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寒假作业圆锥曲线


3.如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 AB ,过点 B 的直线 l 与 a 2 b2

x 轴垂直.直线

(2 ? k ) x ? (1 ? 2k ) y ? (1 ? 2k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的
3 . 2 (1)求椭

圆的标准方程;

离心率 e ?

(2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使得
HP ? PQ ,连结 AQ 延长交直线 l 于点 M , N 为 MB 的中点.试判断直线 QN 与以 AB 为直

y

径的圆 O 的位置关系.

Q

M
N

P A
O

H

B
l

x

(1)将 (2 ? k ) x ? (1 ? 2k) y ? (1 ? 2 k) ? 0 整理得 (? x ? 2 y ? 2)k ? 2 x ? y ? 1 ? 0 解方程组 ?

?? x ? 2 y ? 2 ? 0 得直线所经过的定点(0,1) ,所以 b ? 1 . ?2 x ? y ? 1 ? 0
3 得a ? 2. 2

由离心率 e ? 所
2



















x ? y 2 ? 1 .------------------------------------------4 分 4 x2 (2)设 P ? x0 , y0 ? ,则 0 ? y0 2 ? 1. 4
∵ HP ? PQ ,∴ Q ? x0 ,2 y0 ? .∴ OQ ? x0 2 ? ? 2 y0 2 ? ? 2 ∴ Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的的圆上.即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上.……6 分 2 y0 又 A ? ?2,0? ,∴直线 AQ 的方程为 y ? ? x ? 2? . x0 ? 2
? 8 y0 ? ? 4 y0 ? 令 x ? 2 ,得 M ? 2, ? .又 B ? 2,0 ? , N 为 MB 的中点,∴ N ? 2, ? .……8 分 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? ? 2x y ? ∴ OQ ? ? x0 ,2 y0 ? , NQ ? ? x0 ? 2, 0 0 ? . x0 ? 2 ? ?

∴ OQ ? NQ ? x0 ? x0 ? 2? ? 2 y0 ?

x0 ? 4 ? x02 ? 2 x0 y0 4x y 2 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 2? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? 0 .
∴ OQ ? NQ .∴直线 QN 与圆 O 相切 5.已知椭圆的焦点 F 1 ?1,0? , F 2 ? ?1,0 ? ,过 P ? 0, 为 6 ,过 F 1 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点. (I)求椭圆的标准方程;

? ?

1? ? 作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截线段长 2?

l (Ⅱ)是否存在实数 t 使 PA ? PB ? tPF 1 ,若存在,求 t 的值和直线 的方程;若不存在,
说明理由. (Ⅰ)设椭圆方程为

? 6 1? x2 y 2 2 2 , ? ? 2 ? 1 ,由题意点 ? 在椭圆上, a ? b ? 1 2 ? ? a b ? 2 2? x2 6 1 ? y 2 ? 1………………5 分 所以 + 2 =1,解得 2 4(1+b ) 4b 2

? ? ? ? (Ⅱ)当直线斜率不存在时,易求 A ?1, 2 ? , B ?1, ? 2 ? ,所以 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

PA ? (1,

2 ?1 2 ?1 1 ), PB ? (1,? ), PF1 ? (1,? ) 2 2 2 t ? 2 ,直线 l 的方程为 x ? 1 .………………7 分 由 PA ? PB ? tPF 1得
当直线斜率存在时,

1? 1? 1? ? ? ? ? , PB ? ? x2 , y2 ? ? , PF1 ? ?1, ? ? 2? 2? 2? ? ? ? 由 PA ? PB ? tPF 1得
所以 PA ? ? x1 , y1 ?

? x1 ? x2 ? t ? x1 ? x2 ? t ? ? ? 1 1 t 即? t y1 ? ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 ? 2
因为 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ,所以 k ? ? 此时,直线 l 的方程为 y ? ?

1 2

1 ? x ? 1? 2

已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 2 2 a b

圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切, 过点 P (4, 0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)求 OA.OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。 c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 (1)解:由题意知 e ? ? ,∴ e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 2 a 2 3 4 a a 6 ? 3 ,∴ a 2 ? 4, 又b ? b2 ? 3 1?1 y2 x2 ? ?1 故椭圆的方程为 4 3 (2)解:由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 3 ? 4 1 由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 4


A(x1 , y1) , B

(x2 , y2) , 则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ∴
OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? 64 k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k ? 3

1 87 87 87 13 ,∴ ? ,∴ OA ? OB ?[?4, ) ≤? 2 ?? 4 3 4 4 4k ? 3 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . 4
∵ 0≤ k2 ? (3)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2) y ? y2 y ( x ? x2 ) ( x ? x1 ) ,令 y = 0 得: x ? x1 ? 1 1 直线 AE 的方程为 y ? y1 ? 1 x1 ? x2 y1 ? y2 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) y1 ? k ( x1 ? 4),y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ? 1 2 x1 ? x2 ? 8 由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0). .已知椭圆



x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, a 2 b2
2

直线 x ? y ? b ? 0 是抛物线 y ? 4 x 的一条切线. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 S (0,? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A.B 两点.问:是否存在一个定点 T,使 得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求点 T 坐标;若不存在,说明理由。 解析: (Ⅰ)由 ?

1 3

? x ? y ? b ? 0消去y得 : x 2 ? (2b ? 4) x ? b 2 ? 0 2 ? y ? 4x

因直线 y ? x ? b与抛物线 y 2 ? 4x 相切,? ? ? (2b ? 4) 2 ? 4b 2 ? 0 ,∴ b ? 1 , ………………2 分 ∵圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a2 b2

形,∴ a ?

2b ? 2

故所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
2

(Ⅱ)当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? ( y ? ) ? ( )
2

1 3

4 3

2

当 L 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径的圆的方程: x 2 ? y 2 ? 1

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?
即两圆公共点(0,1) 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) (ⅰ)当直线 L 斜率不存在时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) (ⅱ)若直线 L 斜率存在时,可设直线 L: y ? kx ?

1 3

1 ? y ? kx ? ? ? 3 由? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?2

12k ? x1 ? x 2 ? ? ? 18k 2 ? 9 记点 A( x1 , y1 ) . B( x 2 , y 2 ),则? ? x x ? ? 16 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?

又因为 TA ? ( x1 , y1 ? 1),TB ? ( x 2 , y 2 ? 1)

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) 3 3
? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 16 k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9

∴TA⊥TB, 综合(ⅰ) (ⅱ) ,以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1) . 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的短轴长等于焦距,椭圆 C 上的点到右焦点 F 的最短距离为 a 2 b2

2 ?1.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 E (2 , 0) 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 C 交于 M 、 N 两点, P 是点 M 关 于 x 轴的对称点,证明: N、F、P 三点共线. (I)由题可知: ?

? ? 2b ? 2 c ? ?a ? c ? 2 ? 1

…………2 分

解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 1

?椭圆 C 的方程为 C :

x2 ? y 2 ? 1…………………………4 分 2

(II)设直线 l : y ? k ( x ? 2) , M ( x1, 0) , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P( x1, ? y1 ) , F (1,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 .…………6 分 2 ? ? y ? 1, ?2
所以 x1 ? x2 ? 而

8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

……………………8 分

uuu r FN ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x2 ? 1 , kx2 ? 2k ) uur FP ? ( x1 ? 1, ? y1 ) ? ( x1 ? 1, ? kx1 ? 2k ) ,…………10 分
Q ( x1 ? 1)(kx2 ? 2k ) ? ( x2 ? 1)(?kx1 ? 2k ) ? k[2 x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4]



? 16k 2 ? 4 24k 2 ? ? k? ? 2 ? 4? ? 0 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?
uuu r uur ? FN // FP
∴ N、F、P 三点共线 1 3 10.椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 .点 P(1, )、A、B 在椭圆 E 上, 2 2 → → → 且PA+PB=mOP(m∈R). (1)求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率; (2)当 m=-3 时,证明原点 O 是△PAB 的重心,并求直线 AB 的方程. 解: (1)由 e ? 1 ?
2

1 9 b2 1 ? 1 解得 a2=4,b2=3, = 及 2 ? 2 4b 2 a 4 a

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ;…………………………………………………………2 分 4 3
y T A O F B
l

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,由 (x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,
2 2 2

x



18题





? x1 ? x2 ? 2 ? m 3 ? ) ,即 ? 3 2 y1 ? y 2 ? 3 ? m ? 2 ?

x y x y 又 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得 4 3 4 3 y ? y1 3 x ? x2 3 2?m 1 k AB ? 2 ?? ? 1 ?? ? ? ? ; ………………………6 分 3 x 2 ? x1 4 y1 ? y 2 4 2 3? m 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? m ? (2)由(1)知,点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)的坐标满足 ? 3 , y1 ? y 2 ? 3 ? m ? 2 ? 3 3 3m 3 点 P 的坐标为(1, ), m=-3, 于是 x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+ =3+ + =0, 2 2 2 2
因此△PAB 的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB 的重心. ∵x1+x2=-1,y1+y2=2 2

2

3 1 3 ,∴AB 中点坐标为( ? , ? ) ,………………………10 分 2 2 4
2 2

x1 y x y ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得 4 3 4 3 y 2 ? y1 3 x1 ? x2 1 k AB ? ?? ? ?? ; x2 ? x1 4 y1 ? y 2 2 3 1 1 ∴直线 AB 的方程为 y+ = ? (x+ ),即 x+2y+2=0. 4 2 2

1, 0) 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物线于 A , B 11.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,点 M (

两点. (1)证明:直线 NA , NB 的斜率互为相反数; (2)求 ?ANB 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为 (m , 0) , (m ? 0 且 m ? 1) .根据(1) (2)推测并回答下列问题(不 必说明理由) : ①直线 NA , NB 的斜率是否互为相反数? ② ?ANB 面积的最小值是多少? (1)设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? (k ? 0) .

? y ? k ? x ? 1? , ? 由? 2 ? ? y ? 4 x,

可得 k 2 x2 ? 2k 2 ? 4 x ? k 2 ? 0 .

?

?

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 . k2

∴ y1 y2 ? ?4 ∴ N ? ?1, 0?
k NA ? k NB ? y1 y 4 y1 4y ? 2 ? ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y12 ? 4 y2 ?4

?

2 2 ? 4? ? y1 ? y2 ? 4 ? ? y2 ? y1 ? 4 ? ?

?y

2 1

? 4 ?? y ? 4 ?
2 2

?

4(?4 y2 ? 4 y1 ? 4 y1 ? 4 y2 )

?y

2 1

2 ? 4 ?? y2 ? 4?

? 0.

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A, B 关于 x 轴,显然 kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . 综上, kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . (2) S?NAB ? y1 ? y2 ? ---------------- 5 分
? 4 y1 y2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 8 = 4 1 ?
1 ?4. k2

? y1 ? y2 ?

2

当 l 垂直于 x 轴时, S?NAB ? 4 . ∴ ?ANB 面积的最小值等于 4 . (3)推测:① kNA ? ?kNB ; ② ?ANB 面积的最小值为 4m m . 已知椭圆 E: ------- 13 分 ------10 分

x2 y2 2 ? 2 =1(a>b>o)的离心率 e= ,且经过点( 6 ,1) ,O 为坐标原点。 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆,M 是直线

x=-4 在 x 轴上方的一点,过 M 作圆 O 的两条切线,
切点分别为 P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线 PQ 的方程. 解: (1)椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 8 4

(2)连接 QM,OP,OQ,PQ 和 MO 交于点 A, 0 有题意可得 M(-4,m) ,∵∠PMQ=60
0 ∴∠OMP=30 ,∵ OP ? 2 2 ? OM ? 4 2 ? (?4) ? m ? 4 2 ,

2

2

∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4) ∴直线 OM 的斜率 KOM ? ?1 ,有 MP=MQ,OP=OQ 可知 OM⊥PQ,

? KPQ ? 1 ,设直线 PQ 的方程为 y=x+n
∵∠OMP=30 ,∴∠POM=60 ,∴∠OPA=30 ,
0 0 0

?OP ? 2 2 ?OA ? 2 ,即 O 到直线 PQ 的距离为 2 ,

?

n 2

? 2 ? n ? ?2 (负数舍去),∴PQ 的方程为 x-y+2=0

13.设抛物线 C1:x =4 y 的焦点为 F,曲线 C2 与 C1 关于原 点对称. (Ⅰ) 求曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 曲线 C2 上是否存在一点 P(异于原点) ,过点 P 作 C1 的两条切线 PA,PB,切点 A,B,满足| AB | 是 | FA | 与 | FB | 的等差中项?若存在,求 出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 15

2

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰 24 12 好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的 弦长;
已知双曲线 E : (Ⅲ) 在平面上是否存在定点 P , 使得对圆 C 上任意的点 G 有 的坐标;若不存在,请说明理由. 椭圆 C :
GF GP ? 1 ?若存在, 求出点 P 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , P 为椭圆 a 2 b2

2 C 上任意一点.已知 PF 3 1 ? PF 2 的最大值为 ,最小值为 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右顶点) , 且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 离为 12 ,椭圆上的点到焦点的最短距 2

2 P , 直线 l 与 y 轴交于点 ( P 0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, 且A 2 (1)求椭圆方程;
y T

=? PB .

(2)若 (

A O F B
l

x



18题



,求 m 的取值范围.

已知点 R(?3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足

2PM ? 3MQ ? 0, RP ? PM ? 0 .
(Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点,且 x1 >1, y1 >0, N (1,0) ,求实数 ? ,使

AB ? ? AN ,且 AB ?

16 . 3

椭圆的右顶点 A 1 (2,0) ,圆 E 圆心为 E (1, 0) ,半径 r ?

2.

假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧, 则 ?MEN ? 90? ,圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ? 当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 , 此时圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ? 1 (符合) 当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 , ∴圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ?

2 r ?1 2

|k| k 2 ?1

? 1 ,无解

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧,此时 l 方程为 x ? 2 25.如图所示, F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A(4,2) 为抛物线 内一定点,点 P 为抛物线上一动点, PA ? PF 的最小值为 8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在定点 M ,使过点 M 的动直线与抛物 线交于 B, C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若存在,求出定点 y P A(4,2) x

M 的坐标;若不存在,请说明理由.

O

F

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一个顶点到两个焦点之间的距离分 a 2 b2

别为 3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 。 (1)求椭圆的方程;

(3,0) ,证明直线 CA 与直线 (2)如果直线 x ? t (t ? R) 与椭圆相交于 A, B ,若 C (?3,0), D
BD 的交点 K 必在一条确定的双曲线上;
(3)过点 Q(1 , 0) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与椭圆交于 M 、N 两点,与 y 轴交于点 R , 若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值。 解: (1)由已知 ?

?a ? c ? 3 ? 2 2 ?

?a ? 3 ? ?? ?c ? 2 2 ? ? ?a ? c ? 3 ? 2 2

b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ………………………3 分

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。………………………5 分 9 t2 ? y0 2 ? 1 9

(2)依题意可设 A(t , y0 ), B(t, ? y0 ), K ( x, y) ,且有 又 CA : y ?

y0 ?y ( x ? 3), DB : y ? 0 ( x ? 3), t ?3 t ?3 2 2 ?y t 1 x2 y 2 ? 2 0 ( x 2 ? 9) ,将 ? y0 2 ? 1 代入即得 y 2 ? ( x 2 ? 9), ? y 2 ? 1 t ?9 9 9 9 2 x ? y 2 ? 1上。……………………10 分 所以直线 CA 与直线 BD 的交点 K 必在双曲线 9
(3)依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,……………11 分

? y ? k ( x ? 1) , ? 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1 . ? ?9
消去 y 并整理,得 (1 ? 9k 2 ) x2 ?18k 2 x ? 9k 2 ? 9 ? 0 ,

18k 2 所以 x3 ? x4 ? , ① 1 ? 9k 2

9k 2 ? 9 x3 x4 ? , ② ……………………13 分 1 ? 9k 2

因为 RM ? ? MQ ,所以 ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? ,

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , 所以 x3 ? ?(1 ? x3 ) ,又 l 与 x 轴不垂直,所以 x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 所以 ? ? ,同理 ? ? 。 …………………………14 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x 所以 ? ? ? ? 。 ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? 。 …………………………16 分 4
即? 已知抛物线 C:y =4x,F 是 C 的焦点,过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原 点。 (1)求 OA · OB 的值; (2)设 AF = ? FB ,求△ABO 的面积 S 的最小值; (3)在(2)的条件下若 S≤ 5 ,求 ? 的取值范围。
2

21.(本小题满分 14 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的

l 交椭圆于 A、B 2 倍且经过点 M (2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,
两个不同点

(1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 21. 解: (1)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? a ? 2b ? a 2 ? 8 所以椭圆方程 则? 解得 ? ? 2 1 ? 4 ? ? 2 ?1 ?b ? 2 ? 2 b ?a

x2 y 2 ? ?1 8 2

(3 分)

(2)因为直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM ?
? 由? ? y?

1 1 ,所以 l 的方程为: y ? x ? m 2 2

(4 分)

1 x?m 2 ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

(5 分)

因为直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

?? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0,
所以 m 的取值范围是 ?m | ?2 ? m ? 2, m ? 0? .
(7 分)

(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 k1 ? 由 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0
2 2

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

(8 分)

可得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4 而 k ? k ? y1 ? 1 ? y2 ? 1 ? ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) 1 2
x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
1 1 x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) (

(10 分)

?
?

x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? k1 ? k2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

(13 分) (14 分)

x2 y2 6 . 已知椭圆 G: 右焦点为(2 2, 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b 3, 0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等 腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 解析:(1)由已知得,c=2 2,a= 3 . 解得 a=2 3. 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12+ 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.

?y=x+m, 由? x2 y2 ?12+ 4 =1
得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0, x1+x2 3m m y0),则 x0= 2 =- 4 ,y0=x0+m= 4 . 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. 4 所以 PE 的斜率 k= 3m=-1. -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2.

所以|AB|=3 2. |-3-2+2| 此时, 点 P(-3, 2)到直线 AB: x-y+2=0 的距离 d= 2 3 2 = 2 , 1 9 所以△PAB 的面积 S=2|AB|· d=2.


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