.189

9.椭圆 x 2 ? my2 ? 1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为 A.4 B.2 C.

1 2

D.

1 4

10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是 A.

2 5

B.

3 5

C.

1 2

D.

2 2

11.下列命题中为真命题的是
2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题

B.命题“若 x ? y ,则 | x | ? y ”的逆命题 C.若 k ? 5 ,则两椭圆
2

x2 y2 x2 y2 ? ?1与 ? ? 1 有不同的焦点 9 5 9?k 5?k
2

D.命题“若方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围为(0,1) ” 的 逆否命题 12.给出下列四个命题: ①如果命题“ ? p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; ②命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ; ③若命题 p : ? x ? 0 , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? 0 , x ? x ? 1 ? 0
2 2

④设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的充分而 不必要条件. 其中为真命题的个数是 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

二.填空题: (每小题 5 分,共计 20 分)
13.不等式

3 ? 1 的解集是 x ?1



1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 14.若椭圆 3 k ?8 9

.

15. 如果椭圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 的 一 条 弦 被 点 ( 4 , 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 36 9

16.已知 F1 , F2 为椭圆 的

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点, M 为椭圆上一点,且 ? MF1F2 的内切圆 a 2 16

周长等于 3? ,若满足条件的点 M 恰好有 2 个,则 a ?
2

.

三、解答题: (共计 70 分)
17.(本小题满分 10 分) 已知椭圆 C 的中心 O 为坐标原点, 右焦点为 F (1, 0) , A 、B 分别是椭圆 C 的左右顶点,

P是
椭圆 C 上的动点. (Ⅰ)若 ? PAB 面积的最大值为 2 ,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 做长轴 AB 的垂线,交椭圆 C 于 M 、 N 两点,若 | MN |? 3 ,求椭圆

C的
离心率.

18. (本小题满分 12 分) 已知在等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

19. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn

1? ? a n ( n ?1) ,数列 ? ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .
2

? bn ?

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其中左焦点 F (?2,0) . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? x ? m 与椭圆 C 交于不同的 A, B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆

x 2 ? y 2 ? 1 上,求 m 的值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? (a ? 2) x ? a .
2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 解集; (Ⅱ)当 x ? 1 时,若 f ( x ) ? ?1 恒成立,求实数 a 的最大值.

22.(本小题满分 12 分)

B2 . , 0) 、 F2 (1, 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1
(Ⅰ)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若椭 圆 C 的短 轴长 为 2 , 过点 F2 的 直线 l 与 椭圆 C 相 交 于 P、 Q 两点 ,且

???? ???? , F1P ? FQ 1
求直线 l 的方程.

吉林一中 14 级高二上学期月考(11 月份)

数学(文科)答案
一、选择题:C A C D B B D C A B 14. 0 或 D C

, 2? ; 二、填空题:13. ?- 1,
三、解答题

17 ; 8

15. x ? 2 y ? 8 ? 0 ;

16.25

x2 y2 17. 解: (Ⅰ)由题意设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b

1 ( 2 a )b ? 2 2 解得 a ? 2 , b ? 1 x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆 C 的方程为 2
则有 a ? b ? 1 ,
2 2

???2 分 ???4 分 ???5 分

x2 y2 (Ⅱ)由题意设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b
则有

2b2 ? 3 ,又 a 2 ? b2 ? 1 a

∴ 2a ? 3a ? 2 ? 0
2

???7 分

1 (舍) 2 c 1 ∴椭圆 C 的离心率 e ? ? a 2
解得 a ? 2 或 a ? ? 18. 解: (Ⅰ)设等比数列 {a n } 的公比为 q

???9 分 ???10 分

? a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项
???2 分

? 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? a3
?q ? a3 ?2 a2
???4 分

?an ? a1qn ?1 ? 2n ?1 (n ? N * ) ???6 分

(Ⅱ)? bn ? 2n ? 1 ? an

? S n ? (1 ? 1) ? (3 ? 2) ? (5 ? 22 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n?1 ) .
? [1 ? 3 ? 5 ? ?(2n ? 1)] ? (1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n?1 )
? 1 ? (2n ? 1) 1 ? 2n ? n2 ? 2n ?1 ?n? 2 1? 2

???8 分 ???9 分

???12 分

19.解: (Ⅰ)依题意得: a2 ? a1 ? d ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3d ? a1 ? 6 ∵ a2 是 a1 与 a4 的等比中项 解得 a1 ? 2 ∴ a2 ? a1 ? a4
2

???2 分

(a1 ? 2)2 ? a1 (a1 ? 6)
即 an ? 2 n ???6 分

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ,∴ bn

? a n ( n?1) ? n(n ? 1)
2

???7 分 ???8 分

1 1 1 1 ? ? ? bn n(n ? 1) n n ? 1
∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?? ? ? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 1? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

11 分 ∴数列 ?

?1? n ? 的前 n 项和 Tn ? n ?1 ? bn ?

???12 分

20.解: (Ⅰ)由题意得,

c 2 ? ,c ? 2 a 2
???4 分

???2 分

解得: ? 分

?a ? 2 2 ?b ? 2

所以椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ?1 8 4

???6

(Ⅱ)设点 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 8 ,消去 y 得 3x ? 4m x ? 2m ? 8 ? 0 4 ?y ? x ? m ?

???8 分

? ? ? 96 ? 8m2 ? 0,? ?2 3 ? m ? 2 3
? x0 ? x1 ? x 2 2m m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 2 3 3

???9 分

???10 分

? 点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,
? (? 2m 2 m 2 3 5 ) ? ( ) ? 1,即m ? ? ,满足 ? ? 0 3 3 5
2

???12 分

21. 解: (Ⅰ) ∵ 2 x ? ( a ? 2) x ? a ? 2( x ? ∴(x ?

a )( x ? 1) 2

a )( x ? 1) ? 0 , 2
a a ? ? ? 1 ,不等式的解集为 ? x | x ? ,或x ? 1? 2 2 ? ?

①当 0 ? a ? 2 时,

②当 a ? 2 时,不等式的解集为 ?x | x ? R,且x ? 1? ③当 a ? 2 时,不等式的解集为 ? x | x ? 1,或x ?
2 (Ⅱ) ∵ f ( x ) ? ?1 ,∴ 2 x ? (a ? 2) x ? a ? ?1

? ?

a? ? 2?

???6 分

又∵ x ? 1

∴有 a ? 2 x ?

1 恒成立 x ?1

???8 分

∵ 2x ?

1 1 ? 2( x ? 1) ? ?2?2 2 ?2 x ?1 x ?1

???10 分

当且仅当 x ? 1 ?

2 时等号成立 2
???12 分

∴ a ? 2 2 ? 2 , a 的最大值是 2 2 ? 2 22.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2
, 解得 a ?
2

根据题意知 ?

?a ? 2b ?a ? b ? 1
2 2

4 2 1 ,b ? 3 3

???3 分

故椭圆 C 的方程为

3x 2 x2 y 2 ? 3y2 ? 1 ) ? ? 1. ( 4 1 4 3 3

???4 分

(Ⅱ)依题意求得椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

???5 分

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; ???6 分 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ?1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
y1 ), Q( x2, y2 ) ,则 设 P( x1,

???7 分

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? , F P ? ( x ? 1 , y ) , F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) ???8 分 1 1 1 2k ? 1 2k 2 ? 1
因为 F ,所以 F ? 0 ,即 1P ? FQ 1 1 P ? FQ 1

????

????

???? ????

( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ?1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ?
解得 k ?
2

7k 2 ? 1 ?0, 2k 2 ? 1

???10 分

7 1 ,即 k ? ? . 7 7

???11 分

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 .

???12 分

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