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2015普通高等学校全国统一考试理科数学(新课标Ⅱ卷)


2015 普通高等学校全国统一考试理科数学(新课标Ⅱ卷) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必自己的姓 名和准考证号写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B= (A){-1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){0,,1,2}

(2)若 a 为实数,且(2+ a i)( a -2i)=-4i,则 a = (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结 论不正确的是

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

达人 Right

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Monday, June 8, 2015

(5)设函数 (A)3

f ( x) ?

?

1? log2 ( 2? x ), x ?1, ,则 2 x?1 , x ?1,

f (?2) ? f (log2 12) ?
(D)12

(B)6

(C)9

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,

则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

( C)

1 6

(D )

1 5

(7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 (A)2

MN =

6

(B)8

( C )4

6

(D)10

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该 程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a =

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 14

(9) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为该球面上的动点。若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A) 36π
达人 Right

(B) 64π

(C) 144π

(D) 256π
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(10) 如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x。将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x) 的图像大致为

A

B B

C
120° ,则 E 的离心率为 (A)

D

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为

5

(B)2

(C)

3

(D)

2

( 12 ) 设 函 数 f ' ( x) 是 奇 函 数 f ( x)(x ? R) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x>0 时 ,

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是
(A) (??,?1) ? (0,1) (B) (?1,0) ? (1,??)

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(C) (??,?1) ? (?1,0)

(D) (0,1) ? (1,??)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a, b 不平行,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? ____________. (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为____________.

? ?

?

?

?

?

? ?

x ? y ?1?0,

x ? 2 y ? 2? 0 ,

(15) (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =__________.
4

( 16 ) 设 Sn 是 数 列 { Sn=___________________________.

an } 的 前 n 项 和 , 且 α1=-1 , αn+1=SnSn+1 , 则

三. 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,ΔABD 面积是 ΔADC 面积的 2 倍。 (1)求

sin ?B ; sin ?C
2 ,求 BD 和 AC 的长。 2

(2)若 AD = 1, DC ? 18.(本小题满分 12 分)

某公司了解用户对其产品满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对 产品的满意度评分如下: A 地区: B 地区: 62 78 73 93 73 86 83 48 81 95 62 65 92 66 51 81 95 97 91 74 85 78 46 56 74 88 53 54 64 82 73 76 53 76 64 65 76 89 82 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); A 地区 4 5 6 7 8
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B 地区

9 (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件的概率,求 C 的概率。 19.(本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB = 16, BC = 10, AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4, 过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O

D1

F

C1

A1

E D

B1 C

A

B

且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 (

m , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 3

能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ΔABC 的 底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且 与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点。 (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求 四边形 EBCF 的面积。 23.(本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

A

G E O B M D N C F

? x ? t cos ? (t 为参数,t ≠ 0),其中 0 ≤ α < π,在 ? y ? t sin ?

以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。
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24.(本小题满分 10 分)选修 4 - 5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd ,则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

达人 Right

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