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高中数学选修1-1人教A教案导学案:2.3.1抛物线及其标准方程


2. 3.1 抛物线及其标准方程
一、学习目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程 2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程 3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观 察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思 与感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想 二、

学习重点 抛物线的定义及标准方程 三、学习难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择) 四、学习过程 (一)复习旧知 在初中,我们学习过了二次函数 y ? ax ? bx ? c ,知道二次函数的图象是一条抛物线
2

例如: (1) y ? 4 x , (2) y ? ?4 x 的图象(自己画出函数图像)
2 2

(二)学习新课 1.抛物线的定义 探究 1 观察抛物线的作图过程,探究抛物线的定义: 抛物线的定义: 思考:若 F 在 l 上呢?(学生思考、讨论、画图) 2.抛物线的标准方程 要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系. 探究 2 设焦点 F 到准线 l 的距离 为 p( p ? 0) , 你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方 程?按照你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程. 讨论:小组讨论建系方案及其对应的方程,你认为哪种建系方案使方程更简单? 推导过程: 我们把方程 y ? 2 px( p ? 0) 叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是
2

p ?p ? ? , 0 ? ,准线方程是 x ? ? 。 2 ?2 ?
在建立椭圆、 双曲线的标准方程的过程中, 选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方 程,对于抛物线,当我们选择如图三种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物 线的标准方程: (学生分前两排,中间两排,后面两排三组分别计算三种情况,一起填充表格) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

1

(三)例题 例 1(1)已知抛物线的标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程,
2

(2)已知抛物线的焦点是 F ? 0, ?2 ? ,求它的标准方程. 解: 变式训练 1: (1) 已知抛物线的准线方程是 x=—
1 ,求它的标准方程. 4

(2) 已知抛物线的标准方程是 2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程. 解: 例 2 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程. 解: 变式训练 2: 在抛物线 y2=2x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小. 解: (四)小结 1、抛物线的定义; 2、抛物线的四种标准方程; 3、注意抛物线的标准方程中的字母 P 的几何意义. (五)课后练习

2

1.抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程是 (A) x ? ?

( )

a a |a| |a| ;(B)x= ;(C) x ? ? ;(D)x= 4 4 4 4 1 2 2.抛物线 y ? x (m≠0)的焦点坐标是( ) m m m m (A) (0, )或(0, ? ) ;(B) (0, ) 4 4 4 1 1 1 (C) (0, )或(0, ? ) ;(D) (0, ) 4m 4m 4m
3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是 F(0,3),(2)焦点到准线的距离是 2. 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=20x;(2)x2+8y=0. 5.点 M 到点(0,8)的距离比它到直线 y=-7 的距离大 1,求 M 点的轨迹方程.

3

2.3.1 抛物线及其标准方程
一 、教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程 2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程 3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观 察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思 与感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想 二、教学重点 抛物线的定义及标准方程 三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择) 四、教学过程 (一)复习旧知 在初中,我们学习过了二次函数 y ? ax ? bx ? c ,知道二次函数的图象是一条抛物线
2

例如: (1) y ? 4 x , (2) y ? ?4 x 的图象(展示两个函数图象) :
2 2

(二)讲授新课 1.课题引入 在实际生活中,我们也有许多的抛物线模型,例如 1965 年竣工的密西西比河河畔的萨 尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲 线才可以称做是抛物线?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么 呢? 这就是我们今天要研究的内容.(板书:课题§2.4.1 抛物线及其标准 方程) 2.抛物线的定义 信息技术应用(课堂中展示画图过程) 先看一个实验: 如图: F 是定点,l 是不经过点 F 的定直线, 是 l 上任意一点, 点 H 过点 H 作 MH ? l , 线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M。 拖动点 H, 观察点 M 的轨迹, 你能发现点 M 满足的几何条件吗?(学生观察画图过程,并讨论) 可以发现, M 随着 H 运动的过程中, 点 始终有|MH|=|MF|,即点 M 与定点 F 和定直线 l 的 距离相等。 (也可以用几何画板度量|MH|,|MF|的值) (定义引入) : 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 ,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.(板书)
4

思考?若 F 在 l 上呢?(学生思考、讨论、画图) 此时退化为过 F 点且与直线 l 垂直的一条直线. 3.抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点 M ? x, y ? 满足到焦点 F 的距离与到准线 l 的 距离相等。那么动点 M ? x, y ? 的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢? 要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系. 问题 设焦点 F 到准线 l 的距离为 p( p ? 0) ,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程? 按照你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程. (引导学生分组讨论,回答,并不断补充常见的几种建系方法,叫学生应用投影仪展示 计算结果) 1 2 3

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0)

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0)

y 2 ? 2 px( p ? 0)

注意:1.标准方程必须出来,此表格在黑板上板书。 2.若出现比较复杂建系方案,可以以引入的字母参数较多为由,先排除计算 3.强调 P 的意义。 4.教师说明曲线方程与方程的曲线:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标 都满足方程,以方程的解 ? x, y ? 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即 方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程. (选择标准方程) 师:观察 4(3)个建系方案及其对应的方程,你认为哪种建系方案使方程更简单? (学生选择,说明 1.对称轴 2.焦点 3.方程无常数项,顶点在原点) 推导过程:取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直 平分线为 y 轴建立直角坐标系,如右图所示 ,则有 F(
p 2

p p ,0),l 的方程为 x=— . 2 2
p 2

设动点 M(x,y) ,由抛物线定义得: ( x ? ) 2 ? y 2 ? x ? 化简得 y =2px(p>0)
2

师:我们把方程 y ? 2 px( p ? 0) 叫做抛物线的标准方程,它表示的
2

5

抛物线的焦点坐标是 ?

p ?p ? , 0 ? ,准线方程是 x ? ? 。 2 ?2 ?

师:在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中,选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方 程,对于抛物线,当我们选择如图三种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物 线的标准方程: (学生分前两排,中间两排,后面两排三组分别计算三种情况,一起填充表格) 图形 标准方程 y2=2px(p>0) 焦点坐标 (
p ,0) 2

准线方程 x=—
p 2

y2=—2px(p>0)

(—

p ,0) 2

x=

p 2

x2=2py(p>0)

(0,

p ) 2

y=—

p 2

x2=—2py(p>0)

(0,—

p ) 2

y=

p 2

(三)例题讲解 例 1(1)已知抛物线的标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程,
2

(2)已知抛物线的焦点是 F ? 0, ?2 ? ,求它的标准方程. 解: (1)∵抛物线方程为 y2=6x ∴p=3,则焦点坐标是(
3 3 ,0) ,准线方程是 x=— . 2 2 p =2,∴p=4 2

(2)∵焦点在 y 轴的负半轴上,且 则所求抛物线的标准方程是:x =—8y. 变式训练 1: (1) 已知抛物线的准线方程是 x=—
2

1 ,求它的标准方程. 4

(2) 已知抛物线的标准方程是 2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程. 解(1)∵焦点是 F(0,3) ,∴抛物线开口向上,且
p =3,则 p=6 2

6

∴所求抛物线方程是 x2=12y (2)∵抛物线方程是 2 y2+5x=0,即 y2=—
5 5 x,∴p= 2 4

5 5 则焦点坐标是 F(— ,0),准线方程是 x= 8 8

例 2 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程. 解:如右图所示,设点 M 的坐标为(x,y) 由已知条件可知,点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x+4=0 的距离.根据 抛物线的定义,点 M 的轨迹是以 F(4,0 )为焦点的抛物线. ∵
p =4,∴p=8 2

因为焦点在 x 轴的正半轴上,所以点 M 的 轨迹方程为 y2=16x. 变式训练 2: 在抛物线 y2=2x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小. 解:如下图所示,设抛物线的点 P 到准线的距离为|PQ| 由抛物线定义可知:|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA| 显然当 P、Q、A 三点共线时,|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2),可设 P(x0,2)代入 y2=2x 得 x0=2 故点 P 的坐标为(2,2). (四)小结 1、抛物线的定义; 2、抛物线的四种标准方程; 3、注意抛物线的标准方程中的字母 P 的几何意义. (五)课后练习

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